2023-2024学年广东省江门市蓬江区棠下中学九年级(上)期中数学试卷+答案解析

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图案中，是中心对称图形的是2023-2024学年广东省江门市蓬江区棠下中学九年级（上）期中数
学试卷
( )
A. B.
C. D.
2.下列事件是必然事件的是( )A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B. 打开电视频道，正在播放新闻C. 射击运动员射击一次，命中十环 D. 方程
有实数根
3.关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A.
B.
C.
且
D.
且
4.一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是( )A. B.
C.
D.
5.抛物线的顶点坐标是( )A. B.
C.
D. 6.如图，中，，在同一平面内，将绕点A
旋转到的位置，使得
，则
等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，
则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有x人，根据题意，可列方程( )
A. B. C. D.
9.如图，过上一点C作的切线，交直径AB的延长线于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②
；③；④；其中判断正确的选项( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。

11.若点与点关于原点对称，则______.
12.如果关于x的一元二次方程的一个解是，则______.
13.将二次函数化成的形式，则_________.
14.一枚飞镖任意投掷到如图所示的同心圆镖盘上.此镖盘上有两个同心圆，三条直
径把大圆分成六等份，飞镖落在白色区域的概率为______.
15.如图，弦AB的长等于的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是______.
16.如图，圆锥的母线长l为10cm，底面圆半径r为，则该圆锥的侧面积为______
17.如图，正三角形ABC的边长为1，将线段AC绕点A逆时针旋转至
，形成第一个扇形；将线段绕点B逆时针旋转至，形成第
二个扇形；将线段绕点C逆时针旋转至，形成第三个扇形；将
线段绕点A逆时针旋转至，形成第四个扇形……，设为
第n个扇形的弧长…，则______.
三、解答题：本题共8小题，共62分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.本小题6分
解方程：
19.本小题6分
如图，AB是直径，CD是的弦，，求的度数．
20.本小题6分
为响应垃圾分类处理、改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类，并设置了相应的四个垃圾箱，A：可回收物垃圾箱，B：有害垃圾箱，C：餐厨垃圾箱，D：其它垃圾箱.甲、乙两人分别投放了一袋垃圾，请用列表或画树状图的方法求甲、乙投放到不同垃圾箱的概率.
21.本小题8分
在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，将绕着点C顺时针旋转，得到画出；
求点A在旋转过程中的路径长；
可以看作是由旋转得到，在点P，Q，M，N中，点______是旋转中心．
22.本小题8分
劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，
让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段最长可用，用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园
当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为？
能否围成面积为的矩形菜园？为什么？
23.本小题8分
如图，等腰三角形ABC中，，作于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角后得到线段BE，连接
求证：；
延长线段AD，交线段CE于点求的度数用含有的式子表示
24.本小题10分
如图，AB是的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点连接BC，，CF 与AB的延长线相交于点
求证：CF是的切线；
求证：；
若，，求AD的长．
25.本小题10分
如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与x轴交于点
求该抛物线和直线BC 的解析式；设抛物线与直线BC 相交于点D ，求的面积；
在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标及
最小周长；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件；
B、打开电视频道，正在播放新闻，是随机事件；
C、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件；
D、方程的判别式，则方程有实数根，是必然事件；
故选：
根据事件发生的可能性大小判断，得到答案．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】C
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且
故选：
根据一元二次方程的定义和的意义得到且，然后解不等式即可得到k的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相
等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
4.【答案】A
【解析】解：从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有5种，
从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是，
故选：
由题意可得，共有10种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5种情况，利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】D
【解析】【分析】
已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
考查了二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是
【解答】
解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是
故选：
6.【答案】D
【解析】解：，
，
绕点A旋转到的位置，
，，
，
，
故选：
先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，则
根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出
，于是有
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
7.【答案】B
【解析】解：正三角形，
，
故选：
由等边三角形的性质知，，即弧BC的度数为，可求
本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．和等边三角形的性质求解．
8.【答案】A
【解析】解：设参加活动的同学有x人，则每人送出张贺卡，
依题意得：，
故选：
设参加活动的同学有x人，则每人送出张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接OC，
切于点C，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
连接OC，根据切线的性质得到出是直角，求出，再求出，根据三角形的外角性质求出即可．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴下方，
，
，所以①错误；
，
，所以②正确；
抛物线与x轴有2个交点，
，所以③正确；
当时，，
，所以④正确．
综上，②③④正确．
故选：
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x轴交点个数可对③进行判断；
利用当时，，可对④判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b
同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线
与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；
时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点关于原点O的对称点是
12.【答案】2019
【解析】解：把代入方程，得，
，
故答案为：
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：
将二次函数的右边配方即可化成的形式．
【解答】
解：，
，
，
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：两个同心圆被等分成六等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积
占了其中的3等份，
飞镖落在白色区域的概率为，
故答案为：
根据两个同心圆被均分成六等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出白色区域的面积，利
用几何概率的计算方法解答即可．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
15.【答案】或
【解析】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，
弦AB的长等于的半径，
是等边三角形，
，
，
，
弦AB所对的圆周角的度数是：或
故答案为：或
首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由弦AB的长等于的半径，可得是等边三角形，然后利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求得答案．
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解
此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，该圆锥的侧面积
故答案为
由于锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可计算出该圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】
【解析】解：根据弧长公式得，
，
，
，
…，
，
当时，，
故答案为：
从上图中可以找出规律，弧所对圆心角不变都是，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然后按照弧长公式计算．
本题考查了旋转的性质，弧长公式，找出规律是解题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
或，
原方程的解为：，
【解析】先将原方程化为一般式，然后运用二次三项式的因式分解法进行求解．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
19.【答案】解：如图，连接BD，
是的直径，
，
，，
【解析】连接BD，根据圆周角定理和已知条件得出，再根据圆周角定理可得
，由此即可解决问题．
本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
20.【答案】解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果数，其中甲、乙投放到不同垃圾箱有12种情况数，
则甲、乙投放到不同垃圾箱的概率是
【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和甲、乙投放到不同垃圾箱的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】N
【解析】解：如图，为所求；
点A在旋转过程中的路径长；
如图所示，点N是旋转中心，
故答案为：
将点A、B分别绕点C顺时针旋转所得对应点，再与点C首尾顺次连接即可；
利用弧长公式求解即可；
根据旋转变换的性质求解即可．
本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点及弧长公式．
22.【答案】解：设当AB长度为xm时，矩形菜园的面积为，
根据题意得：，
解得：或，
当时，，不符合题意，
舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为
不能围成，如果矩形菜园面积为时，
则：，方程没有实数根．
答：不能围成面积为的菜园．
【解析】设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
根据矩形花园的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
23.【答案】证明：线段BD绕点B顺时针旋转角得到线段BE，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
；
解：如图，由得：≌，
，
，，，
【解析】由旋转的性质得，再由SAS证得≌，得出
，即可得出结论；
由≌得，再由三角形内角和定理即可求解．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
24.【答案】解：连接OC，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图：
，，
于点H，
设OH为x，则CH为，根据勾股定理，
，
解得：，
，
是中位线，
【解析】连接OC，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
设OH为x，则CH为，根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
25.【答案】解：将、代入抛物线解析式得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：，
其对称轴为：直线，
故点C的坐标为，
设直线BC的解析式为，
将点B、点C的坐标代入可得：，
解得：，
故直线BC的解析式为；
联立直线BC与抛物线的解析式：，
解得：或，
故点D的坐标为，
则
存在点Q，使得的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接，则与对称轴的交点即是点Q的位置：
坐标为，，
设直线的解析式为：，代入两点坐标可得：，
解得：，
即直线的解析式为，
故点Q的坐标为
，
即存在点Q的坐标时，使得的周长最小，最小周长为
【解析】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，及利用轴对称求最短路径的问题，解答第二问需要我们将要求的图形的面积分割，第三问的关键是利用轴对称的性质得出点Q的位置，难度较大．
将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC 的解析式．
求出点D的坐标，然后根据进行计算，即可得出答案．
长度固定，只需满足最小即可，找点A关于对称轴的对称点，连接，则与对称轴的交点即是点Q的位置，求出其坐标及周长即可．。