数学物理方法学习资料

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数学物理方法第一章

存在，并且与 z 0 的方式无关，则称函数 w=f(z) 在 z 点可导(或单演)，此(有限的)极限称为函数 f(z) 在 z 的导数
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变函数。
则
x cos y sin

z (cos i sin )
z e
i

指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角，则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e

数学物理方法期末复习

f
(x)

k 0
bk
sin
(k

1 )
2 l
x
bk
2 l
(k 1) x
l
f (x)sin
2 dx
0
l
12
(4)、边界条件为 f (0) 0, f (l) 0
根据边界条件 f (0) 0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，然后以4l为周期向整

ak
k 1
cos k x l
a0 ak
1 l
2 l
l
f (x)dx
0 l
f (x) cos
0
k x
l
dx
g(x) g(x)
4l f (0) f (l) 0
g(2l x) g(x)
f
(
x)

k 0
ak
cos
(2k
1)x 2l
ak
2 l
l 0
f (x)cos(2k 1)x dx 2l
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1

z1

z
* 2
z2
z2

z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2 )
x22

y

数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳

数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。

2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。

3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。

4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。

5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。

使物体的运动状态发生改变。

6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。

7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。

8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。

9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。

10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。

11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。

12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。

13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。

接触面的粗糙程度。

14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。

15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。

17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。

如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。

18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。

二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。

3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。

4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。

5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。

6.密度和比热容是物质本身的属性。

7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。

8.物体温度升高内能一定增加(对)。

9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。

数学物理方法知识点

数学物理方法知识点数学物理方法是物理学中的重要工具，它涉及到了许多数学概念和方法的应用。

在物理学的研究中，数学物理方法可以帮助我们更好地理解物理现象，推导物理定律，解决物理问题。

本文将介绍一些数学物理方法的知识点，希望能够对读者有所帮助。

1. 微积分。

微积分是数学物理方法中的基础，它包括了微分和积分两个部分。

微分可以帮助我们求出函数的导数，从而得到函数的变化率；而积分可以帮助我们求出函数的不定积分和定积分，用来计算曲线下的面积、求解定积分方程等。

在物理学中，微积分常常被用来描述物理量的变化、计算物理量之间的关系等。

2. 线性代数。

线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它在物理学中有着广泛的应用。

在量子力学中，线性代数被用来描述量子态和算符的性质；在电磁学中，线性代数被用来描述电场和磁场的分布和变化。

因此，掌握线性代数的知识对于理解物理学中的许多问题至关重要。

3. 偏微分方程。

偏微分方程是描述多变量函数之间关系的数学方程，它在物理学中有着广泛的应用。

在热传导、波动方程、量子力学等领域，偏微分方程被用来描述物理系统的演化规律和性质。

因此，掌握偏微分方程的求解方法对于理解物理学中的许多现象至关重要。

4. 变分法。

变分法是一种数学工具，它在物理学中被用来寻找能量最小值或者最优路径。

在经典力学、量子力学、场论等领域，变分法被广泛应用。

通过变分法，我们可以得到物理系统的运动方程、稳定性条件等重要结果。

5. 特殊函数。

特殊函数是一类在物理学中经常出现的函数，如贝塞尔函数、勒让德多项式、超几何函数等。

这些特殊函数在解决物理问题时起着重要的作用，它们有着独特的性质和应用。

掌握特殊函数的性质和求解方法对于理解物理学中的许多问题至关重要。

总结：数学物理方法是物理学中不可或缺的工具，它涉及到了许多数学概念和方法的应用。

微积分、线性代数、偏微分方程、变分法、特殊函数等知识点在物理学中有着广泛的应用，掌握这些知识对于理解物理学中的许多问题至关重要。

数学物理方法讲义

《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪论含义使用数学的物理——（数学）物理物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负数 0，-1，-2，…整数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数）整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数无限不循环小数实数有理数、无理数i =-1 虚数y i复数实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。

数学物理方程复习资料

∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原理叠加特解得到一个无穷级数解，并由初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换。然后对方程两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参变量的常微分方程。
（1）固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2）（3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程；描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；

数学物理方法快速学习资料及练习题

现代远程教育《数学物理方法》课程学习指导书作者：先林08年2月课程学习方法指导为便于学员尽快进入本课程的学习，下面将简要介绍本课程的性质及基本要求，并给出学习方法指导。

一、课程的性质、目的和任务通过本课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，并能将数学结果联系物理实际，加深对物理理论的理解，为学习电动力学和量子力学等后继课程打下良好的基础。

二、课程教学的基本要求通过本课程的教学,学员应达到下列基本要求:1.掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、了解残数及其在积分中的应用2.掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程3. 初步学会确定边界条件和初始条件4.熟练掌握分离变量法、达朗贝尔法、付里叶变换法和拉普拉斯变换法5.了解特殊函数的导出和意义三、学习方法建议学习本课程最基本的方法是课前预习，课后复习，多做习题。

针对课前预习时存在的问题，通过上课时认真的学习，并尝试运用上课时所学容解决这些问题，或者通过课外指导书，仔细研究书中例题，在此过程中搞懂、会做课后习题，从而对课程容有进一步认识。

此外，每章结束后，做好阶段性总结。

还要制定学习计划，善于自主学习。

学习中，既重视知识的记忆，也重视对知识的反思。

此外，为方便大家自主学习，现将教材及参考书罗列如下：（一）教材：《高等数学》（第四册）．大学．高等教育（二）参考书：1、《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育，第三版2、《数学物理方法教程》，志旺，高等教育3、《数学物理方法学习指导》，端正，科学希望各位学员善于这些教参书，能取得一个良好的成绩。

课程学习进度安排课程学习课时分配第一章复数和复变函数一、章节学习目标1. 熟练掌握复数的运算。

2.掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确地求出复数的实部、虚部、模与辐角，了解共轭复数的性质。

3.理解复数的几何意义。

4. 了解各种区域。

5. 理解复函的极限与连续。

数学物理方法第一章第一节

练习：证明：e iθz 是将复向量 z 向逆时针方向旋转θ 度。
ur u 从原点 (0,0) 出发指向点 P (x,y) 矢量 — o 复矢量。 p
定义：x 轴—实轴，y 轴—虚轴
(2) 极坐标表示：复平面上的点用极坐标
表示
(
：z 的模，
：z 的辐角)
注：用极坐标表示一个复数 z 时，. 复球面
几何意义：z1、z2 为复平面上的矢量，且 z = z1 + z2 遵守平行四边形法则平行四边形法则 2. 减法
z=z −z =(x+ 1) ( 2+ 2) ( 1- 2) i y −y ) 1 2 1 iy - x iy = x x +( 1 2
3. 乘法
z=z ×z =(x +iy )⋅(x +iy ) ( 1 2 −yy ) i xy +x y ) 1 2 1 1 2 2 = xx 1 2 +( 1 2 2 1
(模相乘，辐角相加)
4. 除法
(分母有理化)
(模相除，辐角相减)
5. 乘方: N 个 z 相乘，即棣摩弗公式:
6. 开方: 令已知，且设，求：，。
由
有
(k：整数)
即 w 的模与 z0 的模一一对应，而 w 的辐角与 z0 的辐角不是一一对应。仅有 n 个不同不同的值满足不同，即
7. 模运算
(两边之和不小于第三边) (一边不小于两边之差)
8. 共轭复数运算
9. 关于 ∞ 的四则运算若α≠∞，则
设： z1 = x1 + i y1 、z2 = x2 + i y2 则：以下的交换律、结合律、分配律成立 (加法交换律) (乘法交换律) (加法结合律) (乘法结合律) (分配律)

数学物理方法复习资料及参考答案(二)

数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。

⎰=-l dz a z )(（）（其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。

A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。

)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（）,则该集合是区域。

A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。

数学物理方法第一章

数学物理方法第一章微积分是研究函数的性质和变化规律的重要工具。

在物理学中，微积分被广泛应用于描述物理量的变化、求解微分方程、求解极限和积分等问题。

微积分的基本概念包括导数和积分。

导数用于描述函数的变化率，求解导数可以得到函数的极值和最速下降方向等信息，而积分则可以求解曲线下面积、求解定积分等。

这些概念和方法在物理学中的应用非常广泛，如力学中的运动学、电磁学中的电场和磁场分布等。

线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科。

在物理学中，线性代数被广泛应用于描述物理系统的状态、模拟物理过程、求解线性方程组等问题。

物理学中的许多量都可以用向量来表示，而向量之间的运算和变换则可以通过线性代数的方法来描述和求解。

线性代数的基本概念包括向量、矩阵、行列式和特征值等。

这些概念和方法在物理学中的应用非常广泛，如量子力学中的波函数、电路分析中的电压和电流关系等。

除了微积分和线性代数，本章还介绍了常微分方程和偏微分方程的基本概念和应用。

常微分方程用于描述只涉及一个自变量和一个未知函数的物理问题，而偏微分方程用于描述涉及多个自变量和多个未知函数的物理问题。

在物理学中，常微分方程和偏微分方程被广泛应用于描述物理系统的演化、求解边值问题和稳态问题等。

这些方程可以通过数值方法和解析方法来求解，从而得到物理系统的行为和性质。

总之，数学物理方法在物理学中起着举足轻重的作用。

本章介绍的微积分、线性代数和常偏微分方程等方法是物理学家研究和解决实际问题的重要工具。

熟练掌握这些数学物理方法对于深入理解物理学的理论和实验现象，提升科研能力和解决实际问题的能力都具有重要意义。

因此，学习和应用数学物理方法是每位物理学家都需要掌握的基本技能。

理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)

数学物理方法总结第一章复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。

经典数学物理方法

经典数学物理方法
1. 微积分
微积分是数学中最基本和最重要的工具之一，它对物理学的发展发挥了重要作用。

微积分是研究函数的变化和变化率的数学工具，可用于解决许多物理问题，如速度、加速度、力、功等等。

2. 线性代数
线性代数研究矩阵的性质、向量空间和线性变换等问题，是解决许多物理问题的有力工具。

线性代数在量子力学、统计力学、电磁学和其他领域中发挥了至关重要的作用。

3. 微分方程
微分方程是解决许多物理问题的重要工具。

微分方程是描述物理系统演化的数学工具，如动力学、热力学、流体力学和电动力学等。

4. 计算机模拟
现代计算机模拟技术可以用于解决许多复杂的物理问题，如流体动力学、量子力学等。

计算机模拟技术可以通过数值方法解决微分方程和概率问题。

这种技术可
以用于验证和验证理论模型，预测物理系统的行为。

5. 群论
群论是研究代数系统的数学分支，尤其是通过群变换描述对称性的数学分支。

在物理学中，群论被广泛应用于描述物理系统的对称性，如粒子物理、场论、凝聚态物理等。

6. 变分法
变分法是一种数学方法，可用于寻找函数的自然极值，以及求解微分方程的特解。

这种技术已被广泛应用于物理学中，如量子力学、天体物理学等。

变分法被认为是数学物理方法中最重要的方法之一。

7. 傅里叶分析
傅里叶分析是一种数学工具，可将任何复杂的周期函数分解成若干简单的正弦和余弦函数的线性组合。

傅里叶分析在物理学和工程学中应用广泛，用于分析振动、波动、信号等。

数学物理方法资料

1.3 分离变量法（两端固定弦的自由振动）
• 微分方程，初始条件，和边界条件共同构成了弦振动问题的定解条件，称为定解问题
•
Richard Feynman
怎样学数学物理方法？
• 这是一门难课，要有足够的心理准备 • 课程要求一定的数学基础 • 一定要多练习，不实际解决问题就不可能掌握数学 • 经常对已学的知识进行总结
必要的先修课
需要的先修知识
• 一元和多元函数的导数，偏导数的定义。求导的链式法则。 • 三元函数积分的高斯公式 • 齐次和非齐次线性微分方程的基础知识。线性齐次常系数
把结果与
联系，利用
• 舍去
以上的项，则
代入x方向的等式
即在整个弦上内部应力为常数，用T表示代入u方向的等式
让这一小段弦的长度趋近于零
则方程化为其中T为常数，若弦为均匀的则ρ也为常数与位置无关，令 a为常数，物理意义为波速，方程最终的形式为
1.2 弦横振动方程的性质和定解条件
• 弦的自由横振动方程
• 弦静止时沿x方向直线绷紧，可以在过弦的一个平面内做垂直于弦的振动，用u(x,t)表示x位置的质点t时刻的横向位移
• 弦是完全可以作为小量来处理 • 忽略重力和空气等带来的阻尼
对一小段弦使用物理定律（牛顿定律）
• x方向 • u方向 • 其中dm为一小段弦的质量，用ρ（x）表示弦的线密度，则 • dm=ρ（x）dx
课程学习的秘诀
• practise • practise • practise！
琴弦与数学(毕达哥拉斯学派）
• since again they saw that the attributes and the ratios of the musical scales were expressible in numbers; since, then, all other things seemed in their whole nature to be modelled after numbers, and numbers seemed to be the first things in the whole of nature, they supposed the elements of numbers to be the elements of all things, and the whole heaven to be a musical scale and a umber.

数学物理方法讲义

数学物理方法知识点归纳

数学物理方法知识点归纳一、向量1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用分量表示。

3. 向量的运算：3.1 向量的加法：将两个向量的对应分量相加。

3.2 向量的减法：将两个向量的对应分量相减。

3.3 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘后求和。

3.4 向量的向量积：根据相关公式求得向量的模长和方向。

4. 坐标系与向量：向量的坐标表示与坐标系的选择有关。

5. 向量的模长和方向：可以通过向量的坐标计算得到。

二、微积分1. 极限与导数：1.1 极限的定义：函数在某一点的极限是函数逼近该点时的稳定值。

1.2 导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率。

1.3 导数的计算：使用导数的定义或相关公式计算函数的导数。

2. 微分与积分：2.1 微分的定义：函数微分是函数在某一点附近的线性逼近。

2.2 积分的定义：积分是函数的反导数。

2.3 微分与积分的关系：微分和积分是互为逆运算。

3. 常见函数的导数与积分：3.1 基本函数的导数和积分：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3.2 三角函数的导数和积分：如正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3.3特殊函数的导数和积分：如反三角函数、指数函数、四则运算函数等。

三、矩阵1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照一定次序排列在矩形阵列中的数集合。

2. 矩阵的运算：2.1 矩阵的加法：将两个矩阵的对应元素相加。

2.2 矩阵的减法：将两个矩阵的对应元素相减。

2.3 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个数。

2.4 矩阵的乘法：根据矩阵乘法的规则进行计算。

3. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

4. 矩阵的逆与行列式：根据相关公式进行计算。

5. 矩阵的应用：在线性代数、图像处理、物理等领域有广泛应用。

四、微分方程1. 微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。

2. 常微分方程：只包含一元函数及其导数的方程。

数学物理方法第一章

1.1 复数与复数运算
（一）复数的基本概念
复数定义：复数——形如 z=x+iy 的数（x,y 为实数，i2 =−1，i：虚数单位，一种记号约定）
将有争议的虚数合法化：一维实数二维实数
复数的本质：有序实数对 (大x家, 好y)
11
复数：i2 = −1，为什么？
简单概念的引入可解决世界性的难题高斯：正十七边形作图
定义了虚数单位 i＝(0, 1)
i 2＝－1
复数 z 可记为 zxiy xRe z
特殊的复数：0
y I mz
(x, y) +(0, 0) ＝ (x, y) 大家(好x, y) (0, 0) ＝ (0, 0)
13
复数的共轭： z* x iy 与 z x iy 互为共轭 (xiy)(xiy)x2y2
f (x)
n0
f (n)(0) xn n!
例
f
(x)
e1/
x2
0
（满足泰勒展开条件）
x 0 在x0各阶导数均存在, x 0 在x=0各阶导数均存在,其值为0
f(x)
f(n)(0)xn 0
n0 n!
大家好
f (x)
4
复变函数论（theory of complex functions）：研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，
生了一些信心。在18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复
数,但无论欧拉还是别的数学家大对家这好些数都还不甚清楚。
8
Euler 认为复数仅在想象中存在， 1777年，Euler采用 i 代表 1
4 复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯 (C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把复数的思想融入到对代数学基本定理的证明中。

数学物理方法复习整理

数学物理方法复习整理数学物理方法是研究物理问题时所需要的数学方法和技巧的总和。

物理学是一门基础学科，数学是一门工具学科，物理学与数学密不可分。

掌握数学物理方法对于深入理解物理学的基本概念和问题的解决具有重要意义。

下面就数学物理方法进行一个复习整理。

1.微积分：微积分是数学物理方法的基础。

微积分包括微分学和积分学。

微分学研究函数的变化率和极限，积分学研究函数的定积分和不定积分。

在物理学中，微积分用于描述物理量的变化和求解物理问题的关键方程。

掌握微积分的基本理论和方法对于解决物理问题非常重要。

2.线性代数：线性代数是描述物理系统和问题的另一个重要数学工具。

线性代数研究矩阵、向量、线性方程组、线性变换等概念和性质。

在物理学中，线性代数用于描述物理量之间的线性关系和线性变换。

矩阵运算、特征值和特征向量、矩阵的对角化等概念和方法在物理学中有广泛应用。

3.调和分析：调和分析是一种研究周期现象的数学方法。

在物理学中，周期性现象非常常见，如波动、振动、周期运动等。

调和分析研究任意周期函数的频谱分解和重构，可以将周期函数表示为不同频率的正弦函数的叠加。

傅里叶级数和傅里叶变换是调和分析的基本工具，在物理学中有重要应用。

4.微分方程：微分方程是描述物理问题的主要数学工具之一、微分方程描述物理量随时间、空间或其他自变量的变化规律。

常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。

在物理学中，微分方程用于描述自然界现象的规律和物理系统的运动方程。

解微分方程是解决物理问题的关键步骤。

5.变分法：变分法是一种求解极值问题的数学方法。

在物理学中，很多问题都可以转化为极值问题，如最速降线、最小作用量原理等。

变分法研究如何寻找函数使得泛函取极值。

在物理学中，变分法用于求解运动方程和确定物理量的极值，如量子力学的路径积分方法就是基于变分法的。

以上是数学物理方法的复习整理，主要包括微积分、线性代数、调和分析、微分方程和变分法等内容。

掌握这些基本数学方法对于深入理解物理学的理论和解决物理问题非常重要。

数学物理方法3-5资料

的两个
单值分支。每一个分支是一个单值函数。
造成根式函数
多值的原因：
z的辐角的多值性，即
考察z的连续变化：在复平面上可用
一条曲线来描述z的变化过程。
(1) z从某一给定的 z =ρe iφ0 出发，对应的w从w0出发。令 z沿逆时针方向环绕原点(z=0)转一圈回到原处时，它的辐角由φ0 变为φ0+2π =φ1 ，而w由 w0变为w1，即w从一个单值分支变到另一个单值分支。继续令z沿逆时针方向绕 z =0 转一圈，z再次回到原处，它的辐角由φ0+2π =φ1变为 φ0 + 4π，
图3-5-6
为确定起见，设出发点的w(z)值处于w0分支，即0 0
满足 0 0 0 2 。
(1) 选择回路C1 考察 z = a是否为支点。 z点沿着C1 转一圈后，有
arg(z a) 0 2 , arg(z b) 0
由此得
w(z)
e w i
1 2
(0
0
2
)
1
即w值处于另一分支，故 z = a 为支点。
2
由z0到－1
(3-5-6)
上式的方括号表示，当z由z0移动到 –1点时，z及(1-z)的辐角的改变量之和。
(1) 作割线如图3-5-7，并规定argw(z0)=0，此时从z0出发还可沿C逆和C顺两条路径达到z＝–1点，尽管沿两条路径求得的Δargz,Δarg(1–z) 以及 argw(–1)不同，但w(-1)具有确定
一圈(相当于z绕∞点转一圈) 时，w 的值不会还原，可见 z=
∞是
的另一支点。
2.将多个单值分支分开的方法
在根式函数的两个支点之间作割缝，并规定：z在连续

数学物理方法复习

数学物理方法复习
数学物理方法是指在数学和物理学领域中常用的方法和技巧。

复习这些方法可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学的知识。

数学方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 微积分：复习微分和积分的基本概念和性质，掌握常用的微积分技巧，如导数的计算、函数的积分等。

2. 线性代数：复习矩阵的运算和性质，如矩阵乘法、逆矩阵、特征值等；掌握线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵求逆法等。

3. 微分方程：复习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，如分离变量法、变换法、欧拉方程等。

4. 概率与统计：复习概率的基本概念和性质，如事件的概率、条件概率等；掌握常用的概率分布，如正态分布、泊松分布等。

5. 复变函数：复习复数的基本概念和运算，如复数的加减乘除、复函数的导数和积分等；掌握常用的复变函数，如指数函数、三角函数、对数函数等。

物理方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 牛顿力学：复习牛顿的三大定律和它们的应用，如力的合成、力的分解、摩擦力等。

2. 电磁学：复习电荷、电场、电势等基本概念和性质，掌握库仑定律、电场强度和电势的计算方法。

3. 光学：复习光的折射、反射、干涉、衍射等基本原理和现象，掌握光的像的
成像公式和光的传播速度。

4. 热学：复习热力学和热传导的基本概念和定律，如热容、热力学第一定律、热传导方程等。

5. 量子力学：复习波粒二象性、不确定性原理等基本概念和性质，了解薛定谔方程和波函数的基本解法。

除了复习这些数学和物理方法外，还可以通过做习题、阅读教材、参加学习小组等方式来加深理解和应用。