2015哈尔滨市第六中学第四次模拟考试 理科数学 (1)

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哈尔滨市第六中学2015届高三第四次模拟考试
数学试卷(理工类)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U R =,设集合{|lg(1)}A x y x ==-,集合{}
2,1,x
B y y x ==≥则()U A
C B
=( )
.A []1,2 .B [)
1,2
.C ()1,2 .D (]1,2
2.已知复数2101z i i i =++++ ,则复数z 在复平面内对应的点为( )
.A (1,1) .B (1,1)- .C (0,1) .D (1,0)
3. 若
2
π
θπ<<,且cos 3
P θ
=,()3
cos Q θ=,()1
3
cos R θ=,则,,P Q R 大小关系为( )
.A R Q P << .B Q R P << .C P Q R << .D R P Q <<
4.下列说法正确的是 ( )
.A 命题“若x y =,则sin sin x y =”的否命题为真命题
.B “直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充分条件是“1=a ” .C 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++>”
7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于
( )
.A12 .B4 .C
56
3
.D
3
8.将函数sin(2)
6
y x
π
=+的图象向右平移
6
π
个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,所得新图象的函数解析式是()
.A sin4
y x
=.B sin
y x
=.C sin(4)
6
y x
π
=-.D sin()
6
y x
π
=-
9. 设0,0,(1,2),(,1),(,0)
a b A B a C b
>>---,若,,
A B C三点共线,则
b
a
1
1
+的最小值是()
.A2
2
3+.B2
4.C6.D9
2
10. 已知数列{}n a为等比数列,

201320150
a a
+=⎰,则2014201220142016
(2)
a a a a
++
的值为( )
.Aπ.B2π.C2π.D2

11.如图,1
F、
2
F是双曲线)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
的左、右焦
点,过1
F的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若
2
ABF

为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
.A 4 .B7.C
3
3
2
.D3
12. 定义在)
,1(+∞上的函数)
(x
f满足下列两个条件:(1)对任意的)
,1(+∞

x恒有)
(
2
)
2(x
f
x
f=成立;(2)当(]2,1

x时,x
x
f-
=2
)
(.记函数=
)
(x
g)1
(
)
(-
-x
k
x
f,若函数)
(x
g恰有两个零点,则实数k的取值范围是()
.A[)2,1.B⎥


⎢⎣

2,
3
4
.C⎪




2,
3
4
.D⎪


⎢⎣

2,
3
4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积为
14.已知,a b
均为单位向量,且它们的夹角为60°,当||()a b R λλ+∈ 取最小值时,λ= 15.在平面直角坐标系中,实数,x y 满足101010x y x x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
,若2z x y =-+,则z 的取值范围

16.若关于x 的函数(
)22
2sin 4(0)2cos tx x x
f x t x x
π⎛
⎫++ ⎪⎝⎭=≠+的最大值为a ,最小值为b ,且2a b += ,则实数t 的值为
三、解答题:本大题共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 数列}{n a 满足:)(23,3,21221*∈-===++N n a a a a a n n n (1)记n n n a a d -=+1,求证数列}{n d 是等比数列 (2)求数列}{n a 的通项公式;
18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球,用右手从乙袋中取球,
(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;
(2)若一次在同一袋中取出两球,如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。

某人第一次左手先取两球,第二次右手再取两球,记两次取球的获得成功的次数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望.
B
A
1C
1A
1B
C
19. 如图,斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形,︒=∠90ACB ,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点,且2BC CA ==. (1)求证:平面11A ACC ⊥平面CB C B 11; (2)若二面角11C AB B --的余弦值为7
5-
, 求斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1AA
的长度.
20. 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
x 轴上,它的一个顶点为A (0,且离
心率等于
2
,过点M (0,2)的直线l 与椭圆相交于P ,Q 不同两点,点N 在线段PQ 上. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设,PM PN MQ NQ λλ=-=
,试求λ
21. 设函数2
()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠。

(Ⅰ)当1
2b =时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (Ⅱ)当1
2
b <时,求函数()f x 的极值点
(Ⅲ)证明对任意的正整数n ,不等式23111
ln(1)n n n
+>-都成立。

考生在题(22)(23)(24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.选修4-1:几何证明选讲
如图所示,已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ,B 两点, 过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ,过点B 作两圆 的割线,分别交⊙O 1,⊙O 2于点D ,E ,DE 与AC 相交于点P.
(1)求证:AD ∥EC;
(2)若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD 的长;
23.选修4-4:极坐标与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程 是ρ=1,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,
直线l 的参数方程为t t y t x (232,21⎪⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=为参数)。

(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程;
(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y
y x x ,
2得到曲线C ',设曲线C '上任一点为),(y x M ,求
y x 32+的最小值。

24.选修4—5:不等式选讲
22题图
已知12,,,a b x x 为正实数,且满足1a b +=
(1)求2
2
4
b a + 的最小值
(2)求证:121212()()ax bx bx ax x x ++≥
理科数学答案:
13、24π 14、 2
-
15、 []2,1- 16、1 17、(1)112n n d -=⨯ (2)121n n a -=+
18.解:(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”, 则3
2
993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P
(2)依题意,X 的可能取值为0,1,2.
左手所取的两球颜色相同的概率为18
5
292
42322=
++C C C C 右手所取的两球颜色相同的概率为4
1
29232323=++C C C C
24134318134111851)0(=
⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-==X P 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P 72
541185)2(=⨯=
=X P 所以X的分布列为:
36
197252187124130)(=⨯+⨯+⨯
=X E 19. 解:(本小题满分12分)
(1)取BC 中点M ,连接1B M ,则1B M ⊥面ABC ,
11BB C C ABC ∴⊥面面
11BC BB C C ABC =⋂ 面面,AC BC ⊥ 11AC BB C C ∴⊥面 11AC ACC A ⊂ 面
1111ACC A BCC B ∴⊥面面
(2)以CA 为ox 轴,CB 为
oy 轴,过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴,建立空间直角坐标系……5分
2AC BC ==,设1B M t =则(2,0,0),(0,2,0),(0,1,),(0,1,)A B C t C t -
即111=2,1,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB BC -=-=- (
设面
1A B B
法向量1(,,)n x y z = 11
(1,1,)n t
∴= ;面11AB C 法向量2(,,)
n x y z = 2(,0,1)
2
t
n ∴= 125
cos ,7
n n =-
t ∴=12BB ∴=
20 、解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
因为它的一个顶点为A (0
,所以2
2b =
,由离心率等于2
=2,解得2
8a =,所以椭圆的标准方程为12
82
2=+y x (Ⅱ)设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,00(,)N x y ,若直线l 与y 轴重合,

||||||||PM MQ PN NQ ===
,得01y =
,得λ=; 若直线l 与y 轴不重合,则设直线l 的方程为2y kx =+,与椭圆方程联立消去y 得
22(14)1680k x kx +++=,得1221614k x x k +=-
+①, 12
2
8
14x x k =+②, 由||||||||PM MQ PN NQ =
得1
21002
00x x x x x x --=
--,整理得120122()x x x x x =+,将①②代入得01x k =-,又点00(,)N x y 在直线l 上,所以01()21y k k
=⨯-+=,
于是有11y <111112111
1111
y y y y y λ--+=
==----
,由11y <
11
11
y >-
,所以λ>
,综上所述,有λ21、解(Ⅰ)当1
2
b =
时,函数()f x 在定义域(-1,+∞)上单调递增。

(Ⅱ) 当12b <
时,解'()f x =0
得两个不同解12x x ==○1当b <0
时,12111,122
x x --+=<-=>-
∴12(1,),(1,)x x ∈-+∞∈-+∞,
此时()f x 在(1,)-+∞
上有唯一的极小值点212
x -+=

2当1
02
b <<时,12,(1,)x x ∈-+∞
'()f x 在12(1,),(,)x x -+∞都大于0,'()f x 在12(,)x x 上小于0,
此时()f x
有一个极大值点1x =
2x =
综上可知,
102b <<
时,()f x
有一个极大值点1x =
2x = b <0,时,()f x 在(-1,+
∞)上有唯一的极小值点2x =
(Ⅲ)当b=-1时,2()ln(1).f x x x =-+ 令32
3
3
2
3(1)()()ln(1),'()[0,)1
x x h x x f x x x x h x x +-=-=-++=+∞+则在上恒正
∴()h x 在[0,)+∞上单调递增,当x ∈(0,+∞)时,恒有()(0)0h x h >= 即当x ∈(0,+∞)时,有3
2
2
3
ln(1)0,ln(1)x x x x x x -++>+>-, 对任意正整数n ,取231111ln(1)x n n n n
=
+>-得
22(1)证明:连接AB ,∵AC 是⊙O 1的切线,∴∠BAC=∠D ,又∵∠BAC=∠E ,∴∠D=∠E 。

∴AD ∥EC
(2)设BP=x ,PE=y ,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,① ∵AD ∥EC ,∴2
6
9=+⇒=y x PC AP PE DP ②, 由①②可得,⎩

⎧==43
y x 或⎩⎨⎧-=-=112y x (舍去)∴DE=9+x+y=16,
∵AD 是⊙O 2的切线,∴AD 2
=DB ∙DE=9×16,∴AD=12。

23解:(1)0323:=-+-y x l 1:2
2
=+y x C
(2)⎪⎩⎪⎨

'
=
'
=
∴⎩⎨⎧='='y y x x y y x x 22 代入C 得 14
:22
=+'∴y x C
设椭圆的参数方程θθ
θ
(sin cos 2⎩⎨
⎧==y x 为参数)
则)6
sin(4sin 32cos 232π
θθθ+
=+=+y x 则y x 32+的最小值为-4。

24(1)当14,55a b == 时,22
4
b a + 的最小值为15
(2)21212()()ax bx bx ax ++≥
221212(()a b x x x x ==+=。

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