4.3 公式法 北师大版数学八年级下册素养提升练习(含解析)

第四章　因式分解
3　公式法
基础过关全练
知识点1　用平方差公式分解因式 1.(2022浙江青田二中期中)下列多项式中,能用平方差公式分解因式
的是( )
A.x2+y2
B.-a2-b2
C.x3-y2
D.a2-b2
2.(2023湖南衡阳三模)若a+b=3,a-b=7,则a2-b2的值为( )
A.-21
B.21
C.-10
D.10
3.【新独家原创】因式分解“?+16a2”得(4a+b)(4a-b),则“?”是( )
A.1
B.b2
C.-b2
D.-1
4.(2023河北保定三中分校月考)若k+1012-1=1022,则k的值为( )
A.100
B.101
C.200
D.204
5.(2023福建宁德三模)分解因式:a3-a= .
6.分解因式:(a+3)2-16= .
7.把下列各式因式分解.
(1)-25x2+y2; (2)81-a4; (3)4xy2-9x(y+1)2;
(4)(2a+b)2-49b2.
8.【新考向·代数推理】(2023安徽安庆月考)已知a,b,c为△ABC的三条边的长,且b2+2ab=c2+2ac,请探究:
(1)判断△ABC的形状;
(2)若a=4,b=3,则△ABC的周长为 .
知识点2　用完全平方公式分解因式
9.(2023福建三明月考)下列各式,不能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+2x+1
B.1-2x+x2
C.a2+b2-2ab
D.4x2+4x-1
10.【易错题】(2023福建三明期中)已知x2+mxy+4y2能运用完全平方公式分解因式,则m的值为( )
A.2
B.±2
C.4
D.±4
11.(2022贵州黔东南州中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=
.
12.因式分解:1
a2-2ab+3b2= .
3
13.把下列各式因式分解:
(1)a 2+ab+14b 2; (2)-2x 3y+4x 2y-2xy;
(3)(a-b)2-6(b-a)+9;
(4)x 2(y 2-1)+2x(y 2-1)+(y 2-1).
能力提升全练
14.(2023河北中考,6,★★☆)若k 为任意整数,则(2k+3)2-4k 2的值总能( )
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
15.(2022重庆一中阶段作业,5,★★☆)已知x-y=2,xy=12,那么
x 3y+x 2y 2+xy 3的值为( )
A.3
B.5
C.112
D.11416.(2023安徽宿州埇桥期中,4,★★☆)将多项式16m 2+1加上一个单项式后,使它能够在我们所学范围内因式分解,则此单项式不能是( )
A.-2
B.-15m 2
C.8m
D.-8m
17.(2022内蒙古包头中考,10,★★☆)已知实数a,b满足b-a=1,则代数式a2+2b-6a+7的最小值等于( )
A.5
B.4
C.3
D.2
18.(2023甘肃兰州中考,13,★☆☆)因式分解:x2-25y2= .
19.(2023四川凉山州中考,14,★★☆)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .
20.(2023四川眉山中考,13,★★☆)分解因式:x3-4x2+4x= .
21.【新考向·代数推理】(2023浙江嘉兴中考,20,★★☆)观察下面的等式:32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,……
(1)写出192-172的结果;
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
(3)请运用有关知识,说明(2)中的结论是正确的.
素养探究全练
22.【应用意识】(2023广东梅州月考)阅读下列材料:
材料1　将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).
如:x2+4x+3=(x+1)(x+3);x2-4x-12=(x-6)(x+2).
材料2　因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成一个整体,
令x+y=A,
则原式=A2+2A+1=(A+1)2,
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题过程用到了“整体思想”,整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.
请你解答下列问题:
(1)根据材料1,把x2-6x+8分解因式.
(2)结合材料1和材料2,完成下面小题:
①分解因式:(x-y)2+4(x-y)+3;
②分解因式:m(m+2)(m2+2m-2)-3.
答案全解全析
基础过关全练
1.D　A.x2+y2不能使用平方差公式分解因式,不符合题
意;B.-a2-b2=-(a2+b2),不能使用平方差公式分解因式,不符合题
意;C.x3-y2不能使用平方差公式分解因式,不符合题意;D.a2-b2能使用平方差公式分解因式,符合题意.故选D.
2.B　∵a+b=3,a-b=7,∴a2-b2=(a+b)(a-b)=3×7=21,故选B.
3.C　∵(4a+b)(4a-b)=16a2-b2,∴“?”是-b2,故选C.
4.D　∵k+1012-1=1022,∴
k=1022-1012+1=(102+101)×(102-101)+1=203+1=204,故选D.
5.a(a+1)(a-1)
解析　a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).
6.(a+7)(a-1)
解析　(a+3)2-16=(a+3)2-42
=(a+3+4)(a+3-4)=(a+7)(a-1),
故答案为(a+7)(a-1).
7.解析　(1)-25x2+y2=y2-25x2=(y+5x)(y-5x).
(2)81-a4=(9+a2)(9-a2)=(9+a2)(3+a)(3-a).
(3)4xy2-9x(y+1)2=x[4y2-9(y+1)2]
=x[2y+3(y+1)]·[2y-3(y+1)]
=x(5y+3)(-y-3)=-x(5y+3)(y+3).
(4)(2a+b)2-49b2=(2a+b+7b)(2a+b-7b)=(2a+8b)·(2a-6b)=4(a+4b)(a-3b).
8.解析　(1)△ABC是等腰三角形.理由如下:
∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2-c2+2ab-2ac=0,
将等号左边因式分解,得(b-c)(b+c+2a)=0,
∵a,b,c 为△ABC 的三条边的长,∴b+c+2a≠0,∴b-c=0,∴b=c,∴△ABC 是等腰三角形.
(2)∵b=3,b=c,∴c=3,
∴△ABC 的周长=a+b+c=4+3+3=10.
9.D A.x 2+2x+1=(x+1)2,故不符合题意;B.1-2x+x 2=(x-1)2,故不符合题意;C.a 2+b 2-2ab=(a-b)2,故不符合题意;D.4x 2+4x-1不能用完全平方公式进行因式分解,故符合题意.故选D.
10.D 易忽略完全平方公式有两个,而导致答案不全.∵
(x±2y)2=x 2±4xy+4y 2,∴m=±4,故选D.
11.2 022(x-1)2
解析　原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.故答案为2 022(x-1)2.12.13(a-3b)2
解析　13a2―2ab +3b2=13(a2―6ab +9b2)=13(a-3b)2.
13.解析　(1)原式=a 2b +b 2=a +12b 2.
(2)原式=-2xy(x 2-2x+1)=-2xy(x-1)2.
(3)原式=(a-b)2-6[-(a-b)]+9
=(a-b)2+6(a-b)+9=(a-b)2+2(a-b)×3+32
=(a-b+3)2.
(4)原式=(x 2+2x+1)(y 2-1)
=(x+1)2(y+1)(y-1).
能力提升全练
14.B (2k+3)2-4k 2=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3),
∵k 为任意整数,∴3(4k+3)能被3整除,∴(2k+3)2-4k 2的值总能被3整除,故选B.
15.D ∵x-y=2,xy=12,∴x 3y+x 2y 2+xy 3=xy(x 2+xy+y 2)=xy[(x-y)2+3xy]=12
×22+3×=114,故选D.
16.B A.16m 2+1-2=16m 2-1=(4m+1)(4m-1),此选项不符合题意;B.16m 2+1-15m 2=m 2+1,此选项符合题意;C.16m 2+1+8m=(4m+1)2,此选项不符合题意;D.16m 2+1-8m=(4m-1)2,此选项不符合题意.故选B.
17.A ∵b-a=1,∴b=a+1,∴
a 2+2b-6a+7=a 2+2(a+1)-6a+7=a 2-4a+9=(a-2)2+5,∵(a-2)2≥0,
∴(a-2)2+5≥5,∴代数式a 2+2b-6a+7有最小值,最小值为5,故选A.
18.(x+5y)(x-5y)
解析　x 2-25y 2=(x+5y)(x-5y).
故答案为(x+5y)(x-5y).
19.±2
解析　∵y 2-my+1是完全平方式,∴-m=±2,解得m=±2,故答案为±2.
20.x(x-2)2
解析　x 3-4x 2+4x=x(x 2-4x+4)=x(x-2)2,
故答案为x(x-2)2.
21.解析　(1)192-172=8×9=72.
(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
(3)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.
素养探究全练
22.解析　(1)x2-6x+8=x2+[(-2)+(-4)]x+(-2)×(-4)=(x-2)(x-4).
(2)①令x-y=A,
则原式=A2+4A+3=A2+(3+1)A+3×1
=(A+1)(A+3)=(x-y+1)(x-y+3).
②令B=m(m+2)=m2+2m,
则原式=B(B-2)-3
=B2-2B-3
=B2+[1+(-3)]B+1×(-3)
=(B+1)(B-3)
=(m2+2m+1)(m2+2m-3)
=(m+1)2(m-1)(m+3).。