2014年全国高中数学青年教师展评课：三次函数的图象和性质教学设计(山西太谷中学祝妍)分析

《三次函数》教学设计
一．教学内容解析
三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材.本节课是在复习了函数（二次函数）和导数的基础上的一节高三复习探究课.通过本节课的学习，有助于学生对导数知识的进一步理解和掌握.
二．教学目标设置
通过本节的学习，达到以下三个目标：
1.知识与技能
（1）用函数的观点系统梳理三次函数的概念、图象等有关性质。

（2）利用三次函数的导数(二次函数)进一步研究三次函数的图象特征,并准确记忆三次函数的图象及性质.
（3）掌握与三次函数有关的常见问题及解决办法，以及在此过程中所渗透的转化,分类讨论,数形结合等数学思想.
2.过程与方法
利用导数及二次函数的知识去研究三次函数的图象，进一步利用导函数与原函数图象间的关系来解决函数单调性、极值、最值、方程根的个数（图象的交点个数）、和恒成立问题.
3.情感态度价值观
让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，体会事物之间的内在联系.
三．学生学情分析
本节课是在学生学习了二次函数以及导数的基础上进行的扩展探究，是对导数知识的拔高训练，虽有一定的知识储备，但是仍有一定的理解难度. 四．教学策略分析
利用学生已有的知识去探究其未了解的知识，一切以学生的认知结构为出发点，去设置问题和选题.层层递进，由浅入深，引导并鼓励学生自己发现并解决问题. 五．教学过程 1.知识梳理
定义: 形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数叫做三次函数.
定义域R ,值域R .
2'()32f x ax bx c =++,其中24(3)b ac ∆=-
0a >
0∆>
0∆≤
导函数图
y
x
x 2x 1
O
y
x
O x 0
y
x
O
x 0
原函数图象
问题1:三次函数的导数与原函数图象特征的对应关系是什么? 预设结果:
① 在(,)a b 上,'()0f x >,则()f x 在(,)a b 上单调递增; '()0f x <,则()f x 在(,)a b 上单调递减;
②当0∆≤时,原函数都是单调的且无极值点,而 0∆>时,原函数都是有三个单调区间且有两个极值点.
设计意图: 是让学生更深刻的理解记忆二次导函数图象与原函数图象的关系. 2. 基本应用
例1. 设函数32()21,f x x x x x R =-++∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值; （2）求函数()f x 在[]0,3上的最大值. 解:2'()341(1)(31)f x x x x x =-+=--
由导数图知,1(,)3
x ∈-∞或(1,)x ∈+∞,'()0f x >,()f x 单增, 1(,1)3
x ∈,'()0f x <,()f x 单减,
∴()f x 的单调递增区间为1(,)3-∞,(1,)+∞,单调递减区间为1
(,1)3
.
又131
()327
f =,(1)1f =.
∴()f x 的极大值为131
()327
f =
,极小值为(1)1f =.
(2)当1(0,)3
x ∈,'()0f x >,()f x 单增, 当1
(,1)3
x ∈,'()0f x <,()f x 单减, 当(1,3)x ∈,'()0f x >,()f x 单增,
131()327
f =,(3)13f =,max ()(3)13.f x f == 设计意图:利用基本问题,巩固基本方法. 变式
(1)题干条件不变，分别讨论a 的取值范围,使得关于x 的方程()f x a = 有一个,两个，三个实根？
(2)若关于x 的不等式()f x a ≤在[]0,3上恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)当31
27a >
或1a <时, 方程()f x a =有一个根; 当31
27a =或1a =时, 方程()f x a =有两个根;
当31
127
a <<时, 方程()f x a =有三个根;
(2)max ()()a f x a f x ≥⇔≥,即13a ≥. 问题2:
（1）请同学们总结求函数单调区间，极值，最大（小）值的一般处理方法. ①求单调区间 a.求'()f x (定义域) b.解不等式'()0,'()0f x f x >< c.对应的解集为单调增减区间. ②求极值
a. 求'()f x (定义域)
b. 解方程'()0f x =
c. 判断根两侧导数值符号 ③求函数最大(小)值 a. 求'()f x (定义域)
b. 研究'()f x 在给定区间上图象情况,进而还原原函数图象
c. 找到最大(小)值
（2）总结求方程根的个数问题的一般处理方法.
转化为直线与图象的交点问题. （3）总结恒成立问题的一般处理方法.
转化为求最值问题.
设计意图:通过变式进一步巩固基本方法,学生自己解决,获得成就感. 3.拓展升华
例2.已知函数32()1,f x x ax x a R =+++∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；
(2)设函数()f x 在区间21,3
3⎛⎫
--
⎪⎝⎭
内是减函数，求a 的取值范围. 问题3: 该题目与例1有什么不同之处?如何转化求解?
预设结果:例2系数中不含参数,本题含参,导致∆含参,使得()f x '图象与x 轴位置不确定,要通过讨论使之确定.而第(2)问则要去限制二次导函数的图象,用到一元二次方程根的分布.
设计意图:鼓励学生对含参问题进行研究,深化学生的知识结构. 分析: (1)1)(23+++=x ax x x f ,则123)(2++='ax x x f ,∆=1242-a 中含参,则()f x '图象与x 轴位置不确定,则要对∆来分类讨论.
（2）需要限制二次导函数的图象.
解: ①当0≤∆，33≤≤-a ,'()0,()f x f x ≥单调增函数, 单调增区间为),(+∞-∞
②当0>∆ 令()0f x '=,此时3321---=a a x 33
22-+-=a a x 显然
12x x >，由导函数图象知，得出三次函数单调性.
所以函数)(x f 的单调递增区间为)
33
,(2----∞a a 和
),33(2+∞-+-a a 单调递减区间为)3
3,33(22-+----a a a a
(2)法一:
()f x 在区间21
(,)33
--内是减函数,
'()0f x ∴≤在21
(,)33
--恒成立.
由导函数图象知,
27'()03
2412'()03f a a a f ⎧
-≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⇒≥⎨
⎨⎪⎪≥-≤⎩⎪⎩
, 2a ∴≥.
法二:2'()3210f x x ax =++≤在2
1(,)33
--上恒成立,
即23111
(3)22x a x x x
--≥
=-+ 令1()3g x x x =+,由对勾函数图象得,27()32g -=-
,1()43g -=-,3
()233
g -=-,4()23g x ∴-<≤,1
3()22
g x ≤-<,2a ∴≥
例3 已知函数323
()1,2
f x ax x x R =-+∈.0a >,若在区间112,2⎡⎤
-
⎢⎥
⎣⎦
上, ()0f x >恒成立,求a 的取值范围.
问题4: 函数()f x 在区间112,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调性如何?讨论的标准是什么?
预设结果:同样都是含参的问题,而此函数的导函数图象随着a 的确定基本可以确定,有两个不等实根,我们只需讨论区间端点与极值点的大小关系.亦或者使参数分离转而求函数的最值.
设计意图:更深层的考查学生对知识的掌握情况,提高学生的转化问题应变能力.
解:法一: 323()1,2
f x ax x x R =-+∈,'2()33f x ax x =-,
'1
0.()3()a f x ax x a
>=-,如图.
ⅰ)11
,022
a a ≥<≤即,
'1,0,()0,()2x f x f x ⎛⎫
∈-> ⎪⎝⎭单增,'10,,()0,()2x f x f x ⎛⎫
∈< ⎪⎝⎭单减. 1()02
551()02
f a f ⎧->⎪⎪∴⇒-<<⎨
⎪>⎪⎩,02a ∴<≤. ⅱ) 11,22
a a <>即,
'
1
,0,()0,2
x f x ⎛⎫∈-> ⎪⎝
⎭
()f x 单增, '10,,()0,x f x a ⎛⎫
∈< ⎪⎝⎭
()f x 单减,
'11,,()0,2x f x a ⎛⎫
∈> ⎪⎝⎭
()f x 单增
, 1()0251()0f a f a
⎧->⎪⎪∴⇒<<⎨⎪>⎪⎩,25a ∴<<.
综上, 05a <<.
法二: 323102
ax x -+>对于任意的11[,]22
x ∈-恒成立. 当0x =时, a R ∈;
当1(0,]2x ∈时, 331
2a x x >
-;
当1[,0)2x ∈-时, 331
2a x x <-;
令1,(,2][2,)t t x
=∈-∝-+∝,33(),2t g t t =-+
23
'()3,2
g t t =-+
当[2,)t ∈+∝时,'()0,g t < ()g t 单调递减, max ()(2)5,5g t g a ==-∴>-; 当(,2]t ∈-∝-时,'()0,g t < ()g t 单调递减, min ()(2)5,5g t g a =-=∴<;
55a ∴-<<.又0,05a a >∴<<
4.梳理总结
问题5:本节课你的收获有哪些？请你从知识、经验、问题、方法等方面进行总结.
1、利用导数研究三次函数的图象和性质；
2、利用图象与性质解决三次函数的几类问题: ①单调性、极值、最值问题； ②讨论三次方程根的问题； ③恒成立问题.
3、思想方法：
数形结合,函数与方程，分类讨论，转化思想。

设计意图：梳理总结，形成理性的认识，丰富学生解决问题的经验。

5．板书设计
6.课后巩固提升(见导练案)。