綦江区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

綦江区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）
A ．
B 2=AC
B ．A+C=2B
C ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）
D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）
2． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
3． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
4． 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
5． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2，则公比q=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
6． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a
+2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
7． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（
，﹣3，﹣2
）
8． 已知lga+lgb=0，函数f （x ）=a x 与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的①可以是（ ）
A ．i ＞4？
B ．i ＞5？
C ．i ＞6？
D ．i ＞7？
10．拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
11．复数i i
i
z (21+=
是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 12．阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120
二、填空题
13．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”
的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 14．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经
过圆()2
2
:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
15．已知线性回归方程=9，则b= ．
16．已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=
，b a a b =，则a b += ▲ ． 17．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
18．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．
三、解答题
19．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
20．（本小题满分10分） 已知函数()|||2|f x x a x =++-.
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求的取值范围.
21．已知命题p ：不等式|x ﹣1|＞m ﹣1的解集为R ，命题q ：f （x ）=﹣（5﹣2m ）x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．
22．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
23．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一x n且；
（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．
24．（1）化简：
（2）已知tanα=3，计算的值．
綦江区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；
故排除A，D；
若公比q≠1，
则A=S n=，B=S2n=，C=S3n=，
B（B﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）
A（C﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）；
故B（B﹣A）=A（C﹣A）；
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
2．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
3．【答案】B
【解析】
考点：圆的方程.1111]
4．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴1+x A=3
∴x A=2，
∴y A=±2，
∴△AOF的面积为=．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．
5．【答案】B
【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，
两式相减得
3a3=a4﹣a3，
a4=4a3，
∴公比q=4．
故选：B．
6．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，
即有a82=4a8，
解得a8=4（0舍去），
即有b8=a8=4，
由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．
故选：D．
7．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：∵lga+lgb=0
∴ab=1则b=
从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与
∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减
结合选项可知选B，
故答案为B
9．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=0，i=1 S=2，i=2
不满足条件，S=2+4=6，i=3 不满足条件，S=6+8=14，i=4 不满足条件，S=14+16=30，i=5 不满足条件，S=30+32=62，i=6 不满足条件，S=62+64=126，i=7
由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出S 的值为126， 故判断框中的①可以是i ＞6？ 故选：C ．
【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基本知识的考查．
10．【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±
x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
11．【答案】A
【解析】()12(i)
122(i)
i i z i i i +-+===--，所以虚部为-1，故选A. 12．【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82
101045m n C C C ===，选C ．
二、填空题
13．【答案】必要而不充分 【解析】
试题分析：充分性不成立，如2
y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 14．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
2
2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
15．【答案】 4 ．
【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b ，∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．
16．【答案】43 【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33
a b b b b b a a a a +=
⇒+=⇒=或（舍），因此3a b =，因为b a a b =，所以3
333,13,33b b b b b b b b a =⇒=>⇒==，43a b += 考点：指对数式运算
17．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
18．【答案】：．
【解析】解：∵•=cos α﹣sin α=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cos α﹣sin α=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α=
=
，
∵α为锐角，sin （α+）＞0，
∴sin （α+
）
=
===
．
故答案为：
．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，
由正弦定理得，则，
∴
，得cosA=
，
由余弦定理得，cosA==
，
∴
=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A ＜π，∴sinA==，
∴△ABC 的面积S=
=
=
．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
20．【答案】（1）{|1x x ≤或8}x ≥；（2）[3,0]-. 【解析】
试
题解析：（1）当3a =-时，25,2()1,
2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
，当2x ≤时，由()3f x ≥得253x -+≥，解得1x ≤； 当23x <<时，()3f x ≥，无解；当3x ≥时，由()3f x ≥得253x -≥，解得8x ≥，∴()3f x ≥的解集为
{|1x x ≤或8}x ≥.
（2）()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+，当[1,2]x ∈时，|||4|422x a x x x +≤-=-+-=， ∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的的取值范围为[3,0]-. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题. 21．【答案】
【解析】解：不等式|x ﹣1|＞m ﹣1的解集为R ，须m ﹣1＜0，即p 是真 命题，m ＜1 f （x ）=﹣（5﹣2m ）x 是减函数，须5﹣2m ＞1即q 是真命题，m ＜2， 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m ＜2．
【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）f'（x ）=3ax 2
+2bx ﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f （x ）=x 3
﹣3x ．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f'（x ）=3ax 2
+2，
若a ≥0，则f'（x ）＞0，函数f （x ）在R 上单调递增； 若a ＜0，令f'（x ）＞0，
∴
或
，
函数f（x）的单调递增区间为和；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f n（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，
又f n（1）=n+2﹣n=2＞0，
f n（）==
==﹣
当n≥2时，g（n）=n2﹣n﹣1＞0，，
n≥2时存在唯一x n且
（i i）当n≥2时，，∴（零点的区间判定）
∴，（数列裂项求和）
∴，
又f1（x）=x3+2x﹣1，，（函数法定界）
，又，
∴，
∴，（不等式放缩技巧）
命题得证．
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．
24．【答案】
【解析】解：（1）
=
=cosαtanα=sinα．
（2）已知tanα=3，∴===．
【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．。