2015哈尔滨市第六中学第四次模拟考试 理科数学 (1)

哈尔滨市第六中学2015届高三第四次模拟考试
数学试卷（理工类）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集U R =，设集合{|lg(1)}A x y x ==-，集合{}
2,1,x
B y y x ==≥则()U A
C B
=（ ）
.A []1,2 .B [)
1,2
.C ()1,2 .D (]1,2
2.已知复数2101z i i i =++++ ，则复数z 在复平面内对应的点为（ ）
.A (1,1) .B (1,1)- .C (0,1) .D (1,0)
3. 若
2
π
θπ<<，且cos 3
P θ
=，()3
cos Q θ=，()1
3
cos R θ=，则,,P Q R 大小关系为（ ）
.A R Q P << .B Q R P << .C P Q R << .D R P Q <<
4.下列说法正确的是 （ ）
.A 命题“若x y =，则sin sin x y =”的否命题为真命题
.B “直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充分条件是“1=a ” .C 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++>”
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于
( )
.A12 .B4 .C
56
3
.D
3
8.将函数sin(2)
6
y x
π
=+的图象向右平移
6
π
个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（）
.A sin4
y x
=.B sin
y x
=.C sin(4)
6
y x
π
=-.D sin()
6
y x
π
=-
9. 设0,0,(1,2),(,1),(,0)
a b A B a C b
>>---，若,,
A B C三点共线，则
b
a
1
1
+的最小值是（）
.A2
2
3+.B2
4.C6.D9
2
10. 已知数列{}n a为等比数列，
且
201320150
a a
+=⎰，则2014201220142016
(2)
a a a a
++
的值为( )
.Aπ.B2π.C2π.D2
4π
11．如图，1
F、
2
F是双曲线)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
的左、右焦
点，过1
F的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若
2
ABF
∆
为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
.A 4 .B7.C
3
3
2
.D3
12. 定义在)
,1(+∞上的函数)
(x
f满足下列两个条件：（1）对任意的)
,1(+∞
∈
x恒有)
(
2
)
2(x
f
x
f=成立；（2）当(]2,1
∈
x时，x
x
f-
=2
)
(．记函数=
)
(x
g)1
(
)
(-
-x
k
x
f，若函数)
(x
g恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）
.A[)2,1.B⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2,
3
4
.C⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2,
3
4
.D⎪
⎭
⎫
⎢⎣
⎡
2,
3
4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积为
14．已知,a b
均为单位向量，且它们的夹角为60°，当||()a b R λλ+∈ 取最小值时，λ= 15．在平面直角坐标系中，实数,x y 满足101010x y x x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，若2z x y =-+，则z 的取值范围
是
16.若关于x 的函数(
)22
2sin 4(0)2cos tx x x
f x t x x
π⎛
⎫++ ⎪⎝⎭=≠+的最大值为a ，最小值为b ，且2a b += ，则实数t 的值为
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 数列}{n a 满足：)(23,3,21221*∈-===++N n a a a a a n n n （1）记n n n a a d -=+1，求证数列}{n d 是等比数列 （2）求数列}{n a 的通项公式；
18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。

某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.
B
A
1C
1A
1B
C
19. 如图，斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形，︒=∠90ACB ,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点，且2BC CA ==. (1)求证:平面11A ACC ⊥平面CB C B 11; (2)若二面角11C AB B --的余弦值为7
5-
, 求斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1AA
的长度.
20. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在
x 轴上，它的一个顶点为A （0，且离
心率等于
2
，过点M （0，2）的直线l 与椭圆相交于P ，Q 不同两点，点N 在线段PQ 上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设,PM PN MQ NQ λλ=-=
，试求λ
21. 设函数2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠。

（Ⅰ）当1
2b =时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）当1
2
b <时，求函数()f x 的极值点
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111
ln(1)n n n
+>-都成立。

考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.选修4－1：几何证明选讲
如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点， 过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆 的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P.
(1)求证:AD ∥EC;
(2)若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD 的长;
23.选修4－4：极坐标与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程 是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，
直线l 的参数方程为t t y t x (232,21⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+=为参数）。

（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y
y x x ,
2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求
y x 32+的最小值。

24.选修4—5：不等式选讲
22题图
已知12,,,a b x x 为正实数，且满足1a b +=
（1）求2
2
4
b a + 的最小值
（2）求证：121212()()ax bx bx ax x x ++≥
理科数学答案：
13、24π 14、 2
-
15、 []2,1- 16、1 17、（1）112n n d -=⨯ （2）121n n a -=+
18.解：（1）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则3
2
993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P
（2）依题意，X 的可能取值为0,1,2．
左手所取的两球颜色相同的概率为18
5
292
42322=
++C C C C 右手所取的两球颜色相同的概率为4
1
29232323=++C C C C
24134318134111851)0(=
⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-==X P 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P 72
541185)2(=⨯=
=X P 所以Ｘ的分布列为：
36
197252187124130)(=⨯+⨯+⨯
=X E 19. 解:（本小题满分12分）
(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥面ABC ，
11BB C C ABC ∴⊥面面
11BC BB C C ABC =⋂ 面面，AC BC ⊥ 11AC BB C C ∴⊥面 11AC ACC A ⊂ 面
1111ACC A BCC B ∴⊥面面
（2）以CA 为ox 轴,CB 为
oy 轴,过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系……5分
2AC BC ==，设1B M t =则(2,0,0),(0,2,0),(0,1,),(0,1,)A B C t C t -
即111=2,1,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB BC -=-=- （
设面
1A B B
法向量1(,,)n x y z = 11
(1,1,)n t
∴= ；面11AB C 法向量2(,,)
n x y z = 2(,0,1)
2
t
n ∴= 125
cos ,7
n n =-
t ∴=12BB ∴=
20 、解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
因为它的一个顶点为A （0
，所以2
2b =
，由离心率等于2
=2，解得2
8a =，所以椭圆的标准方程为12
82
2=+y x （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)N x y ，若直线l 与y 轴重合，
则
||||||||PM MQ PN NQ ===
，得01y =
，得λ=； 若直线l 与y 轴不重合，则设直线l 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立消去y 得
22(14)1680k x kx +++=，得1221614k x x k +=-
+①， 12
2
8
14x x k =+②， 由||||||||PM MQ PN NQ =
得1
21002
00x x x x x x --=
--，整理得120122()x x x x x =+，将①②代入得01x k =-，又点00(,)N x y 在直线l 上，所以01()21y k k
=⨯-+=，
于是有11y <111112111
1111
y y y y y λ--+=
==----
，由11y <
11
11
y >-
，所以λ>
，综上所述，有λ21、解（Ⅰ）当1
2
b =
时，函数()f x 在定义域（-1，+∞）上单调递增。

（Ⅱ） 当12b <
时，解'()f x =0
得两个不同解12x x ==○1当b ＜0
时，12111,122
x x --+=<-=>-
∴12(1,),(1,)x x ∈-+∞∈-+∞，
此时()f x 在(1,)-+∞
上有唯一的极小值点212
x -+=
○
2当1
02
b <<时，12,(1,)x x ∈-+∞
'()f x 在12(1,),(,)x x -+∞都大于0，'()f x 在12(,)x x 上小于0，
此时()f x
有一个极大值点1x =
2x =
综上可知，
102b <<
时，()f x
有一个极大值点1x =
2x = b ＜0，时，()f x 在（-1，+
∞）上有唯一的极小值点2x =
（Ⅲ）当b=-1时，2()ln(1).f x x x =-+ 令32
3
3
2
3(1)()()ln(1),'()[0,)1
x x h x x f x x x x h x x +-=-=-++=+∞+则在上恒正
∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，当x ∈（0，+∞）时，恒有()(0)0h x h >= 即当x ∈（0，+∞）时，有3
2
2
3
ln(1)0,ln(1)x x x x x x -++>+>-， 对任意正整数n ，取231111ln(1)x n n n n
=
+>-得
22(1)证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ，又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E 。

∴AD ∥EC
（2）设BP=x ，PE=y ，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，① ∵AD ∥EC ，∴2
6
9=+⇒=y x PC AP PE DP ②， 由①②可得，⎩
⎨
⎧==43
y x 或⎩⎨⎧-=-=112y x （舍去）∴DE=9+x+y=16，
∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2
=DB ∙DE=9×16，∴AD=12。

23解：（1）0323:=-+-y x l 1:2
2
=+y x C
（2）⎪⎩⎪⎨
⎧
'
=
'
=
∴⎩⎨⎧='='y y x x y y x x 22 代入C 得 14
:22
=+'∴y x C
设椭圆的参数方程θθ
θ
(sin cos 2⎩⎨
⎧==y x 为参数）
则)6
sin(4sin 32cos 232π
θθθ+
=+=+y x 则y x 32+的最小值为-4。

24（1）当14,55a b == 时，22
4
b a + 的最小值为15
（2）21212()()ax bx bx ax ++≥
221212(()a b x x x x ==+=。