19 振动(2017).ppt [兼容模式] [修复的]

x A cos t 机械振动也可
2
d x 2 2. 动力学方程 x0 2 dt 2 d x 2 x 0 2 dt
a x
2
用其受力或运 动特征判断： F=－kx
二、简谐振动的特征量
x A cos(t )
振动物体离开平衡位置的最大距离。 1. 振幅 A： A xmax A永远是正值 2. 周期、频率：
振动和波动
1940年美国塔科 马海峡大桥断塌
第19章
振 动
引言
振动（vibration）是自然界中最普遍的一种运动形 式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为 机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某 一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。 广义振动：
任一个物理量在某一定值附近往复变化， 该物理量的运动称为振动。 如物理量： r E H Q i
dx A sin t dt
a A 2 cos t π
x , , a 均是作谐振动 频率相同
振幅的关系 x m A
d a A 2 cos t dt 2 x
m A

2
am A 2

x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
两个频率相同的谐振动在某一时 刻的相位差等于它们的初相差
超前和落后
若 2 1 0 ，则x 2比x 1 较早达到正最大，
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
2π 2π T
, T ,
都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
周期和频率仅与振动系统本身的固有 物理性质有关，称固有周期、固有频率
由
x A cos(t ) 3. 相位和初相 dx (t ) t 相 位 v dt t 0时，(t ) 初相位 A sin t
简谐运动的微分方程
具有加速度 a 与位移的大小x成正比,而方向相 反特征的振动称为简谐运动
d2 x 2 x 解微分方程 2 dt 得 x A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定
简谐运动方程
物体离开平衡位置的位移按余弦函数的规律随 时间变化的振动，称为简谐振动（运动） 简谐振动的判据（两种定义）： 1. 运动学方程
以弹簧原长为坐标原点
x0 F 0
弹簧振子振动的微分方程
当物体相对于平衡位 置的位移为x 时 d2 x F=－kx ma m 2 dt d2 x 即 kx m 2 dt
k 2 并令 ω , m
F= -kx
l0
o
x
x
d2 x 2 x 则有 2 dt
2 a x 即
t

o
A
v
π 3
A
o A ta A
2
π3 1 t T T 2π 6
3）方便计算
用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例:质点作简谐振动，周期为T。t = 0时质点过平衡位 置且向正方向运动。求物体运动到负二分之一振幅 处所用的最短时间。 解：由已知画出t = 0 时刻的旋矢图 再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢
2）方便地比较振动步调（易于求相位差）
对同一简谐运动，相位差可以给出 x1 A cos(t1 ) 两运动状态间变化所需的时间． x2 A cos(t 2 )
(t2 ) (t1 ) t t 2 t1

x
A
A2

x
a
b
tb
优点
1）直观地表达振动状态（易于确定相位）
例如，已知某时刻质点经二分之一振幅处向正方 向运动, 确定其振动状态
xA 2
v<0


v0
0
3
3
.
A/2
x
v>0
ππ 则由旋转矢量图可知 t 3 3
O
X
ⅰ x0=+A, 初相=? （0） ⅱ x0= -A, 初相=? （π） （π/2） ⅲ x0=0且向负最大位移运动,初相=? ⅳ x0=0且向正最大位移运动,初相=?（-π/2）
2
相位的关系 比 x超前
a比 超前
2. 曲线描述
根据 x A cos t 画出 根据
π A cos t 2
取
0
a A 2 cos t π
x～t 振动曲线
x a
A
A
～t 曲线
a ～t 曲线
o
T
任何复杂的振动都可以看作是由若干个简谐 振动的叠加合成。 也可以说 S.H.V.是振动的基本模型
或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上
本章将以：机械振动为例
说明振动的一般性质
§1 简谐振动描述
一、简谐振动的定义
弹簧振子的振动
一个劲度系数为k 的轻质弹簧的一端 固定，另一端固结 一个可以自由运动 的物体，就构成一 个弹簧振子. 振动的成因： 回复力+惯性
周期T：完全振动一次所需要的时间 频率ν：单位时间内的振动次数 x A cos(t ) A cos[ (t T ) ]
A cos(t T ) A cos t 2π
T 2π

1 T 2π
（圆）角频率ω：2π 秒内 物体所作完全振动的次数
物理意义: 表征任意t时刻物体振动状态（相 貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
k m
2
弹簧振子固有周期 T 2π
m k
相位在比较两个谐振动的步调时也很有用！ 相位差
表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动， 相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1 )
x A1 步调相同 A2 T o t -A 2 -A1
T t
两反相振动的振动曲线
特征量的确定
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定
k m 由 弹簧振子固有周期 T 2π m k 振幅 A和初相 由初始条件 （x0 ，v0 ）决定.
2
x A cos t 初始条件 t 0 时 dx x0 A cos v A sin t dt v0 A sin
3
3π 2
x
Δ ω Δt
Δ 5π 5 Δt s ω 6π 6
四、 简谐振动的实例 水中的悬浮物体
LC回路
L C
四、 简谐振动的实例 （取逆时针方向为正） ●单摆 摆球相对平衡位置的角位移为θ时： 2 F =－mg sinθ= ma = m d
τ τ
l
θ
l
所以
d 2θ g sinθ 2 dt l
A
2 x0
2
2 v0
v0 tan x 0
v0 arctan( ) x 0
在0—2之间有两个解，但只有一个解符合要求，
为此要根据已知的x0、v0的正负来判断和取舍。
三、简谐振动的描述 1. 解析描述 x A cos t
π A cos t 2
v t 0.5s
6cm
x
π 0.12π sin( π t ) t 0.5s 3 0.19 m/s
dx dt t 0.5s
例： 一质点沿x轴作简谐运动 解： dx v t 0.5s 的振幅为12cm，周期为2s. 当 dt t 0.5s t = 0时, 位移为6cm，且向x轴 π 正方向运动.求: 0.12π sin( π t ) t 0.5s 3 (1) 振动表达式； 0.19 m/s (2) t = 0.5s时，质点的位置、 dv a t 0 .5 s 速度和加速度； dt t 0 .5 s (3)如果在某时刻质点位于x= π 2 0.12π cos(π t ) t 0.5s -6cm ，且向 x 轴负方向运动 ， 3 求从该位置回到平衡位置所 1.0 m/s 2 需要的时间. (3) Δ 3π 2π 5π 2 3 6 2π
周期： 2π T 旋转的振幅矢量
v t
t+ φ
o
A
φ

t=0 x
· x x = A cos( t + φ)
振幅 圆频率(角频率) 相位 初相位
旋转矢量的长度 旋转的角速度

矢量与 x 轴的夹角 t=0时与 x 轴的夹角 矢量端点的投影坐标
振动的位移
振动速度(上负下正)
矢量端点的线速度投影
2比1超前 Δ
x A o -A
x2 比 x1 较早达到正最大 2 x1
T x2
同相和反相
若 2 k
称 x2和 x1 同相
1
t
若 ( 2 k 1) ，称 x2和 x1 反相
（k=0,1,2 … ） x1 步调相反
x2
x A1 A2 o - A2 -A1
x2 x1
两同相振动的振动曲线
t
2 A
3. 旋转矢量法
一长度为A的矢量 A绕其 始端O以恒角速度 沿 逆时针方向转动，这个 矢量就叫做旋转矢量。
其端点在Ox轴上的 投影点将以O为平 衡位置做简谐振动
旋转矢量端点在x 轴上
的投影点 的运动规律：

t t
t t0
x A cos(t )
y
t
dt 2
当θ很小时，sin θ≈θ， 则
F τ mg
d 2θ g θ 0 2 dt l
令 ω
d 2 g 2 ，得 0 2 l dt
单摆的பைடு நூலகம்动在摆角很小时是简(角)谐振动 其周期为：
T
2
0.1
o
1 3
-0.05
t(s)

rad s
1
x0 A cos 0 cos 0
2 0 3 1
2
由图得知初始条件(x0 , v0 )
0 A sin 0 0
由题意 0 2 x 0.1cos(t 2 ) 3 3
O
A
投影点的运动为简谐振动
vm
o

an
v a
π t 2
x0 A cos
x x0 x
A

vm A
v A cos(t )
x
an A 2
a A cos(t )
2
参考圆
• 旋转矢量A 旋转一周，其 端点在x轴的 投影点完成一 次全振动。
虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作 为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。
振动的形式:
受迫振动 共振
振动
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
最基本、最重要的振动形式是简谐振动 (S.H.V.) simple harmonic vibration
(解析法)
此题也可用旋转矢量法求解。
x
0.1 2/3 -0.05
-2/3
0.1
x
o
1 3
7 3
-0.05
t
t=0时
解：由图可以看出 A 0.1m
2 0 3
2 x 0.1 cos(t ) 3
例： 一质点沿x轴作简谐运动 解： A=12cm，T=2s，x0=6cm 的振幅为12cm，周期为2s. 当 2π 1 且 v0＞0 (1) π s t = 0时, 位移为6cm，且向x轴 T 正方向运动.求: x 0.12 cos(πt ) m (1) 振动表达式； t=0 时，x0 = 0.06 m , (2) t = 0.5s时，质点的位置、 π 速度和加速度； v0 > 0 3 π (3)如果在某时刻质点位于 x 0.12 cos(π t ) m x=-0.6cm，且向x轴负方向运 3π 动，求从该位置回到平衡位 (2) x t 0.5s 0.12 cos(π t ) t 0.5s 3 置所需要的时间. 0.10 m
设 t 时刻到达末态，始末态位矢夹 t 角为Δ T 7T 得 t 2 2 12
T
o
t 0
x
例: 已知简谐振动曲线x ~ t,
试写出此振动的运动方程
x(m)
x A cos(t )
7 3
解：由图可以看出 A 0.1m
7 1 T 2s 3 3 2 2