第五章投影与逼近

第五章 投影与逼近在工程与科学实践中，常常遇到函数的近似计算问题，如果问题涉及的空间为内积空间，则函数的最佳逼近问题与投影定理密切相关，只要逼近子空间是完备的，则求最佳逼近的元素，就相当于求投影。

如果在连续函数空间中，讨论的范数不由内积导出，如中采用[,]a b C [,]max |()|t a b x x t ∈=，在此范数意义下讨论的最佳逼近就是通常所说的一致逼近问题。

本章作为投影定理的应用，主要讨论内积空间中的最佳逼近——最佳平方逼近或称最小二乘逼近问题。

5.1内积空间中的投影定理定理5.1设M 为内积空间的完备线性子空间，则对任何，存在唯一的U x U ∈01,x M x M ⊥∈∈，使，且01x x x =+0inf y Mx x x y ∈−=− Remark:定理5.1说明，内积空间中的任何元素都在完备线性子空间中存在唯一的投影，而且，在由内积导出的范数意义下，与子空间中其他任何元素相比，正交投影是逼近最好的元素，因此在内积空间中的最佳逼近问题可以通过求投影来解决。

0x x5.2内积空间中的最佳逼近 1．内积空间中的最佳逼近问题描述设是内积空间中的个线性无关元素，12,,n x x x "Un 12{,,,}n M span x x x ="，对中任意元素，要求Ux **y M xM ,s.t.x x inf x y∈∈−=−。

由于1n i i i y M ,y x =∀∈=α∑，因此问题等价于，求一组数，使**12,,,n a a a "**11n ni i i ii i x x x α==−≤−∑∑x α（5.3）其中线性组合为1ni ii a x=∑M 中任一元素，称满足式（5.3）的**1ni i i x x ==∑α为在x M 中的最佳逼近元素。

2．最佳逼近元的一般构造由于在内积空间中，有限维线性子空间必完备，此时，，在x U ∀∈x M 中的最佳逼近元就是在*x x M 中的正交投影。

根据正交投影的性质，有0x*1,0,1,2,n i i j i x x x j n α=⎛⎞−==⎜⎟⎝⎠∑"（5.4） 即()*1,(,),1,2,ni j i j i x x x x j n===∑"α（5．5）或*1121111*1222222*12(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦""#####"n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦)n（5.6）即最佳逼近元的系数应满足上面方程组。

*(1,2,i i α="由于线性无关，可以证明，（5.6）中系数矩阵可逆，故方程组（5.6）有唯一的一组解12,,,n x x x "111112221*112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)1,2,,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n i n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x i nx x x x x x x x x x x x x x x x x x α==""###""""###"（5.7）从而可求出在x M 中的最佳逼近元*01ni i i x x α==∑，它也是在x M 上的正交投影。

两种简单情形：当12,,,n x x "x 为正交系时，则式（5.6）中的系数矩阵可简化为对角阵：1122(,)(,)(,)n n x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦% 此时，方程组的解*(,)1,2,,(,)i ii i x x i n x x α==" 若为规范正交系，则式（5.6）更进一步进化为单位阵，方程组的解为12,,,n x x x "*(,)1,2,,ii x x i n α=="（5.10）此时，*11(,)nni i i i i i x x x x α===∑∑为的广义Fourier 级数展开的部分和，称式（5.10）为的广义Fourier 系数，并成立Bessel 不等式x x2*21||nii xα=≤∑（5.11）3．最佳逼近的误差估计设0x x δ=−，于是有220000(,)(,)(,x x x x x x x x x x x x =−=−−=−−−δ0)（5.12）因为，0x M∈0x x M ⊥−∈，所以 00(,)x x x −=0故式（5.12）成为()2*001***1122(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)ni i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==−=−=−=−−−−∑"δαααα （5.13）由式（5.13）可以具体估算出在M 中的最佳逼近与的误差。

x 0x x 5.3 函数空间（以为例）中的最佳逼近2[,]L a b 1．中函数的最佳平方逼近2[,]L a b 设()()(){}12,,nM span x x x ="ϕϕϕ为2[,]L a b 的线性子空间，()p x 为中的非负函数，2[,]L a b ()2f x L [a,b ∀∈]，求它在M 中的带权()p x 的最佳平方逼近，即找（5.15）**1()()ni i i s x x M αϕ==∈∑1.()(ni i i )s t s x x αϕ=∀=∑，恒有*22()[()()]()[()()]bbaap x f x s x dx p x f x s x dx−≤−∫∫（5.16）令()21221,,,()[()()]()[()()]b n anbi i ai F p x f x s x dxp x f x x dx==−=−∫∑∫"ααααϕ由于()p x ，和()f x ()()()12,,n x x "ϕϕϕx 已知，因此，()12,,,n F "ααα实际上是关于12,,,n"ααα的n 元二次函数。

而在M 中求的带权的最佳平方逼近函数，就是要求出使得()f x ()p x ()12,,,n F "ααα最小的一组系数*i α，然后由*i α求得。

**1()()ni i i s x x ==∑αϕ由于()12,,,n F "ααα是关于12,,,n "ααα的n 元二次函数，其极小值问题可通过极小值原理来解决。

由极小原理，有*12()[()()]()0,1,2,,n b i i j a i j F p x f x x x dx j n=∂=−−⋅=∂=∑∫"αϕϕα，定义带权内积符号()()(),()()()()bp x af xg x p x f x g x dx =∫上式变为()()*1(,)(,)nij ij p xp x i f ==∑ϕϕαϕ，1,2,,j n ="（5.19）两种简单情形： 当12,,,n ϕϕϕ"是带权()p x 的正交系时，()*()(,)(,)i p x ii i p x f =ϕαϕϕ当12,,,n ϕϕϕ"是带权()p x 的规范正交系时，直接可求得*(,)()()()bii i af p x f x x dx ==∫αϕϕ（5.20）即为()f x 的广义Fourier 系数。

例 1 在空间21[,1]4L 中定义内积运算和范数分别为()1112124(),()()()f x f x f x f x dx =∫，()()1/21214f x f x dx ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫，现给定函数()f x =，试求的线性最佳平方逼近（这里权函数）。

解：设()1p x =的线性最佳平方逼近为***1()S x x =+αα。

取()()121,x x =ϕϕx =，显然线性无关，令{1,}M span x =，是21[,1]4问题等价于求L 的二维线性子空间。

(f )x =在M 中的正交投影。

由前面分析知可如下求出。

1211243(,)14dx ϕϕ==∫，111222415(,)(,)132xdx ϕϕϕϕ==⋅=∫12122421(,)64x dx ϕϕ==∫，11147(,)112f dx ϕ=⋅=∫，112431(,)80f xdx ϕ=⋅=∫代入式（5.19）或（5.6），即得**12**12315743212152131326480αααα⎫+=⎪⎪⎬⎪+=⎪⎭求解方程组可得**121088,27135αα==从而*8810()13527S x x =+例 2 在上，定义2[,]L a b (,)ba f g fgdx =∫，并令23{1,,,}M span x x x =，求()x f x e =在M中的最佳平方逼近元。

解：根据式（5.6），先求出系数矩阵23232222323323331111234(1,1)(,1)(,1)(,1)1111(1,)(,)(,)(,)23451111(1,)(,)(,)(,)3456(1,)(,)(,)(,)11114567x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦再求出右端项23 1.71828(,1)1(,)0.71828(,)0.56344(,)x x x x e e x e x e x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 就可以根据式（5.7）求得*10.99808,=α*21.02965=α**340.39348,0.29688αα==()xf x e=在M上的最佳平方逼近230()0.99808 1.029650.393480.29688f x x x x=+++Remark: 当2{1,,,,}nMspan x x x ="时，式（5.6）中的系数矩阵为11121111232111122n n n n n ⎡⎤⎢⎥1+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦""####"称为Hilbert 矩阵。

当较大时，Hilbert 矩阵严重病态，数值求解方程组Ga=d 不稳定，因此用作基是不理想的。

若能选择一组正交函数作为基，则系数矩阵变为对角阵，法方程组易于求解。