2019届河北省衡水市高三四月大联考数学(理)试题(解析版)

2019届河北省衡水市高三四月大联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，复数，若，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】由题意先求出复数，再根据复数相等得到，进而可得所求．【详解】
∵，
∴，
又，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数相等的概念，解题的关键是熟记运算法则和相关概念，属于基础题．
2．已知集合，，则为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解不等式得到集合，根据函数定义域的求法得到集合
，于是可得．
【详解】
由题意得，，
∴．
故选B．
【点睛】
本题以不等式的解法和函数定义域的求法为载体考查集合的交集运算，属于基础题．3．已知等差数列的前项和为，且，，则公差的值为（）
【解析】由及等差数列下标和的性质可得，再由可得，进而可得公差的值．
【详解】
∵等差数列中，，
∴．
又，
∴，
∴公差．
故选C．
【点睛】
本题考查等差数列项的下标和的性质和前项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．
4．2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图.现给出如下信息：
①10月份人均月收入增长率为；
②11月份人均月收入约为1442元；
③12月份人均月收入有所下降；
④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高.
其中正确的信息个数为（）
【解析】结合统计图中的信息，对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确信息的个数．
【详解】
对于①，由图（一）可得10月份人均月收入增长率为，故①正确；
对于②，11月份人均月收入为元，故②正确；
对于③，由图（一），图（二）均可得出收入下降，故③正确；
对于④，从图中易知该地人均月收入8，9月一样，故④错误．
综合可知信息①②③正确，所以正确信息的个数为3个．
故选C．
【点睛】
解答本题的关键是读懂图中的信息，观察统计图时，首先要分清图标，弄清图的横轴、纵轴分别表示的含义，然后再从图中得到解题的信息和数据，考查识图和用图的能力．5．如图所示的几何图形中，为菱形，为的中点，，，
，，现在几何图形中任取一点，则该点取自的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意求出和，然后根据面积型的几何概型概率公式求解即可得到结论．
【详解】
∵，，，
∴．
又由题可知，，
∴，，
由几何概型概率公式可得，所求概率为，
即该点取自的概率为．
故选D．
【点睛】
解题的关键是求出表示所有基本事件的点构成的区域的面积和所求概率的事件对应的
点构成的区域的面积，考查转化和计算能力，属于基础题．
6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆的一个交点为，右焦点关于直线的对称点为，若为正三角形，且其面积为，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正三角形的面积为可得其边长为，然后根据椭圆的定义可得，于是，进而可得离心率的值．
【详解】
设正的边长为，则，
∴．
又由椭圆的定义可知，
∴，解得，
又由题可知，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查椭圆的基本性质，解题的关键是分析题意、从题中的特殊几何图形中得到所需的数据，同时合理利用椭圆的定义解题也是解答本题的关键，属于基础题．
7．如图所示的中，点，分别在边，上，，，，
，，则向量（）
A．9 B．4 C．-3 D．-6
【答案】D
【解析】方法一：选取为平面的基底，由题意得，然后根据数量积的定义求解即可．
方法二：由题意得，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标可得所求数量积．【详解】
方法一：取为平面的一组基底，
则
，
所以
．
故选D．
法二：在中，由余弦定理得，则，
所以，
以为原点，建立如图直角坐标系：
则，，，
所以，，
所以．
故选D．
【点睛】
计算平面向量数量积的方法有两个：一是利用数量积的定义进行计算，解题的关键是求
出向量的模和夹角；二是建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积．解题时可根据题意合理选择求解的方法，以达到解题过程的优化．
8．设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若
，，，则，，的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由定义在上的偶函数满足可得函数是周期为4的函数，然后将问题转化到同一单调区间上进行比较大小，从而可得所求结论．
【详解】
因为为上的偶函数，
所以，
所以，
所以函数是周期为4的函数，
所以，，．
又当时，，
所以，
所以当时，单调递减，
所以，即．
故选B．
【点睛】
解题时注意两点：一是知道函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个性质可推出第三个性质；二是比较函数值的大小时，可将问题转化到同一个单调区间上进行研究，利用单调性得到函数值的大小关系．
9．某几何体被一平面所截后剩下几何体的三视图如图所示，则该剩下几何体的体积为（）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【解析】由三视图得到几何体的直观图，然后再结合图中的数据求出几何体的体积即可．【详解】
由三视图可知该剩下几何体是由底面是边长为2的正方形、高为4的长方体截取得到的，为如图所示的几何体，其中底面是边长为2的正方形，四条侧棱长分别为4，3，2，1．
方法一：由三视图可知，
因为四边形是平面截原几何体所得的截面，
所以为平行四边形．
设，交于点，，交于点，
则可得既为梯形的中位线，也为梯形的中位线，且．
将所剩的几何体补成底面是边长为2的正方形、高为的长方体，
则所求的几何体的体积为．
故选A．
方法二：由题意得，所剩几何体的体积为
．
故选A．
【点睛】
由三视图还原几何体的直观图时要综合三个视图进行分析，直观图的底面一般由俯视图确定，直观图的侧面要结合正视图和侧视图进行分析．求不规则的几何体体积时，常用的方法是分割法和补形法，解题时要灵活选择解题方法．考查空间想象力和计算能力，属于基础题．
10．已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据函数图象的特征和图象变换得到，然后求出函数
的单调递增区间，再根据是增区间的子集可得所求范围．
【详解】
由题意得，所以，因此，
所以．
从而，
由，，
得，．
要使的图象在区间上单调递增，
则需满足，即，
解得，，
当，可得，符合条件．
故选B．
【点睛】
解答本题的关键是正确理解题意，如题中的“一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离”即为四分之一个周期，“函数的图象在区间上单调递增”则说明区间是函数增区间的子集等．本题综合考查三角函数的性质，具有综合性，属于中档题．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，点在直线上的射影为，且当取最小值5时，
的最大值为（）
A．B．C．D．10
【答案】A
【解析】首先由双曲线的定义及条件得到（定值），然后可采用几何法、代数法两种方法得到，最后再根据基本不定式求解即可．
【详解】
由双曲线的定义可知，
所以，
当，，三点共线时，最小，
所以，
所以．
由题意得．
方法一：由的面积是（为原点）的面积的2倍，，，得，
所以的面积为．
又由知，
因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以最大为．
故选A．
方法二：因为直线为双曲线的一条渐近线，
所以方程为．过左焦点与渐近线垂直的直线方程为，
由，解得，所以，
所以．
又由知，
因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以最大为．
故选A．
【点睛】
解答解析几何中的最值（范围）问题时，一般先把所求最值（范围）的量表示为某一参数的表达式，然后再根据函数知识或基本不等式求出最值（范围）．利用基本不等式求最值时要注意使用不等式的条件，即“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可．12．已知，，函数，，设的最大值为，且对任意的实数，恒有成立，则实数的最大值为（）
A．4 B．2 C．D．
【答案】D
【解析】当时，．设
，，根据导数可得，于是
，又根据绝对值的三角
不等式可得
．于是可得，故得实数的最大值为．
【详解】
由题可知对任意的实数，恒有成立，只需．
因为时，由，
得，
设，，则有，
令，得，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故，，
又，，
所以，
从而①，
又
．②．
当时，①②同时取等号，
故恒成立，
所以实数的最大值为．
故选D．
【点睛】
本题难度较大，解题的关键是通过适当的变形得到的最大值为，同时还应注意不等式放缩的技巧，考查变形应用和计算能力．
二、填空题
13．已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】由得，然后根据倍角公式将用表示后可得所求结果．
【详解】
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用三角变换求值，解题时注意变换公式的灵活运用，属于基础题．
14．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_______种.（用数字作答）
【答案】8
【解析】先安排甲，有种方法；再安排乙，只能在甲的对面；最后安排丙、丁，有种方法，最后根据分步乘法计数原理可得所求结果．
【详解】
先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，
所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，
所以共有坐法种数为种．
故答案为：8．
【点睛】
排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．
15．若变量，满足，则的取值范围为_____．【答案】
【解析】画出不等式组表示的可行域，由于
，然后根据其几何意义进行求解即可得到所求范围．
【详解】
画出不等式组表示的平面区域（如图示的阴影部分），
由题意得，
而表示阴影区域内点与定点两点连线的距离的平方，结合图形可得最小，最大，
由，解得，∴
由，解得，∴．
∴的最大值为，
的最小值为，
∴所求的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
利用线性规划求目标函数的最值问题几乎每年都要考查，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．16．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，
，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足
，，，则的值为_____．【答案】3
【解析】由题意得到数列，然后根据数列的周期性可求得结果．
【详解】
记“兔子数列”为，则数列每个数被4整除后的余数构成一个新的数列为
，
可得数列构成一周期为6的数列，
由题意得数列为，
观察数列可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，
所以．
故答案为：3．
【点睛】
本题以数列为载体考查合情推理的运用，解题的关键是正确理解题意，并从中得到解题的信息，考查阅读理解能力和应用意识，属于中档题．
三、解答题
17．中，，，点在边上，且.
（1）求的长；
（2）若于，求.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）在中由条件及余弦定理可得，于是得到．然后在
中由余弦定理得．（2）在直角中，可得，然后在直角
中，可得．
【详解】
（1）在中，，，
由余弦定理得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，，，
由余弦定理得，
即，
∴．
（2）由（1）知，
∴在直角中，，
∴在直角中，．
【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题的关键是将所给条件转为为某一三角形的边或角，然后再利用正余弦定理或三角函数等知识求解，考查转化、运用能力，属于基础题．18．如图，三棱锥中，是的中点，为正三角形，，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）由条件可得，再根据平面平面，得到平面，于是可证得．（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，根据两向量夹角的余弦值可得所求正弦值．
【详解】
（1）∵，，，
∴，
∴．
∵平面平面，且平面平面，
∴平面．
又平面．
∴．
（2）取中点，连接，
∵为正三角形．
∴，
又平面平面，且平面平面，
∴平面．
由，知．
过点作，则，
分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∵是的中点，
∴，
∴，，．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴．
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
用向量法求空间角的关键是建立空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标．求线面角时，注意直线的方向向量和平面法向量夹角与所求线面角间的关系，解题时注意线面角的正弦值与两向量夹角的余弦值的绝对值相等这一结论．
19．按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：
2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8
（1）计算上述10件产品的误差的平均数及标准差；
（2）①利用（1）中求的平均数，标准差，估计这批产品的合格率能否达到；
②如果产品的误差服从正态分布，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少.（附：若随机变量服从正态分布，则
，，
.用0.6277，用0.9743分别代替计算）
【答案】（1），（2）①见解析；②
【解析】（1）由题中的数据和平均数、方差的计算公式可得所求．（2）①由（1）中计
算得，，可得，进而可得合格率不能达到．②根据条件求出每件产品为合格品的概率是
，由对立事件的概率可得有不合格产品的概率为
．
【详解】
（1）．
，
所以．
（2）①由（1）中计算得，，
所以．
因为在内包括了所有的合格产品，也包括了不合格的产品，
而，
所以这批抽查的产品的合格率不能达到．
（2）因为产品重量的误差服从正态分布，
所以，，
又即为，
所以每件产品合格的概率为，
所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为
．
【点睛】
本题主要考查概率、统计中的计算问题和正态分布的应用，考查应用所学知识解决实际问题的能力，解题的关键是正确理解题意，并将实际问题转化为概率问题求解．解答本题时由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性和准确性．
20．已知为坐标原点，抛物线：与直线：交于点，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）线段的中点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若直线，
分别与直线交于，两点，当时，求斜率的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据数量积求出参数的值即可得到所求方程．（2）求出点的坐标为，然后再求出点，的坐标，进而得到直线，的方程，于是得到的坐标，最后根据可求出斜率的值．
【详解】
（1）由消去整理得，
∵直线与抛物线交于两点，
∴，解得或（舍去）．
设，，则，
∴，
∵，
∴，解得，符合题意．
∴抛物线方程为：．
（2）由（1）得，
∴，，
∴，
∴，中点为．
设过点斜率为的直线方程为，即，
由消去整理得，
其中，故．
设，，
则，，
直线的方程为，令，得，
∴，
同理得，
∴，
解得，满足题意．
∴斜率的值为．
【点睛】
本题主要考查用代数方法解决解析几何问题，由于解题过程会涉及到大量的计算，所以要合理运用“设而不求”、“整体代换”、“同理得”等方法的运用，同时也要充分利用曲线方程的特点进行代换，以减少变量的个数，起到简化运算、提高解题效率的作用．21．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求
实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值
，因此问题转化为有解，即有解
，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求．
【详解】
（1）由，
得，
①当时，
令，得，
所以，或，即或，
解得或．
令，得，
所以或，即或，
解得或．
所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
②当时，
令，得，由①可知；
令，得，由①可知或．
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．
综上可得，
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．
当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．
（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在
上单调递增，
所以，
所以不等式有解等价于有解，
即有解，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值也是最小值，且最小值为，
从而，
所以实数的取值范围为．
【点睛】
（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏．（2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：在上有解；在上有解
．若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出直线与圆的交点极坐标及直线的参数方程；
（2）设直线与圆交于，两点，求的值.
【答案】（1）（2）1
【解析】（1）先解出交点的直角坐标，再转化成极坐标；由题直线过点，倾斜角为，直线的参数方程为（为参数）
（2）将的参数方程代入圆的普通方程，结合韦达定理与参数的几何意义求解。

【详解】
解：（1）联立方程，
解得，.
所以当时，；
当时，，
所以交点的直角坐标分别为，，
则对应的极坐标为，.
由题得，直线的参数方程为（为参数）.
（2）将的参数方程代入圆的方程中，
得，
化简整理，得，且，
设点，分别对应参数，，
所以，
又由，的几何意义可知，.
【点睛】
求极坐标可先求直角坐标，通过直角坐标转化成极坐标，两者之间的关系为；直线的参数方程（为参数）
直线与圆锥曲线交于，两点，P为直线上定点，则.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，作出函数的图象，并写出不等式的解集；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）当时，，利用分段函数求解。

（2）由，可得，所以转化为，即。

【详解】
解：（1）当时，
，
作出的函数图象如下：
从图中可知，不等式的解集为.
（2）因为，
所以，
所以转化为，
即得对恒成立，
即或，
也就是或对恒成立，
所以或，
故实数的取值范围为.
【点睛】
解含有两个绝对值的不等式问题主要采用零点分段法求解。