龙海一中高二上学期半期考数学试卷(选修2-1)

龙海一中2009届高二上半期考数学试卷（文理合卷）
请把答案写在答题纸上！
一、选择题：（12×3分=36分）
1.设p、q是两个命题，则“p或q为真，p且q为假”的充要条件是（）
（A）p、q中至少有一个为真（B）p、q中至少有一个为假
（C）p、q中有且只有一个为真（D）p为真，q为假
2.（理科做）如图：在平行六面体中，为与的交点。

若，，则下列向量中与相等的向量
是（）
（A）（B）
C1 Array（C）（D）
（文科做）抛物线的焦点坐标是（）
（A）（a ,0）（B）(－a,0) （C）（0,a）
（D）（0,－a）
3.已知命题：，则（）
（A）（B）
（C）（D）
4.（理科做）已知向量，，，且与互相垂直，则k＝（）
（A）1 （B）（C）（D）
（文科做）椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则值
为（）
（A）（B）（C）（D）
5.（理科做）有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一
个基底，则向量也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）
（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③
（文科做）抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）
（A） 2 （B）3（C）4 （D）5
6.（理科做）已知，均为单位向量，它们的夹角为那么||等于（）
（A）（B）（C）（D）4
（文科做）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）
（A）（B）（C）（D）
7.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（）
（A）（B）（C）（D）
8.“”是“方程表示双曲线”的（）.
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）既不充分也不必要条件（D）充
要条件
9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（）
（A）（）（B）（）（C）（）（D）（）
10.已知抛物线，过点)作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中点到y轴的
距离为（）
（A）（B）（C）（D）
11. 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（）
（A）（B）（C）（D）
12.（理科做）和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
（文科做）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
二、填空题：（4×4分=16分）
13. 设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是。

14.（理科做）已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则x y =_____。

（文科做）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有______条？
15.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为4，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为。

16.设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= 。

三、解答题：（5小题共48分）
17.求与双曲线有公共渐近线且两焦点分别为（0，－3）、（0，3）的双曲线方程。

18.（理科做）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。

（1）求异面直线与所成的角；
（2）BE和平面的所成的角。

（文科做）已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。

19.（理科做）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

（1）求证：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的大小；
（3）求点C到平面A1BD的距离。

（文科做）设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，
求△的面积。

20. 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

21.（理科做）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（1）求k的取值范围；
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B，是否存在常数k，使得向量与
共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

（文科做）椭圆C :的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 过圆x 2+y 2
+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。

龙海一中2009届高二上半期考数学 参考答案
一、选择题：（12×3分=36分）
二、填空题：（4×4分=16分）
13、 14、理2 / 文2 15、 16、2 三、解答题： 17、（8分）解法一：设双曲线方程为，化为，由，故双曲线方程为
解法二：设双曲线方程为，渐近线方程为，又已知双曲线的渐近线方程为，由，故为所求。

18、（10分）（理科）（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 则有、、、
<>所以异面直线与所成角的余弦为. （2）设平面的法向量为则 由 由，
则，故BE 和平面的所成的角为
（文科）a =3,b =1,c=2，则F （-2，0）。

由题意知：与
联立消去y得：。

设A（、B（，
则是上面方程的二实根，由违达定理，，，又因为A、B、F都是直线上的点，
所以|AB|=
19、（10分）（理科）解：（1）取中点，连结．为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．平面．
（2）设平面的法向量为．
，．，，
令得
由（1）知平面，为平面的法向量．
二面角的大小为．
（3）由（2），为平面法向量，．
点到平面的距离．
（文科）解：双曲线的不妨设，则
，而
得
20、（10分）证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于
A(3,)、B(3,－)，∴=3。

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.
得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y12, x2=y22,
∴=x1x2+y1y2==3. 综上所述, 命题“......”是真命题.
解法二：设直线l的方程为my=x－3与y2=2x 联立得到y2-2my-6=0 =x1x2+y1y2
=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)×(-6)+3m×2m+9＝3
（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,
直线AB的方程为y= (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.
点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足,可得y1y2=－6。

或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。

21、（10分）（理科）解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．整理得①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．又．
而．
所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
（文科）解法一：(1)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2－c2=4，所以椭圆C的方程为＝1。

(2)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）。

已知圆的圆心M的坐标为（－2，1）.
从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称. 所以解得，
所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
①②
由①－②得：③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4，y1+ y2=2。

代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），
即8x－9y+25=0。

(经检验，所求直线方程符合题意.)。