云南省昆明市官渡区第五中学2021年高二数学理测试题含解析

云南省昆明市官渡区第五中学2021年高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．
【解答】解：由题意，则
，
化简后得m=1.5，
故选A
【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．
2. 已知双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程是
（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为（）A．B．C．D．
参考答案：
D
4. 观察下列各图形：
其中两个变量x、y具有相关关系的图是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
参考答案：
C
5. 凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为（）
A．f（n）+n+1 B．f（n）+n C．f（n）+n﹣1 D．f（n）+n﹣2
参考答案：
C
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【分析】凸n边形变成凸n+1边形首先是增加一条边和一个顶点，原先的一条边就成了对角线了，则增加上的顶点连接n﹣2条对角线，则n﹣2+1=n﹣1即为增加的对角线，所以凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为凸n边形的对角线加上增加的即f（n+1）=f（n）+n﹣1．
【解答】解：由n边形到n+1边形，
增加的对角线是增加的一个顶点与原n﹣2个顶点连成的n﹣2条对角线，及原先的一条边成了对角线．
故答案为C．
【点评】考查学生的逻辑推理的能力，对数列的概念及简单表示法的理解．
6. 下列函数为同一函数的是（）
A. y＝lg x2和y＝2lg x
B. y＝x0和y＝1
C. y＝和y＝x＋1
D. y＝x2－2x和y＝t2－2t
参考答案：
D
【分析】
根据函数的概念，判定两个函数的定义域和对应法则是否都相同，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，对于A中，函数的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；
对于B中，函数的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；
对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；
对于D中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数，
故选D．
【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中熟记函数的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7. 已知，为的导函数，则的值等于
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
8. 下列命题中，错误的是（▲ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两条直线不一定平行
C．如果平面垂直，则过内一点有无数条直线与垂直．
D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
参考答案：
C 9. 的展开式中的系数是（）
A 20
B 160 C
240 D 60
参考答案：
B
略
10. 函数的单调减区间为
A. B. C. D. (0, 2)
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积）V＝πr3，观察发现V′＝S。

则四维空
间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度W＝_______________．
参考答案：
略
12. 直线关于直线对称的直线方程是______________．
参考答案：
略
13. 设有一组圆．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切
②存在一条定直线与所有的圆均相交
③存在一条定直线与所有的圆均不相交
④所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）
参考答案：
②④
14.
参考答案：
（1）
15. 已知函数，则此函数的最大值为.参考答案：
﹣10
16. 某工程由下列工序组成，则工程总时数为_________天．
工序a b c d e f
前工序——a、b c c d、e
工时数（天） 2 3 2 5 4 1
参考答案：
11
略
17. 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则= ．参考答案：
4024
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知在等比数列{a n}中，.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案：
(1) (2)
【分析】
（1）求出公比后可得的通项公式.
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）设等比数列的公比为.
由，得，得，
所以，解得.
故数列的通项公式是.
（2），
则，①
，②
由①-②，得
，
，
故
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
19. （本小题满分12分）
已知曲线C：y=2x3－3x2－2x+1，点P(,0)，求过P的切线l与C围成的图形的面积. 参考答案：
解：设切点，则
切线：过P（）
∴
即
∴即A（0，1）
故即
∴ B（）
∴20. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】（1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式得出T n．
【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，
则，解得．
∴a n=a1+（n﹣1）d=n﹣1．
（2）由（1）可得b n=2n﹣1，∴{b n}为以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴T n==2n﹣1．
21. 已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
参考答案：
（1）9x+y﹣1＝0；（2）f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）
.
分析】
（1）先求函数的导函数f'（x），再求所求切线的斜率即f'（0），由于切点为（0，1），故由点斜式即可得所求切线的方程；
（2）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
【详解】（1）由题意f'（x）＝3x2﹣6x﹣9，k＝f'（0）＝﹣9，f（0）＝1
所以函数在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣9x，即9x+y﹣1＝0；
（2）令f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＞0，解得x＜﹣1或x＞3
令f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＜0，解得﹣1＜x＜3
故：函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）.
【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
22. 设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。