2020年云南省大理市下关第一中学高三数学文联考试卷含解析

2020年云南省大理市下关第一中学高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，则复数（ ）
A. B.
C.
D.
参考答案：
考点： 复数的运算；共轭复数.
2. 若复数，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵=，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限．
故选：D ．
3. 具有线性相关关系得变量x ，y ，满足一组数据如表所示，若y 与x 的回归直线方程为=3x ﹣，则m 的值（ ）
A ．4
B ．
C ．5
D ．6
参考答案：
A
【考点】线性回归方程．
【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程
=3x ﹣，代入样本中心点求出该数据的值．
【解答】解：由表中数据得： =， =，
由于由最小二乘法求得回归方程=3x ﹣，
将=， =代入回归直线方程，得m=4．
故选：A
4. 已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f (x)又是减函数，且，则a 的取值范围
是（ ） A ．(2
，3) B ．(3
，
) C ．(2
，4)
D ．(－2，3)
参考答案：
A
5. 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（ ）
A 2
B
C D
参考答案：
D
略
6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
7. 在同一坐标系中画出函数的图象,可能正确的是 ( )
参考答案：
D
略
8. 复数的实部为（）
A．0 B．1 C．－1 D．2
参考答案：
A
，实部是0，选A。

9. 函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】函数的图象．
【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．
【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，
当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，
故选：D．
10. 已知集合，则集合N的真子集个数为（）A．3；B．4
C．7
D．8
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.
参考答案：
考点：1、二元一次不等式组表示的平面区域；2、直线的方程.
12. 已知的面积为，则的周长等于
参考答案：
，即。

又由余弦定理可知
，即，所以，即
，解得，即。

所以的周长等于。

13. 已知，若恒成立，则实数
的取值范围是．
参考答案：
.
试题分析：因为，所以由基本不等式知，，当且仅当
即
等号成立.问题恒成立转化为
，即
，由一元二次不等式解法知，.
考点：一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.
14. 函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．
参考答案：
π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，
∴函数的最小正周期为=π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．
15. 设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式
恒成立，则实数的取值范围是 .
参考答案：
16. 设A、B、I均为非空集合，且满足，有以下几个式子：
则上述各式中正确的有 ． 参考答案： ①③④ 17. 设
，定义P ※Q ＝
，则P ※Q 中元素
的个数为 . 参考答案： 12
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知数列满足
=0且
是
的等差中项，
是数
列的前项和.
(1)求的通项公式；
（2）若
，，求使成立的
正整数n 的最小值． 参考答案：
解：（Ⅰ）∵a n+1-2a n =0，即a n+1=2a n ， ∴数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项，
∴a 2+a 4=2a 3+4，则2a 1+8a 1=8a 1+4，即a 1=2，
∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及b n =-a n log 2a n 得，b n =-n?2n ， ∵S n =b 1+b 2+…+b n ，
∴S n =-2-2?22-3?23-4?24-n?2n ①
∴2S n =-22-2?23-3?24-4?25-（n-1）?2n -n?2n+1②
②-①得，S n =2+22+23+24+25++2n -n?2n+1 ………………………………8分 =-n?2n+1=(1-n)?2n+1-2 ………………………………10分 要使S n +n?2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n ＞5
∴使S n +n?2n+1＞50成立的正整数n 的最小值为5．………………………………12分
19. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以x （单位：t ，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
参考答案：
（Ⅰ）将T 表示为x 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．
（Ⅲ）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值×该区间的频率之和即得． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得，当x∈的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
（Ⅲ）依题意可得T的分布列如图，
T 45000 53000 61000 65000
p 0.1 0.2 0.3 0.4
所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．
点评：本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．
20. 已知函数。

（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当时，试比较与的大小。

参考答案：
(Ⅰ) 由原式，················ 1分令，可得在上递减，
在上递增，所以
即
···············3分
（Ⅱ）
，，
时，函数在单调递增···············5分
，
，
，
，必有极值，在定义域上不单调··············8分
················9分
（Ⅲ）由(I)知在(0,1)上单调递减
∴时，即················ 10分
而时，
··············· 12分
略
21. 已知数列的前项和为.
(I)求证：数列为等差数列；(II)令，求数列的前n项和．
参考答案：
⑴由得……………………………3分
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列…………………………4分
⑵由⑴可知所以…………………………………5分
当时，
又也符合上式，所以………………………………………6分
所以………………………………………………7分所以
所以…………………………12分
22. 已知函数（其中，为常数，为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设曲线在处的切线为，当时，求直线在轴上截距的取值范围. 参考答案：
（1），
当时，恒成立，函数的递增区间是；
当时，或.
函数的递增区间是，，递减区间是；
（2），，
所以直线的方程为：.
令得到：截距，记，
，记
（∵），所以递减，
∴，∴，即在区间上单调递减，∴，即截距的取值范围是：。