【压轴卷】高一数学上期末第一次模拟试题(含答案)

【压轴卷】高一数学上期末第一次模拟试题(含答案)
一、选择题
1．设集合{}
1
|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）
A ．()0,1
B ．[)0,1
C ．(]0,1
D ．[]0,1
2．已知函数1
()log ()(011
a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．
12
B
C
D ．2
3．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
4．设23a log =
，b =2
3
c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ． a c b <<
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
6．已知1
3
1log 4a =，154
b
=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
7．若()()2
34,1,1
a x a x f x x x ⎧--<=⎨
≥⎩
是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )
A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．2,35
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(),3-∞
D ．2,5⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
9．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（
3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C
．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6
π） 11．若函数()[)[]
1,1,0{44,0,1x
x x f x x ⎛⎫
∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．
13
B ．
14
C ．3
D ．4
12．曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124
B ．5
(
,)12
+∞ C ．13(,)
34
D ．53
(,
)(,)124
-∞⋃+∞ 二、填空题
13．若函数()(0,1)x
f x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2
a
，则a 的值为____________. 14．已知log log log 22a a a
x y
x y +-=，则x y
的值为_________________． 15．若函数cos ()2||x f x x x =++
，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫
+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______. 16．若当0ln2x ≤≤时，不等式(
)()2220x x
x
x a e e e
e ---+++≥恒成立，则实数a 的取
值范围是_____.
17．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()
g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.
18．已知11,,1,2,32
a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，若幂函数()a
f x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a
的取值集合为______.
19．已知函数2,01,()1(1),13,2
x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x
f x k -=的所有根的和
的最大值是_______.
20．若函数()1
21
x
f x a =
++是奇函数，则实数a 的值是_________. 三、解答题
21．已知集合{}{}{}
|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；
（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围． 22．计算3221
(1).log 24lg
log 27lg 2log 32
+-+- 32
6031(2).(32)(8)9⎛⎫
⨯--- ⎪
⎝⎭
－　
23．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a m
f x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.
24．已知函数21
()f x x x
=
-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；
（2）若关于x 的不等式(
)
2
20f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围.
25．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．
()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；
()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大
值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数) 26．已知．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数
在区间
上是递增的，求实数的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】
由题得{}
10
|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.
所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】
本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数()1
log ()=0,1
a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．
【详解】
由函数()1
log ()=0,1
a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但
在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，
当x=1时，1
(1)log (
)=-log 2=111
a a f =+, 解得1=
2
a ， 故选A ．
本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要
讨论函数的单调性.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
由对数的运算化简可得2log a =
log b =，结合对数函数的性质，求得
1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得24222log 31
log 3log 3log log 42
a ==
==
28222log 61
log 6log 6log log 83
b ==
==，
2<
<
，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，
由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】 因为23a log =
,b =
23
c e = 令()2f x log x =,(
)g x =函数图像如下图所示:
则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <
3b =
23
c e = 则6
6
327b =
=,6
26443 2.753.1c e e ⎛⎫
⎪==>≈ ⎪⎝⎭
所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】
本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】
因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，
由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()
3002%
1.x
-<，
0.70.2x <，
两边取对数得，
lg 0.7lg 0.2x < ，
lg 0.214
lg 0.73
x >
= ，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性
比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】
因为154b
=
，所以551
log log 104
b =<=，
又因为(1
3333
1log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 又因为131
133
336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()2
3141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值
范围． 【详解】 由于函数()()2
34,1,1
a x a x f x x x ⎧--<=⎨
≥⎩
是(),-∞+∞的增函数，
则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <； 且有()2
3141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25
a ≥
， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，故选A.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】
(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1
个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9
x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278
(37)(38)0,,33
x x x x ∴--=∴=
=（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛
⎤∴∈-∞ ⎥⎝
⎦，故选B ．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
9．B
解析：B
【解析】 【分析】
先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]
0x . 【详解】
由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，
而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，
结合[]x 的性质，可知[]
02x =. 故选B. 【点睛】
本题考查了函数的零点问题，属于基础题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数
()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间
【详解】
画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函
数()cos f x x x =-，0.5230.8660.3430662
f ππ⎛⎫=-≈-=-<
⎪
⎝⎭，
0.7850.7070.0780442
f ππ
⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】
f (lo
g 43)＝log434=3,选C. 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.
12．A
解析：A 【解析】
试题分析：241(22)y x x =--≤≤对应的图形为以()
0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点
()2,4，直线与半圆相切时斜率5
12
k =，过点()2,1-时斜率3
4k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124
考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法
二、填空题
13．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又
故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或
解析：
12或32 【解析】 【分析】 【详解】
若01a <<，∴函数()x
f x a =在区间[1,2]上单调递减，所以
2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=
，又01a <<，故1
2
a =．若1a >，∴函数()x f x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2
max min (),()f x a f x a ==，由题意得
22a a a -=
，又1a >，故32
a =． 答案：
12或32
14．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题
解析：3+【解析】 【分析】
首先根据对数的运算性质化简可知：2
()2
x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.
【详解】 因为log log log 22
a a a
x y
x y +-=，且x y >， 所以2log log ()2
a
a x y xy -=，即2
()2x y xy -=. 整理得：2260x y xy +-=，2()6()10x x
y y
-+=.
2
6432∆=-=，所以
3x y =-3x y =+
因为0x y >>，所以1x
y >.所以3x y
=+
故答案为：3+【点睛】
本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
15．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值
解析：10 【解析】 【分析】 由cos ()2||x
f x x x
=++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】 由cos ()2||x
f x x x =++
，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x
--=+-+=+--，
所以()()42||f x f x x +-=+，则
(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+， 所以，11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫
⎛⎫
+++
=+++= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
. 故答案为：10 【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.
16．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25
[,)6
-
+∞ 【解析】 【分析】
用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】
设x x t e e -=-，1
x
x
x x t e e e e -=-=-
是增函数，当0ln2
x ≤≤时，302
t ≤≤， 不等式(
)()2220x x
x
x a e e
e
e ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，
不等式240t at ++≥在3
[0,]2
t ∈上恒成立，
0t =时，显然成立，
3(0,]2t ∈，4a t t -≤+对3
[0,]2t ∈上恒成立，
由对勾函数性质知4y t t
=+在3(0,]2是减函数，3
2t =时，min 256y =，
∴256a -≤，即25
6
a ≥-．
综上，256a ≥-
． 故答案为：25
[,)6
-+∞． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．
17．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是
解析：()1x f x ⎧=⎨
⎩
1001x x -<<<< 【解析】 【分析】
先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】
由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，
OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<， 所以,10
()1,01x x f x x -<<⎧=⎨
<<⎩
，
故答案为：,10
()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.
18．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-
【解析】 【分析】
由幂函数()a
f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求
出a 的值．
【详解】
因为11,,1,2,32
a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，幂函数为奇()a
f x x =函数，且在(0,)+∞上递减，
a ∴是奇数，且0a <， 1a ∴=-．
故答案为：1-． 【点睛】
本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时
解析：5 【解析】 【分析】
将2,01,()1(1),13,
2x
x f x f x x ⎧<≤⎪
=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x x
x f x x x ⎧⎪<≤⎪
⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩
同时设
4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的
和的最大，可得答案. 【详解】
解：由2,01,()1(1),13,
2x
x f x f x x ⎧<≤⎪
=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x x
x f x x x ⎧⎪<≤⎪
⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩
设4()()x
f x
g x =，8,01,1()8,12,41
8,23,16
x x x x g x x x ⎧
⎪<≤⎪
⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩
由()g x 函数的性质与图像可得，
当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大， 此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =， 当12x <≤时，
21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，
318816
x ⨯=，373x =，
此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=， 故答案为：5. 【点睛】
本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.
20．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键
解析：1
2
-
【解析】 【分析】
由函数()f x 是奇函数，得到()0
1
0021
f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()121x
f x a =++是奇函数，所以()01
0021f a =+=+，解得12
a =-， 当12
a =-
时，函数()11
212x
f x =-+满足()()f x f x -=-，
所以12a =-
. 故答案为：12
-. 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】 【分析】
（1）首先求得[]
()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）
(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故1
13a a ≥⎧⎨+≤⎩
，解得[]1,2a ∈.
【详解】
解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；
（2）∵{}
|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，
∵()R C C A ⊆，∴1
13a a ≥⎧⎨+≤⎩
，∴[]1,2a ∈．
22．（1）3
2
.（2）44.
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算. 试题解析：
223
222321
(1).log 24lg log lg 2log 3
2
1
(log 24log 3)(lg lg 2)log 32
333
log 8lg13222
+--=-++-=+-=-=
3
2
60
1
(-8)
9
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
－　113
62
322
(32(
)3)1
-
-
=⨯--9827144
=⨯--=
考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.
23．(1)2
a=，单调递减，理由见解析；(2) 07
m
<<
【解析】
【分析】
（1）代入(3)1
f=解得a，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明；（2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．
【详解】
(1)由()3log4log2log21
a a a
f=-==，所以2
a=.
函数()
f x的定义域为()
1,+∞，
()()()
2222
12
log1log1log log1
11
x
f x x x
x x
+⎛⎫
=+--==+
⎪
--
⎝⎭
.
因为
2
1
1
y
x
=+
-
在()
1,+∞上是单调递减，
(注:未用定义法证明不扣分)
所以函数()
f x在定义域()
1,+∞上为单调递减函数.
(2)由(1)可知()()()
22
1
log log
117
x m
f x
x x x
+
=>
---，
[]
2,6
x∈，
所以()()
1
117
x m
x x x
+
>>
---. 所以
()()()2
2
01767316
m x x x x x
<<+-=-++=--+在[]
2,6
x∈恒成立.
当[]
2,6
x∈时，函数()2316
y x
=--+的最小值min7
y=.
所以07
m
<<.
【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．
24．（1）证明见解析（2）m1
≥
【解析】
【分析】
（1）12
,(0,)
x x
∀∈+∞，且
12
x x
<，计算()()
12
f x f x
->得到证明.
（2）根据单调性得到221
x x m
++>，即()2
2
1212
m x x x
>--=-++，得到答案.【详解】
（1）函数单调递减，12
,(0,)
x x
∀∈+∞，且
12
x x
<，
()()()()22
21121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22
110x x >
∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减； （2）()
()2
201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，
()2
21212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.
【点睛】
本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
25．(1)2,0428,4205
x v x x <≤⎧⎪
=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克
【解析】 【分析】
当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；
第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出
()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．
【详解】
(1)由题意得，当04x <≤时，2v =； 当420x <≤时，设v ax b =+，
由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧=-
⎪⎨⎪=⎩
，所以285v x =-+，
故函数2,0428,4205
x v x x <≤⎧
⎪
=⎨-+<≤⎪⎩．
(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，
依题意及()1可得()22,0428,4205
x x f x x x x <≤⎧
⎪
=⎨-+<≤⎪⎩，
当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=； 当420x <≤时，()()
222222
820(10)40555
f x x x x x x =-
+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．
综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克．
【点睛】
本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题．
26．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有
，解得；（2）由于在定义域上是减函数，故根据
复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有
，解得.
试题解析：（1）由函数的定义域为可得:
不等式的解集为，∴解得，
∴所求的取值范围是
（2）由函数在区间上是递增的得：
区间上是递减的，
且在区间上恒成立；
则，解得。