江西省新建二中-度高二数学第三次月考试题(文科)

江西省新建二中2008-2009学年度高二数学第三次月考试题(文
科)
分值：150分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.椭圆19
252
2=+y x 上点P 到右准线等于4.5，则点P 到左准线的距离等于（ ）
A.8
B.12.5
C.4.5
D.2.25 2.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份，则椭圆的离心率等于（ ）
A.3
B.
23 C.33 D.4
3 3.中心在原点，长轴长是短轴长的2倍，一条准线方程是x =4，则此椭圆的方程是（ ）
A.
131222=+y x B.1422=+y x C.142
2=+y x D.112
322=+y x 4．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为 （ ）
A ．抛物线
B ．圆
C ．双
曲线的一支
D ．椭圆
5．过双曲线x 2
-2
2
y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，这样的直线 有
（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．3
B ．
2
6 C ．
3
6 D ．
3
3 7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=
（ ）
A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
8．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有
（ ）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
9．若曲线y =
与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围
是 （ ） A 01k ≤≤ B 304k ≤≤
C 3
14
k -<≤ D 10k -<≤ 10．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3
π
的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）
A ．73
8 B ．
3
16 C ．
3
8 D ．
73
16
11．设双曲线12222=-b
y a x （0<a <b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为
4
3
c ，则双曲线的离心率为 （ ）
12．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
q
p 1
1+等于 （ ）
A ．2a
B ．
a
21 C ．4a D ．
a
4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．双曲线x 2
-4
2
y =1截直线y =x +1所得弦长是 14．已知直线x - y =2与抛物线交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是
15．F 1，F 2是椭圆C ：14
82
2=+x x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________ 16．过抛物线x y 42
=的焦点，作直线与此抛物线的相交于两点P 、Q ，则线段PQ 中点的轨
迹方程为_________
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
17．F 1、F 2是116
92
2=-x y 双曲线的两个焦点，M 是双曲线上一点，且3221=⋅MF MF ，求三角形△F 1MF 2的面积．（12分）
18． 已知椭圆
x y 2
29
1+=，过左焦点F 1倾斜角为π6的直线交椭圆于A B 、两点。

求：弦AB 的长，左焦点F 1到AB 中点M 的长。

（12分）
19．过抛物线y px 2
2=的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 和OB 。

（12分） 求证：AB 交抛物线的对称轴于定点。

20．证明双曲线x a y b
222
21-=上任意一点到两渐近线的距离乘积是定值。

（12分）
21．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于
不同的两点A 、B ，p AB 2||≤． （Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB Rt ∆面积的最大值．(12分)
22．已知梯形ABCD 中，|AB|=2|CD|，点E 满足→
→
=EC AE λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以
A 、
B 为焦点，当4
3
32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．（14分）
答案 1-5ACACC 6-12 BACCBAC 13.
23
8
14. （4，2） 15.2 16. 222-=x y 17. 解：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（0，-5）、F 2（0，5）， 由双曲线定义得：621=-MF MF ，联立32
21=⋅MF MF 得 2
1MF +22MF =100=221F F ，所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S =162
121=⋅MF MF
18. 解： a b c ===3122,,
∴=++-=++=+=-=∴=+-=+-⎡⎣⎢⎤
⎦⎥==
+=-直线的方程为代入得则··AB y x x y x x x x x x AB k x x x x x M 3
3
22990412215032154
11133241542
2332
22212122212
212().
,||()()()()
∴=+-=
-+=||()()()F M k x x M F 122
21433222263
19. 证明：设OA,OB 的方程为：
y kx y k
==-
，1
()
y kx
y px A p k p k y k x
y px B pk pk
==⎧⎨⎩
⇒⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-=⎧
⎨
⎪⎩
⎪⇒-2
2222221222，，
∴直线AB 方程为：
x p k p k pk y p
k
p
k
pk -
-=
-
+22222212
2
2
()
在（1）中含y =0
解得： x p =2
∴AB 交抛物线的对称轴y =0于点()
20p ，，这是一个定点。

20. 证明：设()P x y 00,为双曲线上任意一点
双曲线的两条渐近线为：bx ay bx ay -=+=00，
()P x y 00,到渐近线bx ay -=0的距离为d bx ay a b
1002
2
=
-+
()P x y 00,到渐近线bx ay +=0的距离为d bx ay a b
2002
2
=
++
∴d d b x a y a b 12202
20
2
22
·=
-+
∵x a y b
0220
221-=
∴b x a y a b 20220222-=
∴d d a b a b a b a b
1222
22222
2
·=+=+（定值） 21. 解：（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，
得 0)(222=++-a x p a x ． 设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、
),(22y x B ，
则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.
),(2,
04)(42212122a x x p a x x a p a 又a x y a x y -=-=2211,，
∴221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．
∵
0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得 4
2p a p -≤<-
．
（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得
p a x x x +=+=
2
2
13， p a x a x y y y =-+-=+=2)()(22121
3．
∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=． 又 MNQ ∆为等腰直角三角形， ∴ p QM QN 2||||=
=， ∴|
|||2
1QN AB S NAB ⋅=∆||2
2
AB p =
p p 222⋅≤ 22p =
即NAB ∆面积最大值为22p 22.
解：如图建立坐标系，这时CD ⊥y 轴， 因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点， 由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称。

依题意，记A(－C,0)，C(,2
C
h)，E(x 0,y 0),其中
c=||21
AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。

由→→=EC AE λ,即(x 0+c,y 0)= λ(2
c
－x 0,h －y 0)
得:x 0=
λ
λλλ+=⋅+-1)1(2)2(0h
y c .设双曲线的方程为
12
2
22=-b y a x , 则离心率e=
a
c。

由点C 、E 在双曲线上,将点C 、E 的坐标和e=
a
c
代入双曲线的方程得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----------=+-+--------------------=-)2(1)1()12(4)1(142
2
22222
2b h e b h e λλλλ
将（1）式代入（2）式,整理得4
2
e (4-4λ)=1+2λ,故λ=1232+-e .
依题设
4332≤≤λ得4
3
2e 3- 1322≤+≤,解得107≤≤e . 所以双曲线的离心率的取值范围是107≤≤e .。