自守数的新解法

自守数的新解法
如果某个数的平方的末尾几位数等于这个数，那么就称这个数为自守数。

例如数5，它的平方是25，其尾数依然是5，5就是自守数。

自守数有以下几个特点：
1、每位数都有自守数。

除了一位数有3个自守数1、5、6外，其余每位数都有2个自守数。

2、如果知道了n位数的自守数，其尾数1位数至n-1位数上的数也就是1至n-1位数的自守数。

例如一个三位数的自守数625，其尾数25和尾数5也就是二位数和一位数的自守数。

3、相同位数的2个自守数有这样的关系,即2个n位数的自守数相加等于10n+1。

若k是n位数的自守数，m为任意正整数，则有以下的方程：
k2-k-m·10n=0，即k(k-1)-m·5n·2n=0
因为k与k-1互质，所以5n能整除k，2n能整除k-1；或者2n能整除k，5n能整除k-1。

如k和k-1分别能被5n和2n整除，存在整数a和b，就有k=a·5n，k-1=b·2n，从而得到方程a·5n-b·2n=1。

如k和k-1分别能被2n和5n整除，同样存在整数a和b，
就有k-1=a·5n，k=b·2n，从而得到方程a·5n-b·2n=-1。

所以求n位自守数就可转化为求不定方程a·5n-b·2n=±1的整数解a和b。

因为5n与2n互质，所以存在方程a·5n-b·2n=±1的整数解，这也就从另一方面证明每n位数都有二个自守数。

当然，n越大越好，求出了n位数的自守数，1至n-1的自守数不解自得。

不过，n越大，求解的步骤越长。

下面以n=20为例，求20位数的自守数k。

先求方程a·520-b·220=±1的整数解a和b。

（采用区间逼近法）
[520/220]=90949470
[520/220]+1=90949471
520-[520/220]×220=185905
520-([520/220]+1)×220=-862671
90949470 1 185905 ×4
90949471 1 -862671 +
90949470 1 185905 +
454747351 5 -119051 ×1
545696821 6 66854 ×1
454747351 5 -119051 +
545696821 6 66854 +
1000444172 11 -52197 ×1
1546140993 17 14657 ×3
1000444172 11 -52179 + 1546140993 17 14657 +
5638867151 62 -8226 ×1 7185008144 79 6431 ×1
5638867151 62 -8226 + 7185008144 79 6431 +
12823875295 141 -1795 ×3 45656634029 502 1046 ×1
12823875295 141 -1795 + 45656634029 502 1046 +
58480509324 643 -749 ×1 104137143353 1145 297 ×2
58480509324 643 -749 + 104137143353 1145 297 +
266754796030 2933 -155 ×1 370891939383 4078 142 ×1
266754796030 2933 -155 + 370891939383 4078 142 +
637646735413 7011 -13 ×10 6747359293513 74188 12 ×1
637646735413 7011 -13 +
6747359293513 74188 12 +
7385006028926 81199 -1 ×11
87982425611699 967377 1
7385006028926 81199 -1
k=967377×520=92256259918212890625，和
k=7385006028926×220=7743740081787109376
附：用区间逼近法求am-bn=±1的整数解a,b
设m>n(m和n互质),先造一个区间（a1/b1,a2/b2）。

区间必须满足二个条件：
1、a2b1-a1b2=1，
2、分数n/m落在区间（a1/b1,a2/b2）中。

接下来是把区间（a1/b1,a2/b2）中分成若干个区间，如下图所示：
a1/b1 （k1a1+a2）/（k1b1+b2）（a1+a2）/（b1+b2）（a1+k2a2）/（b1+k2b2） a2/b2其中k1=1，2，……；k2=1，2，……。

因为（k1a1+a2）b1- a1（k1b1+b2）=1，a2（b1+k2b2）-（a1+k2a2）b2=1，满足条件1；
如果n/m落在区间Ⅰ，区间Ⅰ就是缩小的新区间。

否则区间Ⅱ是缩小的新区间。

重复上述方法，将新区间Ⅰ或Ⅱ再进行分割，逐步缩小区间范围。

经过有限的步骤，就能找出am-bn=±1的整数解a,b。

ⅠⅡ
参数a1,b1,a2,b2，k1,k2的选取：
a1,b1,a2,b2可以任意选取，方便起见，可以取：
a1=1，b1=[m/n]+1, a2=1,b2=[m/n]。

设c=a1m-b1n,d=a2m-b2n,那么c<0,d>0。

若｜c｜>d,则k1=[｜c｜/d],区间Ⅰ是新区间，否则
k2=[d/｜c｜]，区间Ⅱ是新区间。

若c=-1,a1，b1就是am-bn=-1的解；若d=1,则a2，b2就是am-bn=1的解。

区间逼近法的计算比较简便，详见上面a·520-b·220=±1的例子。