2023-2024学年广东省江门市蓬江区棠下中学九年级(上)期中数学试卷+答案解析
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一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中,是中心对称图形的是2023-2024学年广东省江门市蓬江区棠下中学九年级(上)期中数
学试卷
( )
A. B.
C. D.
2.下列事件是必然事件的是( )A. 抛掷一枚硬币四次,有两次正面朝上 B. 打开电视频道,正在播放新闻C. 射击运动员射击一次,命中十环 D. 方程
有实数根
3.关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A.
B.
C.
且
D.
且
4.一个不透明的袋中,装有2个黄球、3个红球和5个白球,它们除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个球,是白球的概率是( )A. B.
C.
D.
5.抛物线的顶点坐标是( )A. B.
C.
D. 6.如图,中,,在同一平面内,将绕点A
旋转到的位置,使得
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如图,正三角形ABC内接于圆O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A,B重合,
则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.在元旦庆祝活动中,参加活动的同学互赠贺卡,共送贺卡42张,设参加活动的同学有x人,根据题意,可列方程( )
A. B. C. D.
9.如图,过上一点C作的切线,交直径AB的延长线于点若,则的度数为( )
A. B. C. D.
10.抛物线的对称轴为直线,部分图象如图所示,下列判断中:①;②
;③;④;其中判断正确的选项( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题:本题共7小题,每小题4分,共28分。
11.若点与点关于原点对称,则______.
12.如果关于x的一元二次方程的一个解是,则______.
13.将二次函数化成的形式,则_________.
14.一枚飞镖任意投掷到如图所示的同心圆镖盘上.此镖盘上有两个同心圆,三条直
径把大圆分成六等份,飞镖落在白色区域的概率为______.
15.如图,弦AB的长等于的半径,那么弦AB所对的圆周角的度数是______.
16.如图,圆锥的母线长l为10cm,底面圆半径r为,则该圆锥的侧面积为______
17.如图,正三角形ABC的边长为1,将线段AC绕点A逆时针旋转至
,形成第一个扇形;将线段绕点B逆时针旋转至,形成第
二个扇形;将线段绕点C逆时针旋转至,形成第三个扇形;将
线段绕点A逆时针旋转至,形成第四个扇形……,设为
第n个扇形的弧长…,则______.
三、解答题:本题共8小题,共62分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18.本小题6分
解方程:
19.本小题6分
如图,AB是直径,CD是的弦,,求的度数.
20.本小题6分
为响应垃圾分类处理、改善生态环境的号召,某小区将生活垃圾分成四类,并设置了相应的四个垃圾箱,A:可回收物垃圾箱,B:有害垃圾箱,C:餐厨垃圾箱,D:其它垃圾箱.甲、乙两人分别投放了一袋垃圾,请用列表或画树状图的方法求甲、乙投放到不同垃圾箱的概率.
21.本小题8分
在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,将绕着点C顺时针旋转,得到画出;
求点A在旋转过程中的路径长;
可以看作是由旋转得到,在点P,Q,M,N中,点______是旋转中心.
22.本小题8分
劳动是财富的源泉,也是幸福的源泉.某中学对劳动教育进行积极探索和实践,创建学生劳动教育基地,
让学生参与到农耕劳作中.如图,现准备利用校园围墙的一段最长可用,用40m长的篱笆,围成一个矩形菜园
当AB长度为多少时,矩形菜园的面积为?
能否围成面积为的矩形菜园?为什么?
23.本小题8分
如图,等腰三角形ABC中,,作于点D,将线段BD绕着点B顺时针旋转角后得到线段BE,连接
求证:;
延长线段AD,交线段CE于点求的度数用含有的式子表示
24.本小题10分
如图,AB是的直径,点C是劣弧BD中点,AC与BD相交于点连接BC,,CF 与AB的延长线相交于点
求证:CF是的切线;
求证:;
若,,求AD的长.
25.本小题10分
如图,已知抛物线经过、两点,其对称轴与x轴交于点
求该抛物线和直线BC 的解析式;设抛物线与直线BC 相交于点D ,求的面积;
在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标及
最小周长;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:选项A、B、C的图形都不能找到一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形,
选项D能找到一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以是中心对称图形.
故选:
把一个图形绕某一点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,由此即可判断.
本题考查中心对称图形.熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:A、抛掷一枚硬币四次,有两次正面朝上,是随机事件;
B、打开电视频道,正在播放新闻,是随机事件;
C、射击运动员射击一次,命中十环,是随机事件;
D、方程的判别式,则方程有实数根,是必然事件;
故选:
根据事件发生的可能性大小判断,得到答案.
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
3.【答案】C
【解析】解:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
且,
解得且
故选:
根据一元二次方程的定义和的意义得到且,然后解不等式即可得到k的取值范围.
本题考查了一元二次方程的根的判别式:当,方程有两个不相
等的实数根;当,方程有两个相等的实数根;当,方程没有实数根;也考查了一元二次方程的定义.
4.【答案】A
【解析】解:从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果,
其中摸出的球是白球的结果有5种,
从袋中任意摸出一个球,是白球的概率是,
故选:
由题意可得,共有10种等可能的结果,其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5种情况,利用概率公式即可求得答案.
此题考查了概率公式,明确概率的意义是解答问题的关键,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
5.【答案】D
【解析】【分析】
已知抛物线的顶点式,可知顶点坐标和对称轴.
考查了二次函数的性质,顶点式,顶点坐标是,对称轴是
【解答】
解:是抛物线的顶点式,
根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标是
故选:
6.【答案】D
【解析】解:,
,
绕点A旋转到的位置,
,,
,
,
故选:
先根据平行线的性质得,再根据旋转的性质得,,则
根据等腰三角形的性质得,然后根据三角形内角和定理计算出
,于是有
本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.
7.【答案】B
【解析】解:正三角形,
,
故选:
由等边三角形的性质知,,即弧BC的度数为,可求
本题利用了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.和等边三角形的性质求解.
8.【答案】A
【解析】解:设参加活动的同学有x人,则每人送出张贺卡,
依题意得:,
故选:
设参加活动的同学有x人,则每人送出张贺卡,根据参加活动的同学共送贺卡42张,即可得出关于x的一元二次方程.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
9.【答案】B
【解析】解:连接OC,
切于点C,
,
,
,
,
,
,
,
故选:
连接OC,根据切线的性质得到出是直角,求出,再求出,根据三角形的外角性质求出即可.
本题考查了三角形的外角性质,三角形的内角和定理,切线的性质,等腰三角形的性质的应用,主要考查学生运用这些性质进行推理的能力.
10.【答案】C
【解析】解:抛物线开口向上,
,
抛物线的对称轴为直线,
,
抛物线与y轴的交点在x轴下方,
,
,所以①错误;
,
,所以②正确;
抛物线与x轴有2个交点,
,所以③正确;
当时,,
,所以④正确.
综上,②③④正确.
故选:
利用抛物线开口方向得到,利用抛物线的对称轴方程得到,利用抛物线与y轴的交点位置得到,则可对①进行判断;利用对称轴方程可对②判断;利用抛物线与x轴交点个数可对③进行判断;
利用当时,,可对④判断.
本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当时,抛物线开口向上;当时,抛物线开口向下;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b
同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线
与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定:时,抛物线与x轴有2个交点;
时,抛物线与x轴有1个交点;时,抛物线与x轴没有交点.
11.【答案】
【解析】解:点与点关于原点对称,
,,
,
故答案为:
根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得a、b的值,进而可得答案.
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握:点关于原点O的对称点是
12.【答案】2019
【解析】解:把代入方程,得,
,
故答案为:
利用一元二次方程解的定义得到,然后把变形为,再利用整体代入的方法计算.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的三种形式:一般式:,顶点式:;两根式:
将二次函数的右边配方即可化成的形式.
【解答】
解:,
,
,
故答案为:
14.【答案】
【解析】解:两个同心圆被等分成六等份,飞镖落在每一个区域的机会是均等的,其中白色区域的面积
占了其中的3等份,
飞镖落在白色区域的概率为,
故答案为:
根据两个同心圆被均分成六等份,飞镖落在每一个区域的机会是均等的,由此计算出白色区域的面积,利
用几何概率的计算方法解答即可.
本题考查几何概率的求法:首先根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件;然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件发生的概率.
15.【答案】或
【解析】解:在优弧上取点C,连接AC,BC,在劣弧AB上取点D,连接AD,BD,
弦AB的长等于的半径,
是等边三角形,
,
,
,
弦AB所对的圆周角的度数是:或
故答案为:或
首先在优弧上取点C,连接AC,BC,在劣弧AB上取点D,连接AD,BD,由弦AB的长等于的半径,可得是等边三角形,然后利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求得答案.
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解
此题的关键.
16.【答案】
【解析】解:根据题意,该圆锥的侧面积
故答案为
由于锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长,则利用扇形的面积公式可计算出该圆锥的侧面积.
本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
17.【答案】
【解析】解:根据弧长公式得,
,
,
,
…,
,
当时,,
故答案为:
从上图中可以找出规律,弧所对圆心角不变都是,变化的是半径,而且第一次是1,第二次是2,第三次是3,依此下去,然后按照弧长公式计算.
本题考查了旋转的性质,弧长公式,找出规律是解题的关键.
18.【答案】解:,
,
,
或,
原方程的解为:,
【解析】先将原方程化为一般式,然后运用二次三项式的因式分解法进行求解.
本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
19.【答案】解:如图,连接BD,
是的直径,
,
,,
【解析】连接BD,根据圆周角定理和已知条件得出,再根据圆周角定理可得
,由此即可解决问题.
本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质,注意:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等.
20.【答案】解:列表如下:
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果数,其中甲、乙投放到不同垃圾箱有12种情况数,
则甲、乙投放到不同垃圾箱的概率是
【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和甲、乙投放到不同垃圾箱的情况数,然后根据概率公式即可得出答案.
此题考查的是用列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
21.【答案】N
【解析】解:如图,为所求;
点A在旋转过程中的路径长;
如图所示,点N是旋转中心,
故答案为:
将点A、B分别绕点C顺时针旋转所得对应点,再与点C首尾顺次连接即可;
利用弧长公式求解即可;
根据旋转变换的性质求解即可.
本题主要考查作图-旋转变换,解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质,并据此得出变换后的对应点及弧长公式.
22.【答案】解:设当AB长度为xm时,矩形菜园的面积为,
根据题意得:,
解得:或,
当时,,不符合题意,
舍去,
答:当AB长度为15m时,矩形菜园的面积为
不能围成,如果矩形菜园面积为时,
则:,方程没有实数根.
答:不能围成面积为的菜园.
【解析】设,则,根据矩形花园的面积为,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再结合围墙MN最长可利用25m,即可确定结论;
根据矩形花园的面积为,即可得出关于x的一元二次方程,由根的判别式,即可得出该方程无实数根,进而可得出不能围成面积为的矩形花园.
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式,解题的关键是:找准等量关系,正确列出一元二次方程;牢记“当时,方程无实数根”.
23.【答案】证明:线段BD绕点B顺时针旋转角得到线段BE,
,,
,
,
,
,
在与中,
,
≌,
,
;
解:如图,由得:≌,
,
,,,
【解析】由旋转的性质得,再由SAS证得≌,得出
,即可得出结论;
由≌得,再由三角形内角和定理即可求解.
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识,证明≌是解题的关键.
24.【答案】解:连接OC,
是直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
是的切线.
点C是中点,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
如图:
,,
于点H,
设OH为x,则CH为,根据勾股定理,
,
解得:,
,
是中位线,
【解析】连接OC,由圆周角定理得,再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论;
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案;
设OH为x,则CH为,根据勾股定理可得方程,求得OH的长,再根据三角形中位线定理可得答案.
此题考查的是相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理,正确作出辅助线是解决此题关键.
25.【答案】解:将、代入抛物线解析式得:,
解得:,
故抛物线的解析式为:,
其对称轴为:直线,
故点C的坐标为,
设直线BC的解析式为,
将点B、点C的坐标代入可得:,
解得:,
故直线BC的解析式为;
联立直线BC与抛物线的解析式:,
解得:或,
故点D的坐标为,
则
存在点Q,使得的周长最小;
点A关于抛物线对称轴的对称点为,连接,则与对称轴的交点即是点Q的位置:
坐标为,,
设直线的解析式为:,代入两点坐标可得:,
解得:,
即直线的解析式为,
故点Q的坐标为
,
即存在点Q的坐标时,使得的周长最小,最小周长为
【解析】本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积,及利用轴对称求最短路径的问题,解答第二问需要我们将要求的图形的面积分割,第三问的关键是利用轴对称的性质得出点Q的位置,难度较大.
将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式,从而得出点C的坐标,利用待定系数法求出直线BC 的解析式.
求出点D的坐标,然后根据进行计算,即可得出答案.
长度固定,只需满足最小即可,找点A关于对称轴的对称点,连接,则与对称轴的交点即是点Q的位置,求出其坐标及周长即可.。