3-2-1理科数学参考答案(周兴存朱兮云庞晓玲)

…… 9 分
r
uuur
于是 n (2，-2-2) ， PA (2, 2, 4) ．
…… 10 分
设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，
uuur r 则 sin cos PA, n
uuur r PA n 2 uuur r PA n 3
…… 12 分
19. （本小题满分 12 分）
【解析】（ 1）设 Ai 表示所抽取 3 个中有 i 所大学食堂评分不低于
c )2
(b c)2
，………………（ 9 分）
2
4
又 a=2 ，所以 b c 4 ，………………………………………………（ 10 分） 所以 a b c 6 ，当且仅当 b=c=2 时等号成立 . ………………………………… （11 分） 故 △ABC 周长的最大值是 6. ………………（ 12 分）
1
，（ 5 分）
4
2020 河西五市部分学校高三年级第一次联考（理科）数学试卷参考答案第
2页
PX 0
3 3 27 ，………………（ 7 分） 4 64
PX 1
C13
11 4
3 4
2
27 ，………………（ 8 分） 64
PX 2
2
1
C
2 3
1 4
3 4
9 ，………………（ 9 分） 64
PX 3
3
3
2，
∴ 2b 2 a
2 ，……………………（ 1 分）
∵离心率为 2 ，∴ c
2
a
2
，……………………（ 2 分）
2
又 a2 b 2 c2 ，解得 a 2 ， c 1， b 1，……………………（ 3 分）
x2 ∴椭圆 C 的方程为
y2 1 ．……………………（ 4 分）
2
（2）①当直线 MN 的斜率不存在时，直线 PQ 的斜率为 0 ，
2020 河西五市部分学校高三年级第一次联考（理科）数学试卷参考答案第
6页
，
k2 2 k2
令 1 k 2 t t 1 ，…………………………………………（ 10 分）
S 则 四边形 PMQN
4 2t 2 t1t1
4 2t 2
1
t2 1 4 2 1 t2 1
4 2 ，………………（ 11 分）
S 综上
四边形 PMQN min
4 2 ．……………………（
21 ． ( 本小题满分 12 分 )
2020 年 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试
数学试卷 ( 理科 ) 参考答案
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）．
题号 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B C
A
B
B
A
B
C
C
B
B
B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
又 x1 0, x2 0, x1 x2 ，所以 0 x1 1 x2 且 a
1
x2
. ……………………（ 8 分）
x2
欲证 f (x2 )
x1 ,只需证 f ( x2)
2
x1
1 . ……………………（ 2
9 分）
2020 河西五市部分学校高三年级第一次联考（理科）数学试卷参考答案第
4页
而
f
(x2 )
9 分，至多有 1 个评分不
低于 9 分记为事件 A ，则 P A
P A0
P A1
C132 C136
C14C122 C136
121 ．………………（ 4 分）
140
（ 2）由表格数据知，从 16 所大学食堂任选 1 个评分不低于 9 分的概率为 4 16
由题知 X 的可能取值为 0，1， 2， 3．………………（ 6 分）
13． 2 ln2
14． an
8,n 1 2 3n , n 2
15． 2
16． ①②
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分 12 分）
【解析】 （1） 由题意可得
1 absin C
2sin B sin C
. ………………（ 2 分）
设 P 0,0,2 a a 0 ，
则 E 1, 1, a ，
…… 6 分
uuur
uuur
uuur
CA (2, 2,0) ， CP (0,0, 2a) ， CE (1,-1,a) ，
ur 取 m (1, 1,0) ，
ur uuur ur uuur
ur
则 m CA m CP 0 ， m 为面 PAC 的法向量．
（2） g x f x f x 2a x a x a ，
存在 x0 R 使得 g x0
分）
a2 2a 成立，等价于 g x max a2 2a ．……………………（ 6
又因为 x a x a x a x a 2a ，所以 2a a2 2a ，…………………… （7 分）
即 a2 4 a 0 ，解得 0 a 4 ，……………………（ 8 分） 结合 a 0 ，……………………（ 9 分） 所以实数 a 的取值范围为 0,4 ．……………………（ 10 分）
=
1 2
(
x2
x1
a)2 1
ln x2 = 1 2x2
x2 ln x2 ，……………………（ 10 分）
x2
令 g( x) 1 x ln x(x 1) ，则 g ( x) 2x
1 2 x2 ln x 1 0 ，…………………… （ 11 分）
所以 g(x)在 (1,+ ) 上单调递增， 所以 g (x) 1 ,
1 ，………………（ 10 分）
4 64
∴ X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
27
64
27
9
1
64
64
64
………………………………………………………………（
11 分）
∴E X
27
9
1
1
2
3
0.75 ．… ． ( 本小题满分 12 分 )
【解析】（ 1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为
12 分）
【解析】 (1) 因为 f (x)
(x a)2
ln x(x 0) ，所以 f ( x)
x
a
1 （x
0) . …（ 1 分）
2
x
因为直线 x+3y 1 0 的斜率为 1 ，………（ 2 分）
3
曲线 y
f ( x) 在 x=1处的切线与直线
x 3y 1
0 垂直，所以
1 f (1) （- )
1 ，…（3 分）
2020 河西五市部分学校高三年级第一次联考（理科）数学试卷参考答案第
3页
4 则 xM xN k 2 2 ，∴ MN
4 xM xN p k 2 4 ，……………………（ 7 分）
由 PQ MN 可得直线 PQ 的方程为 y
1 x 1 k 0 ，联立椭圆 C 的方程，消去 y ，
k
得 k 2 2 x2 4x 2 2k 2 0
所以 AC 平面 PBC ，
…… 4 分
2020 河西五市部分学校高三年级第一次联考（理科）数学试卷参考答案第
1页
（2）如图，以点 C 为原点， DA ， CD ， CP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立空间
直角坐标系，
则 C 0,0,0 ， A 2,2,0 ， B 2, 2,0 ．
所以曲线 C1 的方程为
x
2cos
，
为参数，即 x2
y sin
4
y2 1 ．………………（ 3 分）
设圆 C2 的半径为 R ，由题意可得，圆 C2 的极坐标方程为
2
2R cos （或 x R
y2
R2 ），……………………（
4 分）
π 将点 D 1, 代入
3
2R cos
，得 1
π 2R cos ，即 R
1，
2 2
sin
2
4
2 2
cos2
1，………………（ 7 分）
1
2 2
cos2 4
sin 2
sin 2 4
cos2
5 …（10 分） 4
2020 河西五市部分学校高三年级第一次联考（理科）数学试卷参考答案第
5页
1 2x, x 1
f x f x 3 x 2 x 1 3,
1 x 2 ，……………………（ 1 分）
此时 MN 4 ， PQ 2 2 ， S四边形 PMQN 4 2 ；……………………（ 5 分）
②当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y k x 1 k 0 ，…………（ 6 分）
联立 y 2 4 x ，得 k 2 x2 2k 2 4 x k2 0
0，
设 M ， N 的横坐标分别为 xM ， xN ，
2
所以 f ( x2 ) x1 成立 . ……………………（ 2
22． ( 本小题满分 10 分 )
12 分）
【解析】（ 1）将 M 1, 3 及对应的参数 2
π
x a cos
，代入
，………（ 1 分）
3
y b sin
1 a cos π
3
a2
得
，即
，……………………（
3 b sin π
b1
2
3
2 分）
r
r uuur
设 n (x, y, z) 为面 EAC 的法向量，则由 n CA
r uuur n CE
…… 7 分
0，
xy0
即
，取 x a ， y
x y az 0
a， z
r 2 ，则 n (a, a, 2) ，
…… 8 分
ur r 依题意 cos m, n
ur r mn ur r
mn
a a2 2
6 ，则 a 2 ． 3
0 ，……………………（ 8 分）
设 P ， Q 的横坐标为 xP ， xQ ，则 xP xQ
4 2 ， xP xQ 2k
2 2
2k2 k2
，
∴ PQ
1 1 k2
4 2 2 2k2
2 k2
4 2
k2
2 2 1 k2
2 k2
，……………………（ 9 分）
S四边形 PMQN
1 MN PQ
2
4 2 1 k2 2
18. （本小题满分 12 分）
【解析】（ 1）因为 PC 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，
所以 AC PC ．
…… 1 分
因为 AB 4 ， AD CD 2 ，
所以 AC BC 2 2 ．
…… 2 分
所以 AC 2 BC 2 AB 2 ，所以 AC BC ，…… 3 分
又 BC I PC C ，
2x 1, x 2
当 x 1时，由 1 2x 5 ，解得 2 x 1；……………………（ 2 分） 当 1 x 2 时，由 3 5 ，解得 1 x 2； …………………… （ 3 分） 当 x 2 时，由 2x 1 5 ，解得 2 x 3 ． …………………… （ 4 分） 综上可知，原不等式的解集为 x | 2 x 3 ． ……………………（ 5 分）
1，
3
所以曲线 C2 的极坐标方程为
2
2cos 即 x 1
y2
1 ．………………（ 5 分）
（2）设 A 1, ， B 2,
π 在曲线 C1 上，……………………（ 6 分）
2
所以
2 1
cos2
4
2 1
sin
2
所以
1
2
1
1
2
2
OA OB
1
23． ( 本小题满分 10 分 )
【解析】（ 1）当 a 2 时，
3
即 1 a 1 3 ，所以 a
(2) 因为 f ( x)
x2
ax 1 （x
x
1 . ………（ 4 分）
0) ，且 f (x) 的两个零点从小到大依次为
x1， x2 ，……（ 5 分）
所以 x1 ， x2 是方程 x2 ax 1 0 的两个根，……………（ 6 分）
所以 x1 +x2 a, x1x2 1 ，………………（ 7 分）
2
sin A
因为 sin C
1 0, 所以 ab
2sin B
. ………………（ 4 分）
2
sin A
由正弦定理可得 1 ab 2b ，得 a=2 . ………………（ 6 分）
2
a
（2）由余弦定理得 a 2 =b2 c2 2ab cos A 及 A ，可得
3
a2 =(b
c) 2
3ab
(b
c) 2
b 3(