高中数学必修三讲义 第2章 2.1.1 简单随机抽样

§2.1随机抽样

2.1.1简单随机抽样

学习目标 1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤.

知识点一统计的基本概念

思考样本与样本容量有什么区别？

答案样本与样本容量是两个不同的概念.样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本容量是样本中个体的数目，是一个数.

梳理(1)总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体.

(2)个体：构成总体的每一个元素作为个体.

(3)样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本.

(4)样本容量：样本中个体的数目叫样本容量.

知识点二简单随机抽样

思考从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？为什么？甲被抽到的机会是多少？

答案总体内的各个个体被抽到的机会是相同的.因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9.

梳理(1)设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)简单随机抽样的四个特点

①它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析.

②它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作.

③它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算.

④它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性.

知识点三抽签法和随机数法

思考采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在形状、大小相同的号签上，并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀？

答案为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性.

梳理(1)抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

(2)随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.

(3)利用随机数法抽取个体时的注意事项

①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点.

②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以).

③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数.

1.简单随机抽样也可以是有放回的抽样.(×)

2.简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等.(√)

3.采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同.(√)

类型一简单随机抽样的判断

例1下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是()

①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；

③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签.

④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里.

A.0

B.1

C.2

D.3

考点简单随机抽样的概念

题点简单随机抽样的概念及特征

答案 B

解析根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样.④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样.综上，只有③是简单随机抽样.

反思与感悟简单随机抽样必须具备下列特点

(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；

(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；

(3)简单随机抽样是一种不放回抽样；

(4)简单随机抽样是一种等可能的抽样.

如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.

跟踪训练1在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性()

A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些

B.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等

C.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些

D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定

考点简单随机抽样的概念

题点每个个体入选可能性的计算

答案 B

解析在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确.

类型二简单随机抽样等可能性应用

例2一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________. 考点简单随机抽样的概念

题点每个个体入选可能性的计算

答案

310 18

解析 因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为n N ，所以第一个空填3

10.因为本

题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为1

10，第二次抽取

时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为1

9，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球

被抽到的可能性为1

8

.

反思与感悟 简单随机抽样，每次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等.

跟踪训练2 从总体容量为N 的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N 的值为( ) A.120 B.200 C.150

D.100

考点 简单随机抽样的概念

题点 利用每个个体被抽到的可能性计算样本容量 答案 A

解析 因为从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为1N ，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为30N ，

所以30

N ＝0.25，从而有N ＝120.故选A.

类型三 抽签法与随机数法及应用 命题角度1 抽签法

例3 某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案. 考点 抽签法 题点 抽签法的应用 解 方案如下：

第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18. 第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签. 第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀.