山西省阳泉市古贝中学高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省阳泉市古贝中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）
A．B．
C． D．
参考答案：
C
略
2. 已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B=[0，4]，则A∩B=（）
A．[﹣4，﹣1）B．（2，4] C．[﹣4，﹣1）∪（2，4] D．[2，4]
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．
【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），
B=[0，4]，
则A∩B=（2，4]．
故选：B．
【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．
3. 函数f（x）=3+6sin（π+x）﹣cos2x（x∈R）的最大值和最小值之和是（）
A．﹣2 B．C．8 D．12
参考答案：C
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域，二次函数的性质求得它的最值，从而得出结论．
【解答】解：函数f（x）=3+6sin（π+x）﹣cos2x=3﹣6sinx﹣（1﹣2sin2x）=2﹣
，
故当sinx=1时，f（x）取得最小值为﹣2，当sinx=﹣1时，f（x）取得最大值为10，
故最大值和最小值之和是10﹣2=8，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，正弦函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．
4. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=
A. {x|-1＜x≤3}
B. {x|2≤x﹤3}
C. {x|x=3}
D.
参考答案：
B
5. 将A．B．C．D．Ｅ排成一列，要求A．B．C在排列中顺序为“A．B．C”或“C．B．A”
（可以不相邻），这样的排列数有（）种。

A．12 B．20 C．40 D．60
参考答案：
C
6. 已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
参考答案：
B
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵，
∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
7. 函数的图像大致为
A B C D
参考答案：
A
8. 已知的图象过点(2,1)，则函数的值域
为……………………………………………………………………………… （）
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 如图所示程序框图，输出结果是( )
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8参考答案：
B
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．
解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型”循环结构
第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=1×2+1=3；
第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13；
第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=13×4+17=69；
第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431；
第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=431×6+517≥500；
跳出循环，输出i=6．故选B．
10. 如图是2017年上半年某五省情况图，则下列叙述正确的是（）
①与去年同期相比，2017年上半年五个省的总量
均实现了增长；
②2017年上半年山东的总量和增速均居第二；
③2016年同期浙江的总量高于河南；
④2016和2017年上半年辽宁的总量均位列第五.
A.①②
B.①③④
C.③④
D.①②④
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．
参考答案：
0.1
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：
=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1， ∴该组数据的方差：
S 2= [（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1． 故答案为：0.1． 12. 直线x ＋
y ＋1＝0的倾斜角是
.
参考答案：
13. 设，若直线
与轴相交于点
，与
轴相交于点
，且坐标原点
到
直线的距离为
，则
面积的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
C
14. 已知又曲线的中心在原点O ，焦点在x 轴上，它的虚轴长为2，且焦距是两准线间距离的2倍，则该双曲线的方程为 。

参考答案：
15. 过抛物线=2py(p>0)的焦点F 作倾斜角的直线，与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y
轴左侧），则的值是___________．
参考答案：
抛物线的焦点为，准线方程为。

设点
，直线方程为
，代入抛物线方程消去得
，解得。

根据
抛物线的定义可知，所以.
16. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a cos B =b cos A ，4S =2a 2﹣c 2，其中S 是△ABC 的面积，则C 的大小为 ．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理化acosB=bcosA ，得出△ABC 是等腰三角形，即a=b ；由△ABC 的面积S=absinC ，结合4S=2a 2﹣c 2，求出sinC=cosC ，从而得出角C 的值． 【解答】解：△ABC 中，acosB=bcosA ，
∴sinAcosB=sinBcosA ，
∴sinAcosB ﹣cosAsinB=sin （A ﹣B ）=0， ∴A=B ，∴a=b ；
又△ABC 的面积为S=absinC ， 且4S=2a 2﹣c 2，
∴2absinC=2a 2﹣c 2=a 2+b 2﹣c 2，
∴sinC==cosC ，
∴C=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．
17. 在
中，若
_________
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得
∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）根据离心率，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点，求出几何量，即可求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简，若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0，即可得出结论．
解答：解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，
所以椭圆方程为．…（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．
当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R；…
当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：
（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
则
==…
若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0
即=0，整理得4k（x0﹣4）=0
因为k∈R，所以x0=4
综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…
点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
19. 某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品、3种家电商品、5种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。

（1）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（2）商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高120元，同时允许顾客有3 次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得60元奖金，假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的。

试求某位顾客所中奖金数不低于商场提价数的概率。

参考答案：
解：（I）从2种服装商品，3种家电商品，5种日用商品中，选出3种商品，一共有种不
同的选法。

选出的3种商品中，没有日用商品的选法有种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为
…………6分
（II）要使所中奖金数不低于商场提价数，则该顾客应中奖两次或三次，分别得奖金120元和180元。

…………8分
顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，其概率都是…………9分
所以中奖两次的概率是：
中奖三次的概率是…………10分
故中奖两次或三次的概率：
即所中奖金数不低于商场提价数的概率等于…………12分
说明：其他解法请酌情给分。

20. 几何证明选讲选做题）如图，在Rt△ABC中，∠C= 90o，E为AB上一点，以BE为直径作圆O与AC相切于点D．若AB：BC=2:1, CD=，则圆O 的半径长为
．参考答案：
2
略
21. 已知关于的不等式有解。

(I)求实数m的取值范围；
(Ⅱ)已知 a >0,b>0,a +b = m，证明: .
参考答案：
22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，. （Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）求△ABC的面积.
参考答案：
(Ⅰ)在中，由得，
由得，，
∴
（Ⅱ）由正弦定理得，又
∴。