高三数学上学期期末模拟考试试题 3

卜人入州八九几市潮王学校宁都县2021届
高三数学上学期期末模拟考试试题
一、单项选择题：本大题一一共12题，每一小题5分，一共60分，每个小题只有一个选项符合题目要求.
1．{123}A =，
，，集合{113}B =-，，，集合S A B =，那么集合S 的真子集有〔〕
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．8个
x R ∈，都有20x ≥〞的否认为〔〕
A ．存在0x R ∈，都有2
00x ≥ B ．对任意x R ∈，使得20x < C ．存在0x R ∈，使得2
0x <
D ．不存在x R ∈，使得2
0x <
3．假设样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，那么对于样本
12322,22,22,
,22n x x x x ++++，以下结论正确的选项是〔〕
A ．平均数为20，方差为4
B ．平均数为11，方差为4
C ．平均数为21，方差为8
D ．平均数为20，方差为8
4．双曲线22
184
x y -=的一个焦点到一条渐近线的间隔为〔〕
A ．4
B
C ．2
D 5．将函数
()cos 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移8π个单位，得到函数()g x 的图象，那么以下说法不正
确的选项是(
)
A ．1
62g π⎛⎫=
⎪⎝⎭ B ．()g
x 在区间57,88ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 C ．2
x
π
=
是()g
x 图象的一条对称轴
D ．,08π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是()g x 图象的一个对称中心 6．如图，OAB ∆，假设点C 满足
()2,,AC CB OC OA OB R λμλμ==+∈，那么
1
1
λ
μ
+
=〔〕
A ．13
B ．23
C ．2
9D ．92
7．周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，那么种日影长为〔〕 A ．1．5尺 B ．2．5尺
C ．3．5尺
D ．4．5尺
8．设x ，y 满足约束条件
，那么
224
1
x y x +++的取值范围是〔〕
A ．
[]4,12 B ．
[]4,11
C ．
[]2,6 D ．
[]1,5
9．三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，那么异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．等差数列{}n a 的公差不为0，{}n a 中的局部项123,,......n k k k k a a a a 成等比数列．假设11k =，29k =，
349k =，那么2019k =〔〕
A ．2018
251⨯-B ．2019251⨯-C ．2020251⨯-
D ．2021251⨯- 11．椭圆C ：()222
210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第二象限的点M 在椭圆C 上，且
2OM OF =，假设椭圆C 53
2
MF 的斜率为〔〕
A ．4-
B ．14
-
C ．2-
D ．12
-
12．()f
x 是定义在R 上的奇函数，记()f x 的导函数为()'f x ，当0x ≥时，满足()()'0f x f x ->，
假设存在x ∈R ，使不等式()()2
22x x f e x x f ae x ⎡⎤-+≤+⎣⎦
成立，那么实数a 的最小值为〔〕 A ．1
1e
-
B ．11e
+
C ．1e +
D ．e
二、填空题:本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分.
13．一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护互相HY ，它们需要维护的概率分别为
0.4
和
0.3，那么至少有一个公司不需要维护的概率为
________
14．假设数列
{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，那么1210a a a ++⋯+=________.
15．如图,在平面直角坐标系xoy 中,将直线y 2
x
=
与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V 圆锥1
=
⎰
π〔
2x 〕2
dx 310|1212
x ππ
==据此类比：将曲线y ＝x 2
〔x ≥0〕与直线y ＝2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V ＝_____．
16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点〔点M 与1A C 、不重
合〕，那么以下结论正确的选项是____. ①存在点M ，使得平面
1A DM ⊥平面1BC D ；
②存在点M ，使得DM
//平面11B CD ；
③1A DM ∆的面积不可能等于
36
； ④假设12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，那么存在点M ，使得
12S S .
三、解答题:本大题一一共6题，总分值是70分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步一骤. 17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 2
3sin 2cos 02
A C
B +-=. 〔1〕求角B 的大小； 〔2〕假设2
sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为43，求ABC ∆的周长.
18．如图，在多面体ABCDEF 中，平面
ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF
为正方形，四边形
ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中
点，3BC
=.
(1)求证：AF
BD ⊥；
(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值； (3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？假设存在，求
BN BD
的值；假设不存在，请说
明理由.
19．第7届世界HY 人运动会于2019年10月18日总分值是100分〕数据，统计结果如下：
组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
[90,100)
频数
5
30
40
50
45
20
10
μ，σμ，σ的值〔μ，σ
的值四舍五入取整数〕，并计算(5193)P X <<；
μμ的可获得2次抽奖时机，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23
，抽中价值为30元
的纪念品B 的概率为1
3
.现有民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品
的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额. 〔参考数据：()0.6827P X μ
δμδ-<≤+≈；(22)0.9545P X μδμδ-<≤+≈；
(33)0.9973P X μδμδ-<≤+≈.〕
20．椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，点151,3P ⎛- ⎝
在椭圆C 上.
〔1〕求椭圆C 的HY 方程；
〔2〕是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，使得11F M F N
=？假设存在，求出直
线的方程；假设不存在，说明理由. 21．函数
()1()cos 1()x f x e x ax a R +=++-∈.
〔1〕假设()f x 在()1,-+∞上单调递增，务实数a 的取值范围；
〔2〕当1a
=-时，假设实数1212,()x x x x <满足12()()2f x f x +=，求证：120x x +<.
22．如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,
3B π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB . 〔1〕求曲线1M 的极坐标方程；
〔2〕设点()1,P
ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
在曲线2M 上，假设||||6OP OQ +=，求θ的值.
23．函数
()()4
22f x x m x m m
=-++
>. 〔1〕假设4m
=，求不等式()5f x >的解集； 〔2〕证明：
()()
4
2222f x m m +
≥+-.
数学试题参考答案 1．BCDCDDBADADA
13．0.88．14．15．2π16．①②④
17．〔12
2cos (1cos())2
A C
B B A
C +-=-++ ∵A B C π++=
(1cos())(1cos )B A C B B -++=--
cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭，得：1sin 62B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
∵(0,)B π∈，∴7,666B π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭，∴566
B ππ+=，23
B π
=
〔2〕由〔1〕知23
B π=
，所以ΔABC 的面积为
12sin 234
ac π==16ac =
因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理2
22222cos
()323
b a
c ac a c ac π
=+-⋅=+-=
∴2
()
3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ΔABC 的周长为
18．解:(1)证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．
又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，
所以
AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．
△ABD 中，OB OD ⊥，在正方ADEF 中OK OD ⊥，又平面
ADEF ⊥平面ABCD ，故OB ⊥平面
AFEF ，进而0B OK ⊥，
即OB, OD, OK 两两垂直．分别以,,OB OD OK 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系〔如图〕．
于是，B ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫
⎪⎝⎭,C ⎫⎪⎪⎝⎭,1E 0,,12⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,11M ,0,F 0,,142⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
所以3335,,1,,,0,(0,0,1)4422MF
CD DE ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，那么00CD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即350
22
x y z ⎧-⋅-⋅=⎪⎨⎪=⎩
令5x =-，那么3y =，那么(5,3,0)n =-．
设直线MF 与平面CDE 所成角为θ，||3
sin |cos ,|14
||||MF n MF n MF n θ
⋅=<>=
=
(3)要使直线//CE 平面AFN ，只需AN //CD ，
设,[0,1]BN
BD λλ=∈,那么331,,,,0222n
n n x y z λ⎛⎫⎛⎫-
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
, 331,,0222n n n x y z λλ=-==,331,,0222N λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3311,,02222AN λλ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
, 又35
(,,0)22
CD =-
-，由//AN CD 得3311
2222 5322
λλ-+=--
，解得2=[0,1]3λ∈
所以线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2
=3
BN BD ． 19．解：〔1〕由频数表得：
53040504520
()354555657585200200200200200200
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+10
9565200
⨯
=， 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，
由2
196225σ<<，那么1415σ<<，而214.5210.5210=>，所以14σ≈，
那么X 服从正态分布(65,14)N ，所以
(22)()
(5193)(2)2
P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.6827
0.81862
+=
=；
〔2〕显然，()()0.5P X
P X μμ<=≥=，
所以所有Y 的取值为15，30，45，60，
121(15)233P Y ==
⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=， 1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111
(60)23318P Y ==⨯⨯=，
所以Y 的分布列为：
所以
()
1530456030
318918
E Y
=⨯+⨯+
⨯+⨯=，
需要的总金额为：200306000⨯=. 20．解:〔1〕因为椭圆C 的左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，
所以2c =.
由椭圆定义可得
2a ==, 解得a =所以2
2
2
642b a c =-=-=,所以椭圆C 的HY 方程为22162
x y +=
〔2〕假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为
y x t =-+，
由22
162x y y x t ⎧+=⎪⎨
⎪=-+
⎩
得22
3()60x x t +-+-=，即 ()2246360x tx t -+-=，()222(6)443696120t t t ∆=--⨯⨯-=->，
解得t -<<,设()11,M x y ，()22,N x y ，那么1232t x x +=,21236
4
t x x -=,
由于
1
1FM F N =，设线段MN 的中点为E ，那么1F E
MN
⊥，
所以111F E
MN K K =-
=又3,44t t E ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以14
132
4
F E t K t ==+，解得4t =-. 当4t
=-
时，不满足t -<<
所以不存在满足条件的直线l . :〔1〕
()1()sin 1x f x e x a +'=-+-,由()f x 在()1,-+∞上单调递增，
故当1x >-时，()1
sin 10x e x a +-+-≥恒成立,即()1sin 1x a e x +≤-+
设()()()1sin 11x g
x e x x +=-+>-，()()1cos 1x g x e x +'=-+，
∵1x >-，∴()1
1,cos 11x e x +>+≤,∴0g x
，即()g x 在()1,-+∞上单
调递增，故()()11g
x g >-=,∴1a ≤；
〔2〕当1a =-时，
()()1cos 1x f x e x x +=+++，
()()1sin 110x f x e x +'=-++>,∴()f x 在R 上单调递增，
又∵
()11f -=且1
22f x f x ，故121x x <-<
要证1
20x x +<，只需证21x x <-,即证()()21f x f x <-，
只需证()()112f x f x -<-,即证()()1120f x f x +-->
令()()()2h x f x f x =+--，
令
()112cos1sin x x x e e x
ϕ+-=--⋅()112cos1cos 22cos1cos 0x x x e e x e x ϕ+-'=+-⋅≥-⋅>
∴()x ϕ在(),1-∞-上单调递增
∴()()211sin 20x e ϕϕ<-=--<，故()h x 在(),1-∞-上单调递减， ∴()()()12120h
x h f >-=--=，故原不等式成立.
22．解：〔1〕设以点
(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ，
所以该圆的极坐标方程为4cos ρ
θ=，
那么1M 的方程为4cos 3
2π
πρ
θθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；
〔2〕由点()1,P
ρθ为曲线1M 上任意一点，那么114cos 3
2π
πρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭，
点2,3Q πρθ
⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
在曲线2M 上，那么2
4cos 3233ππππρθθ⎛
⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
即2
24cos 363πππρθθ⎛
⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
因为12||,||OP OQ ρρ=
=，所以12||||OP OQ ρρ+=+，
即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛
⎫+=
+- ⎪⎝
⎭
3πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，因为32ππθ≤≤
，且26
3
π
π
θ-
≤≤
，所以
3
2
π
π
θ≤≤
，
因为||||6OP OQ +=
，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，即sin 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以3πθ=. 23．解:〔1〕依题意，
4215x x -++>；
当21
x <-
时，原式化为4215x x --->，解得23
x <-； 当1
42
x -
≤≤时，原式化为4215x x -++>，解得0x >，故04x <≤； 当4x >时，原式化为4215x x -++>，解得8
3x >，故4x >；
综上所述，不等式()5f x >的解集为2
{|3
x x <-或者0}x >.
〔2〕依题意，
()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧
-+-<-⎪⎪
⎪=++-≤≤⎨⎪
⎪
-+>⎪⎩
，所以()min 22f m m m f x ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭=，
()()()42422m m m m f x m m +
≥++--2222
22222
m m m m m m =++-=-++≥--，
当且仅当222m m -=-，即2m =.。