2020高考数学大二轮山东专用(精练)：中档提升练 2第二练 Word版含答案

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第二练
一、选择题
1。

已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π
3,则双曲线C 的离心率为（ ) A.2或√3 B.2或
2√3
3
C 。

2√33
D 。

2
答案 D 设双曲线C 的方程为x 2
a 2—y 2
b 2=1(a 〉0,b 〉0)，则不妨令一条渐近线方程为y=b
a x,则有b
a =tan π
3=√3,所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2
a 2
=1+3=4,所以双曲线C 的离心率为
2,故选D 。

2.已知向量a=(2,3）,b=(6,m ）,且a⊥b,则向量a 在a+b 方向上的投影为（ ) A.√65
5 B.—√65
5 C 。

√13 D 。

-√13
答案 A 因为a⊥b，所以a·b=12+3m=0,解得m=—4,所以b=（6，-4），所以a+b=(8,-1),所以向量a 在a+b 方向上的投影为
a ·(a+b)|a+b|=√65
5。

3。

已知函数f （x)=sin (ωx +π
4)（x∈R，ω〉0）的最小正周期为π,将y=f(x ）的图象向左平移|φ｜个单位长度，所得图象关于y 轴对称,则φ的一个值是( ）
A 。

π
2 B.3π
8 C 。

π
4 D 。

5π
8
答案 D 由题意知，2π
ω=π,ω=2, f(x)=sin (2x +π
4)，将y=f(x)的图象向左平移｜φ|个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g （x)=sin [2(x +|φ|)+π
4],因为g （x)的图象关于y 轴对称，故2|φ｜+π4=π
2+kπ，k∈Z，故｜φ｜=π8+k
2π，k∈Z,结合选项可知,φ的一个值是5π
8,选D.
4.已知函数f(x ）=(e x +e —x ）ln 1-x
1+x —1，若f(a)=1,则f （—a)=（ ） A 。

1 B.-1 C.3 D 。

—3
答案 D 解法一：由题意得f(a）+f(-a）=(e a+e-a）·ln1-a
1+a
—1+（e-a+e a)·ln
1+a 1-a -1=（e a+e—a)(ln1-a
1+a
+ln1+a
1-a
)—2=-2，所以f(—a)=—2—f（a）=-3,故选D.
解法二：令g（x）=f(x)+1=（e x+e—x)ln1-x
1+x
,则g(-x)=
（e-x+e x)·ln1+x
1-x =—(e x+e—x)ln1-x
1+x
=-g(x),所以g（x）为奇函数，所以f(-a）
=g(-a）—1=-g(a）—1=-f(a）-2=-3，故选D.
二、填空题
5。

设S n是数列{a n｝的前n项和,若a n+S n=2n,2b n=2a n+2—a n+1，则
1 b1+1
2b2
+…+1
100b100
= .
答案100
101
解析因为a n+S n=2n①,所以a n+1+S n+1=2n+1②,②—①得2a n+1-a n=2n,所以
2a n+2—a n+1=2n+1,又2b n=2a n+2-a n+1=2n+1，所以b n=n+1,1
nb n =1
n(n+1)
=1
n
—1
n+1
，则
1 b1+1
2b2
+…+1
100b100
=1-1
2
+1
2
-1
3
+…+1
100
-1
101
=1—1
101
=100
101
.
6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD,FB⊥平面ABCD，且ED=FB=1，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是。

（只填序号)
①EC⊥AF；
②该几何体外接球的表面积为3π；
③若G为EC的中点，则GB∥平面AEF；
④AG2+BG2的最小值为3。

答案 ①②③
解析 如图所示，将该几何体补形为正方体,以D 为坐标原点,DA,DC,DE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系。

①由正方体的性质易得EC⊥AF.②该几何体的外接球与正方体的外接球相同，外接球半径为√3
2，故外接球的表面积为3π.③易知A(1,0，0），E （0，0，1）,F(1,1,1），B(1,1,0），C(0，
1,0），则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（—1，0，1)，AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，1)。

设平面AEF 的法向量为n=（x ，y,z ）。

由{n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗
=0,n ·AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{-x +z =0,
y +z =0,令z=1,得x=1,y=-1，则n=(1，-1，1）.当G 为EC 的中点时，G (0,12,12),则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,-1
2),所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以GB∥平面AEF(也可以由面面平行来证明线面平行）。

④设G(0,t ，1-t ）（0≤t≤1)，则AG 2
+BG 2
=4t 2
-6t+5=4(t -34)2+11
4，故当t=34时，AG 2+BG 2的最小值为11
4.
三、解答题
7。

已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且asin A+bsin B+√2bsin A=csin C 。

(1)求C;
（2)若a=2,b=2√2，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D,求CD 的长. 解析 (1)因为asin A+bsin B+√2bsin A=csin C ， 所以a 2+b 2+√2ab=c 2， 又cos C=
a 2+
b 2-
c 2
2ab
=-√22
,又0〈C 〈π，所以C=3π
4.
(2）由(1）知C=3π
4，所以c2=a2+b2-2abcos C=22+（2√2）2—2×2×2√2×(-√2
2
)=20，
所以c=2√5。

由c
sinC =b
sinB
，得√5
√2
2
=2√2
sinB
，解得sin B=√5
5
，
从而cos B=2√5
5。

设线段BC的垂直平分线交BC于点E,
因为在Rt△BDE中,cos B=BE
BD ,所以BD=BE
cosB
=
2√5
5
=√5
2
,
因为点D在线段BC的垂直平分线上，所以CD=BD=√5
2
.
8。

某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本测量产品的一项质量指标值,已知该指标值越高越好.由测量结果得到如下的频率分布直方图:
（1)求a,并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由样本估计总体,结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布N（μ，102)，计算该批产品的该项指标值落在(180，220]上的概率；
②国家有关部门规定每盒产品的该项指标值不低于150均为合格，且该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180，220]为优良,不高于180为合格,高于220为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1
万盒的成本为15万元，市场上各等级的每盒该产品的售价(单位:元)如下表，求该公司每万盒的平均利润.
等级合格优良优秀
售价102030
附：若ξ～N(μ，δ2），则P（μ-δ<ξ≤μ+δ)≈0。

682 7,
P(μ-2δ〈ξ≤μ+2δ)≈0.954 5。

解析（1)由10×（2×0.002+0.008+0。

009+0。

022+0。

024+a)=1,解得a=0.033，则平均值x=10×0.002×170+10×0。

009×180+10×0.022×190+10×0。

033×200+10×0.024×210+10×0.008×220+10×0。

002×230=200，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.
（2)①由题意可得μ=x=200,δ=10,则P（μ-2δ〈ξ≤μ+2δ）=P(180
〈ξ≤220)≈0。

954 5,则该批产品的指标值落在(180，220]上的概率为0。

954 5.
②设每盒产品的售价为X元,由①可得X的分布列为
X102030
P
0.022
750.954
5
0.022
75
则每盒该产品的平均售价为E(X）=10×0.022 75+20×0。

954 5+30×0.022 75=20，故每万盒该产品的平均售价为20万元，故该公司每万盒的平均利润为20-15=5（万元）.。