一元一次方程的等积变形问题剖析
3.4_一元一次方程的应用-等积变形问题
5.已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4 个,7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个, 每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品,求每 箱有多少个产品.
请你来试一试: 6.某车间有28名工人,生产一种螺栓和螺 帽,平均每人每小时能生产螺栓12个或螺 帽18个,两个螺栓要配三个螺帽,应分配多 少人生产螺栓,多少人生产螺帽,才能使生 产的螺栓和螺帽刚好配套? 7.某服装厂要生产某种型号的学生校服, 已知3m长的某种布料可做上衣2件或裤 子3条,一件上衣和一条裤子为一套,库内 存这种布料600m,应如何分配布料做上衣 和做裤子才能恰好配套?
分析:设前年这个学校购买计算机x台
2x 那么,去年购买计算机_________台
今年购买计算机_________台 4x 根据问题中的相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台 可列得方程: x+2x+4x=140 ____________________________
解:设前年这个学校购买计算机x台,那么,去年购买计 算机2xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,今年购买计算机4x台,根据题意: x+2x+4x=140 解得:x=20 答:前年这个学校购买计算机20台 请您想一想?
一 创设情境 导入课题
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，
体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
钢铁工人正在锻造车间工作
二 合作交流，探究新知， 用 决 程 方 解 问 题 小明想用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽 各为多少米？
由于这批书的总数是一个定值,表示它的两个 式子应相等,根据问题的相等关系,可列得方程 3x+20=4x-25 _______________________
一元一次方程的应用—等积变形和行程问题
一元一次方程的应用——等积变形和行程问题一、教学目标1.通过分析图形问题中数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力；2.理解行程问题中数量之间的关系，能根据行程问题中的数量关系建立方程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；3.通过实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学的应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.二、教学重难点1.教学重点：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.2.教学难点：分清有关数量关系，正确找出作为列方程依据的主要等量关系.三、教学方法启发式、精讲精练四、教学过程（一）导入新课【情景引入】一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。
该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm 长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？（二）讲授新课1.等积变形问题例1：如图，用直径为200mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm 、300mm 和90mm 的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积高线长.计算时 取3.14.要求结果误差不超过1mm ）？【想一想】问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？已知：圆钢直径（200mm ）、长方体毛胚的长宽高（300mm 、300mm 、90mm ） 未知：圆钢的高设未知数：设应截取圆钢x 毫米问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？ 根据等量关系列出方程，得： 200x90 3003009030030022002⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛x π 解方程，得：258≈x答：应截取258mm 长的圆柱体钢.【点拨】等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变.【归纳总结】列方程解应用题的一般步骤：1.设未知数：弄清题意和题中数量关系，用字母（如x,y)表示问题中的未知数；2.找等量关系：分析题意，找出相等关系；3.列出方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；4.解方程：解这个方程，求出未知数的值；5.检验作答：检查所得值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.2.行程问题例2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km 的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？【分析】行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：路程=平均速度×时间.【解答】设提速前客车平均每小时行驶xkm,那么提速后客车每小时行驶（x+40)km,客车行驶路程为1110km,平均速度为（x+40)km/h,所需时间是10h.根据题意，得10（x+40)=1110解方程，得x=71答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？(2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？【归纳总结】行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．例4：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？【分析】本题是行程问题，故有：路程=平均速度×时间；时间=路程÷平均速度.但涉及水流速度，必须要掌握：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速.【解答】方法一：直接设元法解：设甲、乙两地的距离为x 千米，等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5方法二：间接设元法解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距离是(18－2)x千米.等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离环形跑道问题问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？【当堂练习】1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（）A.12cmB.18cmC.24cmD.30cm2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）A.12.5千米/时B.15千米/时C.17.5千米/时D.20千米/时3．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？4.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度.（三）课堂小结（四）课后作业p1.全品作业本5354五、板书设计等积变形和行程问题列方程解应用题的一般步骤：设未知数；找等量关系；列出方程；解方程；检验作答1.等积变形问题2.行程问题。
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题说课稿(新版浙教版)
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题说课稿（新版浙教版）一. 教材分析《七年级数学上册》第5章主要讲述一元一次方程的应用。
其中5.4节为一元一次方程的应用——等积变形问题。
这部分内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基本知识的基础上进行学习的，旨在让学生能够运用一元一次方程解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，对于如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用一元一次方程解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程进行解决。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生能够理解等积变形问题的概念，掌握一元一次方程在等积变形问题中的应用。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生解决问题的信心，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.重点：等积变形问题的概念，一元一次方程在等积变形问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究，合作交流。
2.利用多媒体课件，直观展示等积变形问题的实际应用，帮助学生理解概念。
3.通过例题讲解，使学生掌握一元一次方程在等积变形问题中的应用。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.探究：引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程进行解决。
3.讲解：通过例题讲解，使学生掌握一元一次方程在等积变形问题中的应用。
4.练习：设计一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，使学生明确所学知识的重要性。
一元一次方程实际应用题之等积变形问题
一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。
可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。
解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。
2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。
要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。
解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。
解：零件的底面积是x平方厘米。
8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。
3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题教学设计新版浙教版
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题教学设计新版浙教版一. 教材分析《浙教版七年级数学上册》第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题是本章的重要内容。
这部分内容通过具体的实例，让学生了解并掌握等积变形问题的解法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一元一次方程的基本概念和解法，但对实际应用题的解决能力还不够强。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际问题解决能力，让学生能够将所学知识应用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握等积变形问题的解法，能够独立解决简单的实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生了解等积变形问题的解题思路，培养学生的实际问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：等积变形问题的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为等积变形问题，并运用所学知识解决。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过实例分析，引导学生主动探究等积变形问题的解法，培养学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示实例和练习题。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生进行等积变形问题的解决。
3.小组划分：将学生分成若干小组，便于进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个简单的实际问题，引导学生回顾一元一次方程的解法。
然后，提出等积变形问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示几个典型的等积变形问题，让学生观察和分析，引导学生发现等积变形问题的特点和解决方法。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的等积变形问题，巩固所学知识。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）小组合作学习，讨论如何将实际问题转化为等积变形问题，并运用所学知识解决。
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用第2课时等积变形问题教学设计新版浙教版
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用第2课时等积变形问题教学设计新版浙教版一. 教材分析本节课的内容是浙教版七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用第2课时等积变形问题。
这部分内容是在学生已经掌握了一元一次方程的解法的基础上进行学习的，目的是让学生能够运用一元一次方程解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析通过对学生的了解，我发现他们在学习了之前的内容后，对一元一次方程的解法已经有了初步的认识和掌握，但是他们的实际应用能力还有待提高。
因此，在教学过程中，我需要注重培养他们的实际应用能力，让他们能够更好地将所学知识运用到实际问题中。
三. 教学目标1.让学生掌握等积变形问题的解法。
2.培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：等积变形问题的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为等积变形问题，并运用一元一次方程解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生自主探究、合作交流的方式进行学习。
在教学过程中，注重启发学生的思维，培养他们的实际应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件。
2.设计好课堂练习题和家庭作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容，让学生思考如何解决这个问题。
例如：一块矩形土地，长为a米，宽为b米，现在要将其变为正方形土地，求新的正方形土地的边长。
2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为等积变形问题，即原矩形土地的面积等于新正方形土地的面积。
然后，让学生尝试用一元一次方程来表示这个问题，并解出方程。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组给出一个实际的等积变形问题，然后用一元一次方程解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于等积变形问题的题目，巩固他们所学的知识。
同时，引导学生总结解题方法。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些关于等积变形问题的拓展问题，如：在解决实际问题时，如何灵活运用所学的知识？如何将所学的知识应用到其他领域？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾所学知识，加深他们对等积变形问题的理解。
列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点
列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点列一元一次方程解应用题是初一数学教学中的一大重点，而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题。
因此，认真学好这一知识，对于今后学习整个中学阶段的列方程（组）解应用题大有帮助。
（1）和、差、倍、分问题。
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。
审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。
类似于：甲乙两数之和56，甲比乙多3（乙是甲的1/3），求甲乙各多少？这样的问题就是和倍问题。
问题的特点是，已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。
基本方法是：以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出方程。
（2）等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。
（3）调配问题。
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
（4）行程问题。
要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
航行问题：速度关系是：①顺水速度＝静水中速度＋水流速度；②逆水速度＝静水中速度－水流速度。
飞行问题、基本等量关系：①顺风速度＝无风速度＋风速②逆风速度＝无风速度－风速行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
（5）工程问题。
基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。
一元一次方程的应用等积变形问题
4x=10
同样长的铁大呢？
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（2）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
围
面积：1.8 × 3.2=5.76
成
正
方
面积：
形
2.9 ×2.1=6.09
时
四
边
形
面积： 2.5 × 2.5 =6. 25
面 积
最
大
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个 菜地，使长比宽大4米，问小明要帮他爸 爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
x X+4
墙面 铁线
问题2
同学们有看过炼钢厂的 生产车间吗？ 在锻压车间，我们可以 看到工人经常将一些 “又矮又胖”的圆柱形 铁锭锻造成“又瘦又长” 的长方体条钢。 你能根据自己的理解试 着用橡皮泥先做出“矮 胖形”圆柱体，再将它 变成“瘦长形”长方体 吗？有何发现？找一找 其中什么发生变化，什 么没有发生变化。
分析： 设从甲组抽调了x人去乙组。
原有人 抽调后人
甲组 乙组
数
17 25
数（17-x)
(25+x)
等量关系式：抽调后甲组人数的2倍=抽调后的乙组人数
方程： 2(17-x) = 25+x
例4一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成， 如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个 或做桌腿300条，现有5立方米木料，那 么用多少立方米木料做桌面、多少立方 米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰 好配成方桌？能配成多少方桌？
分析:设前年这个学校购买计算机x台
那么,去年购买计算机___2_x_____台
今年购买计算机____4_x____台
根据问题中的相等关系:
一元一次方程应用 等积长问题
一元一次方程的应用等长(积)变形问题【教学目标】1.知识与技能：会找等积变形问题类型应用题的相等关系设合适的未知数列方程2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力；3.情感态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；重点：找相等关系，如何设好未知数列方程．难点：分析题意，找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。
一．复习旧知，承上启下1、回顾：列方程解决实际题的问一般步骤：（开门见山，直接引入课题）2、回顾：几何图形的常见计算公式•长方形的周长 = 长方形的面积 = 三角形的面积 =•圆的周长= 圆的面积= 长方体的体积 =•圆柱体的体积 = （课件展示，师生互查，注意培养学生用数学语言表示计算公式）二．提出问题，探究新知（一）热身活动，引入新课请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？1、把一小杯水倒入另一只大杯中；2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。
（二）例题讲解1、用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使长方形的宽比长少4米，求这个长方形的长与宽各是多少米？面积是多少平方米？．10米师：注意引导学生得出这题的等量关系式：铁丝长= 周长= 2（a+b）如何设，让学生感受下为什么这样设，生：先独立审题，思考和老师一起疏通题意解决问题三/\、合作探究。
巩固练习。
展示1、用一根长10米的铁丝围成一个长方形，使长方形的长与宽的比是3：2，求这个长方形的面积．生：独立思考，小组交流展示师;注意学生的不同思考，不同设法的展示让学生感受哪种设法更好，领会到有关比例问题的设法注意间接设法，还要还原回去求出问题（二）思维拓展，变式提升2、为了节约材料，小明的爸爸想用10米铁丝在墙边围成一个长方形的鸡棚，已知墙长5米，（如图所示：）小明帮爸爸设计一个方案：长比宽多4米；妹妹也设计的方案是：长比宽多2米？比比谁的比较实际？为什么？学生小组讨论，得出结论展示；课外延伸; 你还有其他的设计吗小结：解决此类问题中的等量关系是：（四）课堂小结:本节课你收获了什么？1、仔细审题：找出已知量与未知量；分析题目中的数量关系，正确设出未知数2、列方程的关键是正确找出等量关系。
6.3.1一元一次方程--等积变形问题
问题1 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。 (2)使长方形的宽比长少4厘米,求这个x能否直 接列出方程？ 不 能 2）求面积分几步？
①先求长和宽
②再求长方形的面积
注 意：不是每道应用题都是直接设元（未知
数），要认真分析题意，找出能表示整个题意 的等量关系，再根据这个等量关系，确定如何 设未知数。
招亲启事
亲爱的子民们： 如果你是20-25岁的年轻小伙子， 你拥有勤劳的双手和智慧的头脑，你 就有权来参加招亲。 参加招亲的年轻人都将得到一个 长60米的栅栏，如果你用这个栅栏围 成的长方形耕地，并种得了所有人中 最多的粮食，那么你会成为驸马！
分析
思考
在这里我们可以把它概括成一个 什么样的数学问题呢？
实际上，若把这根铁丝围成任何封闭的 平面图形（包括随意七凹八凸的不规则图 形），面积最大的是圆.这里面的道理需 要较为高深的数学知识，在以后的学习中， 我们继续去探究其中的道理。
形成结构 我们这节课学到了什么？
实际问题 抽象 数学问题 分析 已知量、未知
量、等量关系
不 合 理 解释 合 理 解的合理性 验 证
一个周长为60米的长方形，求它的最 大面积是多少？
探
索
分组合作
用一根60厘米长的铁丝围一个方形 . 要 求：
围成一个长方形（含正方形）； 然后量出它的长和宽； ③计算一下它的面积。
比较一下计算的面积和长与宽之差有 什么关系？
问题1
用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形. （1）使长方形的宽是长的 2 ，那么这个长方形的长 3 和宽分别是多少？
(2)当长方形的长为17厘米,宽为13厘米时, 长方形的面积= 17 13 221 (厘米)
(1)
一元一次方程的应用(一)等积变形
一、学习目标：1、通过分析图形中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系；2、认识方程模型的重要性．二、重难点：重点：运用方程解决实际问题难点：寻找图形问题的数量关系三、学习过程（一）复习回顾1．列方程解应用题应注意哪些事项?（1）_________________．（2）_________________．（3）_________________．2．列出方程解应用题的5个步骤是什么?（1）________________．（2）________________．（3）________________．（4）________________．（5）________________.3．填空：长方形的周长=_________．面积=__________ ．长方体的体积=_________．正方体的体积=__________．圆的周长=___________．面积=_______________．圆柱的体积=_______________．（二）问题解决：类型一：等积变形问题1．将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为l0厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少?假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有=锻压后的体积．我们可完成下表：锻压前锻压后底面半径高体积解：设锻压后圆柱的高为x 米，则可列方程为：_______________________________________．解得=x _______________．答：高变成了__________厘米．类型二：等长变形问题2．用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形．（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为________米，宽为_________米．（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为_______米，宽为_____米，它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化?（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是______米，它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化?（4）由上面（1）（2）（3），你可得出什么结论？类型三：工程问题3．某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个，就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，就可超额完成10个，求规定加工零件的个数．（试用不同的方法解下列问题）（三）学以致用 1．请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是 ( )A. 2286()()(5)22x x ππ=+ B ．2286()()(5)22x x ππ=- C ．2286(5)x x ππ=+ D ．22865x ππ= 2．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m ，而长减少了5 m ，那么面积增加15 ㎡，设长方形原来的宽为x m ，则所列方程是( )A．2+--=(4)(35)153x x x x x x(4)(35)153+-+=B．2C．2x x x(4)(35)153-++=x x x-+-=D．2(4)(35)1533．如图5—3—3，把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积．解：设正方形A的边长为x厘米，则正方形B的边长为________厘米；正方形C的边长为________厘米；正方形D的边长为________厘米；正方形E的边长为________厘米．由题意可得方程：______________________．解得x= ________，答：长方形的面积为___________平方厘米．4．某工人原计划用26天生产一批零件，工作两天后，因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？这批零件共有多少个？5．某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标,现有甲,乙两个工程队竞标,竞标资料上显示：若单独完成此项工程,甲10天可完成,乙15天可完成,担甲队每天的工程费用比乙队多300元,若两队合作,共需工程费用10200元,工程指挥站决定从两队中选一队单独完成,若从节省资金的角度考虑,应该选哪个工程队?为什么?6. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。
一元一次方程应用之等积变形篇
等积变形篇物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686=x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210) 768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm ×60m ”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm 、4.0cm ，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm 指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m 是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x ≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm ．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m 3，做一条桌腿需要木材0.002m 3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m 3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X 张，我们就容易用X 表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m 3，做桌面所需的木材的体积是0.03X m 3.因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m 3解：设共做了x 张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100. 所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
初中数学 什么是一元一次方程的变形原理
初中数学什么是一元一次方程的变形原理一、引言在初中数学中，一元一次方程是一个重要的概念。
通过对一元一次方程进行变形，我们可以将其简化为更简洁的形式，从而更容易求解未知数。
本文将详细介绍一元一次方程的变形原理，并提供一些示例来帮助初学者更好地理解和应用这个概念。
二、一元一次方程的一般形式一元一次方程的一般形式为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的目标是求解未知数x。
三、一元一次方程的变形原理一元一次方程的变形原理是根据等式性质和运算性质对方程进行变形，从而简化方程的形式。
下面是一元一次方程的常见变形原理：1. 同侧合并同类项：方程中的同类项是指具有相同未知数的项。
我们可以将同类项合并为一个项，从而简化方程。
示例1：方程2x + 3x = 5x。
我们可以合并同类项2x和3x，得到方程5x = 5x。
这个方程说明x的值可以是任意实数，因此有无穷多个解。
2. 移项：方程中的未知数项和常数项可以在等式两侧进行移动，从而使方程更加简洁。
示例2：方程2x + 3 = 5。
我们可以将未知数项2x移动到等式的右侧，得到方程3 = 5 - 2x。
这个方程可以进一步简化为-2x = 2，即x = -1。
3. 消元：如果方程中存在两个未知数，我们可以通过消元的方法将其中一个未知数消去，从而得到只含一个未知数的方程。
示例3：方程2x + 3y = 7和3x - 4y = 2。
我们可以通过消元的方法来解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，得到6x + 9y = 21和6x - 8y = 4。
然后，将这两个方程相减，消去x，得到17y = 17，即y = 1。
将y的值代入第一个方程，可以求得x的值。
这个方程组有唯一解x = 2，y = 1。
4. 分配律：方程中的分配律可以用来展开括号，从而简化方程。
示例4：方程3(x + 2) = 2(x - 1) + 5。
我们可以使用分配律将括号展开，得到3x + 6 = 2x - 2 + 5。
一元一次方程的应用+第1课时等积变形问题+ 课件 +2024-—2025学年北师大版数学七年级上册
新知小结 2. 常见图形的周长、面积及体积计算公式.
（1）长方体的体积＝ 长×宽×高 ；
（2）圆柱的体积＝ 底面积×高 ；
（3）长方形的周长＝ 2×（长＋宽） ；
（4）长方形的面积＝ 长×宽 .
3. 列一元一次方程解决实际问题的基本步骤.
典例精析 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。
课堂总结
等积变 形问题
关 键 根据等量关系列方程.
解应用题步骤
①审； ②设； ③列； ④解； ⑤检； ⑥答.
情境导入 教师让学生拿出课前准备好的橡皮泥，先捏出一个“瘦长”的圆
柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的 圆柱，请同学们边操作边思考下列几个问题：
（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直 径是否变化？还有哪些量改变了？
（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？ 解：（1）圆柱的底面直径发生了变化；
因此，易拉罐的高度变为__1_4_._5_2__cm.
新知小结
1. 常见的几种情形列方程. （1）物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程； （2）周长一定，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了， 抓住周长不变列方程； （3）图形的拼接、割补、平移、旋转等类型的应用题，抓住图 形变化前后的面积、周长不变列方程. 注：应学会“变中找不变”和“不变中找变”的数学思想方法.
随针堂对检练测习
设小明的爸爸设计的养鸡场的宽为 y m， 则长为（y ＋2）m. 由题意，得 y＋y＋（y＋2）＝35， 解得 y＝11，则 y＋2＝13. 所以小明爸爸设计的养鸡场长为13m，小于墙长，宽为11m， 面积为13×11＝143（m2）. 所以小明爸爸的设计合理，这时养鸡场的面积为143m2.
七年级数学上册第五章一元一次方程3应用一元一次方程—水箱变高了“等积变形”问题的常用解法素材北师大版
“等积变形”问题的常用解法难易度：★★★★关键词：一元一次方程的应用答案：等积变形问题的关键是抓住变化中的“不变量”来寻求等量关系，如体积相等，面积相等. 【举一反三】典例：要锻造一个直径为70mm,高为45mm的圆柱形毛坯，需截取直径为50mm的圆柱形钢 mm。
思路导引:这是个典型的等积变形问题,变形前后的体积不变,用体积相等列方程。
标准答案:尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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2 ×0.5 0.3 （_________)
r2h
解：设水面将升高x米, 根据题意得
2 x = 0.32 ×0.5 0.5 方程为：___________________
x =0.18 解这个方程：__________
容器内水面将升高0.18m。 答：______________________
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为30米，宽为20米.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+10=100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40米
答：该仓库的长为40米，宽为30米。
等面积的变形
S r
2
h a
b
S ah
常见图形的体积公式
名称 图形
用字母表示公式 体积（V）
正方体
a
V a
c b
3
长方体
a
V abc
V r h
2
圆柱体
h
r
圆锥体
h r
1 2 V r h 3
延 伸
等 积 变 形 相等
体（面）积 周长
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个
长比宽长10米的长方形，问这个长方形的 长和宽各是多少米？
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。
解：形状改变，体积不变
例题学习
例1：用直径为200毫米的圆柱体钢，锻造一个长、 宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方 体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢？（计算 时取3.14.要求结果误差不超过1毫米）
布置作业
1、全效B 2、课本P138—139
的 7、 8
示图分析
100米
(X+10)
米
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长
方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的
旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行
的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
库的长和宽？Leabharlann 解：设长方形的宽X米. 根据题意得：
2（x+x+10）=100 2(2x+10)=100 4x=80 X=20
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短Xm,则长方形的长 是（60 －X), 30m 由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
30（60 —x)=1350
解得：x=15
60m
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
X=9
经检验:x=9是方程的解，且符合题意。
答：高变成了9厘米。
……….
练
习
2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为
1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高
线长为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面
将升高多少?
5dm 1. 5m
3dm
0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是_______, 水升高后的体积 小铁块的体积 （__________）
习
1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦
长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”
形圆柱，高变成了多少？ 锻压 等量关系：变形前的体积=变形后的体积 解:高变成了x厘米，由题意得：
∏ ×52 ×36= ∏ ×102x
练
习
解:高变成了x厘米，由题意得：
∏ ×52 ×36= ∏ ×102x
合作讨论
如图，有A,B两个圆柱形容器，A容器的底面 积是B容器底面积的2倍，B容器的壁高为 22cm。已知A容器内装水的高度为10cm，若 把这些水倒入B容器，水会溢出吗？
22cm 10cm
A
B
小结：列方程解应用题的一般步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1、审题：分析题意，找出题中数量及其关系； 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示； 3、列方程：根据等量关系列出方程. 4、解方程：求出未知数的值. 5、检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案.
200
x
90
300
300
圆柱体钢
长方体毛坯
分析题意，找出等量关系 ： 圆柱体钢体积 = 长方体毛坯体积 解：设应截取圆柱体钢长为x毫米，根据题意 可得：
200 3.14 x 300 300 90 2 x 258 解得：
答：应截取圆柱体钢的长约为258毫米。
2
练
答：将下底由60m缩小到45m.将上底30m放大到45m.
体积的变形
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，
体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，
哪些量保持不变？
1、把一小杯水倒入另一只大杯中； 解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
——三、等积变形问题
常见图形周长及面积公式
名称
正方形 三角形 梯形 圆 平行四边形
图形
用字母表示公式
周长（C） a 面积（S）
C 4a
c
S a
2
b
h a b a r
C abc
d
1 S ah 2
S 1 ( a b) h 2
c
h
C abcd
C 2r
C 2a b