波动引理的三个证明

波动引理（Fluctuation lemma)[1，Lemma A « 1.] 刻画了有界可导函数的两类特殊函数列的存在性，
情 形 1 x = —x . 此时有卜li+m« x (£) = x = —x . 任 取 tl 6 (0, + °0)，令 L = Zn-l + W—1 ，W= 2,3.. •由
lim Z„
«-*■ +〇 〇
=+〇 〇 , nl-^i+moo^：/(Z„)
=
fl
im in
»+〇 〇
f
x
^
i ).
综上所述，{/„}即 满 足 （1), ( 2 ) 中数列的要求•
文 章 编 号 1008 -1399(2019)01 -0081 -0 2
Three Proofs for Fluctuation Lemma
LONG Zhiwen
(College of Mathematics and Finance, Hunan University of Humanities, Science and Technology, Loudi 417000)
Abstract In this paper, using a variety of mathematical analysis techniques combined with the properties of sequence and upper—lower limit of function, we present three proofs for Fluctuation Lemma. Keywords fluctuation lem m a，Rolle’s theorem ， Lagrange mean value theorem ，Darboux’s theorem
下 证 卜lim+00in fo /(r) = 0.否则有 卜l►im+00in fr ’⑴ > 0.
由此可得满足
x it) > V ^> T j.
据此可得
x {t ) = x C T i) + x f (s)ds > x C T j) J ti
，这 与 ：T⑴ 有 界 矛 盾 .选 取 {Z„}
— TO ,
我们给出三个较为详细的数学分析证明.
|^(〇 | < M ,V t 6 (0,+〇〇).
波 动 引 理 设 : r ( 0 是 (0，+〇〇)上的有界可导 从 而 当 n —+〇〇时 ，有
函 数 ，则有 (1) 存 在 数 列 G (0，+〇〇)，使 得 当 《4 〇〇
I X i l n~) I
n
〇.
第22021
9卷年第1
1期
月
STUDIES高IN等COL数LEG学E M研AT究HEMATICS
doi：10. 3969/j. issn. 1008-139al.n2.，2,2N01o9. 1
波动引理的三个证明
龙志文
( 湖 南 人 文 科 技 学 院 数 学 与 金 融 学 院 ，湖 南 娄 底 41TO00)
3叩 〇 > 0 :乂 〇 ) < 0 } ，对 £)和 3分 下 列 三 种 情 况
讨论： 情 形 1 d 有 限 . 此 时 易 知 3 T > 0 使得 x i t ) 0, V ^ > T .
进而有
lim+〇〇in f:c ⑴ = lim+〇〇su p:c ⑴ = t-l*i*+moo：r ⑴ .
由此可得
x {t) = 0 9x (t) > A.
现选取递增数列U „ } 满足
A„ G
,lim A„ =
由上面的讨论知，3 递增数列{ & } ，{«„}满足
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髙等数学研究
2019年 1 月
t n ~> sn ,〇l-*i■m+〇〇5„ = + c〇9x <i t n) > x i s n) = Xn 对 上 式 令 ^+00可得
{tn) = 0.
x lim in f x ( ^ ) ^ lim s u p x (i „) ^ x .
«^-+QO
7l-^+Q0
从而 l i i j i :cO „) = x ，SP<i „ 丨满足(1).
为证(2),只需令 > ⑴ = _ I ⑴类似可证. 证法 2 令 D = sup{f 〉 0::r '(i ) ；> 0 } ，<i =
其在微分方程中具有广泛的应用，然鲜有文献给出 拉格朗日中值定理知， e ( 4 “讲 ）满足
其精细的证明.事 实 上 ，掌握波动引理的证明对于
—x (tn) = X，(Z„) (i ^-! —f„) = nx'Hn).
加深理解相关的概念和技巧也是大有裨益的.下面 又 因 x ⑴ 在 （0 ，+〇〇)上 有界，故 3 M > 0 使得
收 稿 日 期 ：2018 -3 -30 修 改 日 期 =2018-05 -26
基 金 项 目 ：湖 南 省 自 然 科 学 基 金 （2018JJ2194).
: 1980— 作 者 简 介 龙 志 文 （
），男 ，湖 南 娄 底 ，博 士 ，讲 师 ，研究方向
为微分方程及其应用，Email: long zw2005@126. com.
摘
要
本 文 利 用 多 种 数 学 分 析 的 技 巧 ， 结 合 数 列 和 函 数 上 下 极 限 的 性 质 ，给 出 了 波 动 引 理 的 三 种 证 明 .
关 键 词 波 动 引 理 ； 罗 尔 定 理 ；拉 格 朗 日 中 值 定 理 ；达 布 定 理 .
中 图 分 类 号 0172
A 文 献 标 识 码
时 ，& —+ ° ° ，工 X.
〇且有工(、）— «l-►i+m〇〇in fx(i ) =
证 法 1 根 据 X 和壬的大小，分两种情况讨论:
续性可知，3 & < & 满足
1 < ^ ，2 < 幻，3 < &
A，：r 〇2) > A，*r 〇3) = A，
进而满足
= m ax{x (5> ：5 G (^i ?52) }.
时 ，4 —+ 〇〇，工'（^) — 〇且有尤（4) — limsup:c⑴
卜+〇〇
= X.
由U » } 的构造，易 知 当 W—+°〇时 ，乙— 综上所述，U „ } 即满足(1)、（2 ) 中数列的要求.
(2) 存在数列{^} G (0, + 0 0 ) ，使得当72—+00
情 形 2 X > 王.对V A 6 〇C，王），由工⑴的连