第五章投影与逼近

第五章 投影与逼近

在工程与科学实践中，常常遇到函数的近似计算问题，如果问题涉及的空间为内积空间，则函数的最佳逼近问题与投影定理密切相关，只要逼近子空间是完备的，则求最佳逼近的元素，就相当于求投影。如果在连续函数空间中，讨论

的范数不由内积导出，如中采用[,]a b C [,]

max |()|t a b x x t ∈=，在此范数意义下讨论的最佳逼近就是通常所说的一致逼近问题。本章作为投影定理的应用，主要讨论内积空间中的最佳逼近——最佳平方逼近或称最小二乘逼近问题。

5.1内积空间中的投影定理

定理5.1设M 为内积空间的完备线性子空间，则对

任何，存在唯一的U x U ∈01

,x M x M ⊥

∈∈，使，且01x x x =+0inf y M

x x x y ∈−=− Remark:

定理5.1说明，内积空间中的任何元素都在完备线性子空间中存在唯一的投影，而且，在由内积导出的范数意义下，与子空间中其他任何元素相比，正交投影是逼近最好的元素，因此在内积空间中的最佳逼近问题可以通过求投影来解决。 0x x

5.2内积空间中的最佳逼近 1．内积空间中的最佳逼近问题描述

设

是内积空间中的个线性无关元

素，12,,n x x x "U

n 12{,,,}n M span x x x ="，对中任意元素，

要求U

x *

*

y M x

M ,s.t.x x inf x y

∈∈−=−。

由于

1

n i i i y M ,y x =∀∈=α∑，因此问题等价于，

求一组数，使

**12,,,n a a a "**1

1

n n

i i i i

i i x x x α==−≤−∑∑x α

（5.3）

其中线性组合

为1

n

i i

i a x

=∑M 中任一元素，称满足式（5.3）

的

**

1

n

i i i x x ==∑α为在x M 中的最佳逼近元素。 2．最佳逼近元的一般构造

由于在内积空间中，有限维线性子空间必完备，此时，

，在x U ∀∈x M 中的最佳逼近元就是在*

x x M 中的正

交投影。根据正交投影的性质，有

0x

*1,0,1,2,n i i j i x x x j n α=⎛⎞

−==⎜⎟⎝⎠∑"

（5.4） 即

()*

1,(,),

1,2,n

i j i j i x x x x j n

===∑"α

（5．5）

或

*1121111*1222222*12(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦""#####"n ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦)n

（5.6）

即最佳逼近元的系数应满足上面方程组。 *

(1,2,i i α="由于线性无关，可以证明，（5.6）中系数矩阵可逆，故方程组（5.6）有唯一的一组解

12,,,n x x x "111112221*

112111222212(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

(,)(,)(,)1,2,,(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

n n n n n n i n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x i n

x x x x x x x x x x x x x x x x x x α==""###""""#

#

#

"（5.7）

从而可求出在x M 中的最佳逼近元*

01

n

i i i x x α==∑，

它也是

在x M 上的正交投影。

两种简单情形：

当12,,,n x x "x 为正交系时，则式（5.6）中的系数

矩阵可简化为对角阵：

1122(,)(,)(,)n n x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦% 此时，方程组的解

*

(,)

1,2,,(,)

i i

i i x x i n x x α=

=" 若为规范正交系，则式（5.6）更进一步进化为单位阵，方程组的解为

12,,,n x x x "*

(,)1,2,,i

i x x i n α=="（5.10）

此时，

*1

1

(,)n

n

i i i i i i x x x x α===∑∑为的广义Fourier 级数

展开的部分和，称式（5.10）为的广义Fourier 系数，

并成立Bessel 不等式

x x

2

*21

||n

i

i x

α

=≤∑（5.11）

3．最佳逼近的误差估计

设0x x δ=−，于是有

2

2

0000(,)(,)(,x x x x x x x x x x x x =−=−−=−−−δ

0)

（5.12）

因为，0x M

∈0

x x M ⊥

−∈，所以 00(,)x x x −=0

故式（5.12）成为

()

2

*001

**

*1122(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)

n

i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==−=−=−=−−−−∑"δ

αααα （5.13）

由式（5.13）可以具体估算出在M 中的最佳逼近与

的误差。

x 0

x x 5.3 函数空间（以为例）中的最佳逼近

2

[,]L a b 1．中函数的最佳平方逼近

2

[,]L a b 设()()(){}12,,n

M span x x x ="ϕϕϕ为2

[,]L a b 的线性子空间，

()

p x 为

中的非负函数，2

[,]L a b ()2f x L [a,b ∀∈]，求它在M 中的带权

()p x 的最佳平方