专题05三角函数与解三角形(课件)

A
B
1 2
,即
sin
C
1 2
,
因为 1 3cos A 4sin B 0,cos A 1 , C π 36
易错点七 解三角形时，易忽视三角形解的个数
注意：两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 0, 内不严
格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角 形解的个数。 例 14．（2023 春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）（多选）在 ABC 中， B 30 ， AB 2 3 ， AC 2 ，则 ABC 的面积是 （ ）
解：∵ a 是第二象限角，
∴ 2k 2k ， k Z，即 k k ， k Z ，
2
4
22
∴ 是第一象限或第三象限角，故 A 错误；
2
由 是第一象限或第三象限角，sin 0 或sin 0 ，故 B 错误；
2
2
2
∵ a 是第二象限角，
∴ 2k 2k ， k Z，
sin cos 7 ，则（ ）
17
A．
π 2
,
π
B． cos 15
17
C． tan 8
15
D．sin cos 23
17
解：因为 sin cos 7 ，
17
所以 sin cos 2 49 1 2sin cos 49 2sin cos 240 0 ，
289
289
289
2
再向右平移
π 4
个单位长度，得到
y
sin
2
x
π 8
sin
2x
π 4
，故③错误；
对于④，将函数 y sin x 的图象每个点的横坐标缩短为原来的 1 ，得到 y sin 2x ，
2
再向左平移
π 8
个单位长度，得到
y
sin
2
x
π 8
sin
2x
π 4
，故④正确．故
B，C，D
错误. 故选：A.
π 2
cos
1 2
x
π 2
π 4
，
故只需将函数
y
cos
x 2
π 4
的图象向右平移
π 2
可得函数
y
sin
x 2
的图象.
故选：D．
易错点五 由图象求函数解析式忽略细节
注意：在求 时，一般利用曲线上的最高（最低）点求初相 ，其它点得对应 y sin x（或
y cos x ）图象的递增（或递减）趋势
故选：B
易错点二 求解时忽略角的范围
注意：根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号
例 3．（2023 春·四川广安·高三校考阶段练习）已知 cos 1 ， cos 11 ，且 ，
7
14
0,
π 2
，则
（
）
A． π B． π C． π D． π
6
6
3
3
解：由 0 , π ，则 0 π ，又 cos 11 0 ，故 π π ，
故 f x 是奇函数，A 正确； 对 B： f x 的最小正周期为T 2π π ，B 正确； 2
对
C：
f
7π 8
3sin
2
7π 8
3sin
7π 4
3sin
2π
π 4
3sin
π 4
32 2
0
，
故点
7π 8
,
0
不是
f
x 的对称中心，C
错误；
对
D：∵
x
π 4
,
π 4
，则
2
x
π 2
A． 2 3 B． 3 C． 3 3 D． 4 3
解：∵ ABC 中， B 30 ， AB 2 3 ， AC 2 , ∴ AB AC ，即 2 3 2 ，
6
因为
A
0,
3 2
处于余弦单调递增区间，则有
π 6
2kπ
k
z
因为 π ，所以 π .
2
6
故答案为： π
6
例 11．（2022 春·高三课时练习）如图所示，表示电流 I 与时间 t 的关系式：
I
Asin(t
)
，
A
0,
0,|
|
π 2
在一个周期内的图象．根据图象写出
I Asin(t ) 的解析式为（ ）
向右平移
π 4
个单位得
f
x
2
sin
2
x
π 2
π 6
sin
2x
2π 3
，
故选:D
例
8．（2022
秋·云南昆明·高三统考期末）为得到函数
y
sin
2
x
π 4
的图象，只需将函数
y sin x 的图象（ ）
①向左平移 π 个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 1 ；
42Βιβλιοθήκη ②向右平移 π 个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 1 ；
8
2
③每个点的横坐标缩短为原来的 1 ，再向右平移 π 个单位长度；
2
8
④每个点的横坐标缩短为原来的 1 ，再向左平移 π 个单位长度．
2
8
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
解：因为
y
sin
2x
π 4
sin
2
x
π 8
，
对于①，函数
y
sin
x
的图象向左平移
π 4
个单位长度，得到
y
sin
3sin A 4cos B 6,3cos A 4sin B 1，则C 的大小不可能为（ ）
A． B． C． 2 D． 5
6
3
3
6
解：由3sinA 4cosB 6,3cosA 4sinB 1，
两式平方和得
9sin2 A 9cos2 A 16cos2 B 16sin2 B 24sin Acos B 24cos Asin B 36 1
即 9＋16＋24sin(A＋B)＝37，
因而sin A B＝1 .
2
在△
ABC
中，sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝
1 2
，且 C
(0,
)
因而 C＝ 或 5 ，
66
又 3cosA＋4sinB＝1 化为 4sinB＝1－3cosA>0，
所以
cosA<
1 3
<
1 2
，则
A>
f
(
x)
3 cos
π 2
2
x
，则（
）
A． f x 是奇函数 B． f x 的最小正周期为 π
C．
f
x
的图象关于点
7π 8
,
0
对称
D．
f
x 在
π 4
,
π 4
上是增函数
解：∵
f
(x)
3
cos
π 2
2x
3
sin
2
x
，
对于 A：∵ f (x) 3sin 2x 3sin2x 3sin 2x f x ，
,
π 2
，且
y
sin
x
在
π 2
,
π 2
上是增函数，
∴
f
x
在
π 4
,
π 4
上是增函数，D
正确；
例 6．（2022·高三课时练习）函数 y 2sin x 的单调递减区间是___．
解：由 2sin x 0 得 sin x 0，
解得 x2kπ π, 2kπ, k Z .
根据复合函数单调性同增异减可知，
3
，故
C＝
6
故选：BCD
例 13．在 ABC 中, 3sin A 4cosB 6，3cos A 4sin B 1,则 C 的大小为( )
A. π
B. 5 π
C. π 或 5 π
D. π 或 2 π
6
6
66
33
解：
3sin A 4cos 3cos A 4sin
B B
6 1
平方相加,得
sin
例 9．（2023 春·河南南阳·高三校联考阶段练习）要得到 y sin x 的图象，只需将函数 2
y
cos
x 2
π 4
的图象（
）
A．向左平移 π 个单位长度 B．向右平移 π 个单位长度
4
4
C．向左平移 π 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2
2
解：由于函数
y
sin
x 2
cos
x 2
2
∴ 4k 2 2 4k ， k Z， ∴ 2 是第三象限，第四象限角或终边在 y 轴非正半轴，sin2 0 ，故 C 正确，D 错误.
故选：C．
例 2．（2023 春·高三课时练习）以下命题正确的是（ ） A．第二象限比第一象限角大
B． A k 180, k Z， B k 90, k Z，则 A B
2
14
2
所以 sin
53 14
，而 cos
1 7
，则sin
43 7
，
cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( )sin 11 60 1 ，
98 98 2
又 0 π ，则 π .
2
3
故选：D
例 4．（2023 春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）（多选）已知 0, π ，
例 10．（2022 春·陕西汉中·高一校考期末）已知函数 y
3
cos(
x
)
0,
π 2
的
部分图像如图所示，点
A
的坐标为
0,
3 2
，则
的值为______.
解：因为 y
3
cos x
过点
A
0,
3 2
，则有
y
3 cos 3 ，解得： π 2kπ k z
2
6
或 π 2kπ k z ，
A． 300sin(100πt π ) 3
B． 300sin(100t 1) 3
C． 300sin(100πt π ) 3
D．300sin(100t 1) 3
解：由图象可知 A 300，
又T 2[ 1 ( 1 )] 1 ，∴ 2π 100π .
150 300 50
T
又∵ t 1 时， I 0 ， 300
x
π 4
，
再将每个点的横坐标缩短为原来的
1 2
，得到函数
y
sin
2x
π 4
的图象，故①正确；
对于②，函数
y
sin
x
的图象向右平移
π 8
个单位长度，得到
y
sin
x
π 8
，
再将每个点的横坐标缩短为原来的
1 2
，得到
y
sin
2x
π 8
，故②错误；
对于③，将函数 y sin x 的图象每个点的横坐标缩短为原来的 1 ，得到 y sin 2x ，
函数 y
2
sin
x
的单调递减区间是
2kπ
π 2
,
2kπ
,
k
Z
.
故答案为：
2kπ
π 2
,
2kπ
,
k
Z
易错点四 图象变换的方向把握不准
注意：平移变换为左加右减，且 y sin(wx 1) y sin(wx 2 )(w 0) 平移的量为
2 1
w
例 7 ．（ 2023 春 ·广 东 佛 山 ·高 三 佛 山 市 顺 德 区 乐 从 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 将 函 数
C．若 k 360 k 360 180（ k Z ），则 为第一或第二象限角 D．终边在 x 轴上的角可表示为 k 360（ k Z ）
解：A 不正确，如 210 30．
在 B 中，当 k 2n ， n Z 时， n180 ， n Z ，∴ A B ，∴B 正确．
又 C 中，α 为第一或第二象限角或在 y 轴的非负半轴上，∴C 不正确． 显然 D 不正确，比如180 写不成 k 360（ k Z ）的形式．
7 17
23 17
sin
15 17
cos
8 17
tan
sin cos
15
17 8
17
15 8
，
因此选项 BC 不正确，
故选：AD
易错点三 三角函数单调性判断错误
注意：一般来说，应根据诱导公式将 x 的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角
函数宜根据图象从直观上加以解决
例 5 ．（ 2023 春·广东江 门·高三江 门市 棠下 中学校 考阶 段练 习）（多选 ）已 知函 数
专题 05 三角函数与解三角形
易错点一 易错点二 易错点三 易错点四 易错点五 易错点六 易错点七 易错点八
对轴线角理解不准确致误 求解时忽略角的范围
三角函数单调性判断错误 图象变换的方向把握不准 由图象求函数解析式忽略细节 双三角函数有界问题考虑不全面出错 解三角形时，易忽视三角形解的个数 对锐角三角形理解不到位致误
易错点一 对轴线角理解不准确致误
注意：确定角终边所在位置,不要忽略角的终边在坐标轴上的情况，同时要注意是在整个坐 标轴上，还是在半轴上. 例 1．（2022·全国·高三专题练习）已知 是第二象限角，则（ ）
A． 是第一象限角 B． sin 0
2
2
C． sin 2 0 D． 2 是第三或第四象限角
因为
0,
π
，所以
sin
0
，所以有
cos
0
，因此
π 2
,
π
，
因此选项 A 正确；
因
为
π 2
,
π
，
所
以
sin cos sin cos 2 sin cos 2 4sin cos 49 2 240 23 ,
289 289 17 因此选项 D 正确；
所以有
sin
sin
cos cos
y
2
sin
2x
π 6
的图象向右平移
1 4
个周期后，所得图象对应的函数为（
）
A．
y
2
sin
2
x
π 12
B．
y
2
sin
2x
π 3
C．
y
2
sin
2x
5π 12
D．
y
2 sin
2x
2π 3
解：
y
2 sin
2x
π 6
的周期为
2π 2
π
，所以
1 4
个周期为
π 4
，
故将
y
2
sin
2x
π 6
∴100π
1 300
2kπ,
k
Z
，则
π 3
2kπ,
k
Z
又 | | π ， π ，I 300sin(100πt π) .
2
3
3
故选：A.