2010届高三数学教师命题大赛试题34

2010届高三数学教师命题大赛试题（34）
数学理
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分150分，答题时间为120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么P(A B)P(A)P(B)=
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的．
1．若集合}1|{2<=x x M ，}1|{x
x
y x N -=
=，则N M = A ．M B ．N C ．φ D ．}10|{}01|{<<<<-x x x x
2．在复平面内，复数1＋i
2009
(1－i)2
对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩
，则)34()34(-+f f 的值等于
A ．2-
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；
③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，
其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列n
b
{a }前10项的和等于
A.55
B.70
C.85
D.100
6．定义行列式运算12
34
a a
a a
=1423
a a a a
-.
将函数
sin
()
cos
x
f x
x
=的图象向左平移n （0
n>）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为
A．
6
p
B．
3
p
C．
5
6
p D．2
3
p
7．定义在R上的函数()
f x的图象关于点
3
(,0)
4
-成中心对称，对任意的实数x都有
3
()()
2
f x f x
=-+，且(1)1,
f-=(0)2
f=-，则(1)(2)(3)(2008)
f f f f
+++鬃?的值为A．-2 B．-1 C．0 D．1
8．对任意正整数n，定义n的双阶乘!!
n如下：
当n为偶数时，!!(2)(4)642
=--
n n n n
当n为奇数时，!!(2)(4)531
=--
n n n n`
现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!
=，②2006!!21003!
=，
③2006!!个位数为0，④2007!!个位数为5
其中正确的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分，满
分30分.
9．若抛物线22
y px
=的焦点与双曲线
22
1
63
x y
-=的右焦点重合，则p的值为．
10．设a＝
(sin cos)
x x dx
π
+
⎰
，则二项式6
(-展开式中含2x项的系数是
11．在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，
则
2
2
2
1
1
1
1
CB
CA
h
+
=；类比此性质，如图，在四
面体P—ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底
面ABC上的高为h，则得到的正确结论为
；
12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名
未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设
H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22
⨯列联表计算得2 3.918
K≈，经查对临界值表知2
( 3.841)0.05
P K≥≈．对此，四名同学做出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒
r：这种血清预防感冒的有效率为95%
s：这种血清预防感冒的有效率为5%
则下列结论中，正确结论的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）
（1）p∧﹁q；（2）﹁p∧q ；
(3)（﹁p∧﹁q）∧（r∨s）；（4）(p∨﹁r)∧(﹁q∨s)
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.
13．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为2cos
ρθ
=，则该圆的圆心到直线
sin2cos1
ρθρθ
+=的距离是 .
14．（不等式选讲选做题）已知g(x)=|x-1|-|x-2|,则g(x)的值域为；
若关于x的不等式2
()1()
g x a a x R
≥++∈的解集为空集，则实数a的取值范围
是．
15．（几何证明选讲选做题）如图：PA与圆O相切于A，
PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=0
30，
PA=PC=1，则圆O的半径等于．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =7，
且.
2
7
2
cos
2
sin
42=
-
+
C
B
A
(1) 求角C的大小；（2）求△ABC的面积.
17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：
23
123456
f(x)=x,f(x)=x,f(x)=x,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2.
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的
概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片
则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望.
B
A
P
F
E D
C
B
A G
F
D
E
C
B
A
18．(本小题满分14分) 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2
π
，AB=BC=2AD=4，
E 、
F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，
G 是BC 的中点。

沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) .
(1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ；
(2) 若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值.
19．(本小题满分14分) 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =
2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λ．（1）求椭圆方程； （2）若OA ＋OB ＝ 4OP λ，求m 的取值范围．
20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =
--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=
+n
n n
S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1
23
n T n >-．
21．(本小题满分14分) 已知函数2
1f(x)=lnx,g(x)=
ax +bx (a 0).2
≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围；
（II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)ϕϕ的最小值；
（III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D B C
C
D
C
1、解析： B ．本题考查了定义域及交集运算 M ={|x -1＜x ＜1}, N={|x 0≤x ＜1} 2． 解析：B ．本题考查了复数的概念及运算 原式= 1122
i -
+ 3．解析：D ．本题考查了函数概念及分段函数
414125()()()1()2323332
f f f f =-=-+=+=； 4．解析：B ．本题考查了直线和平面的基本位置关系．
②，④正确；①，③错误
5．解析：C．本题考查了等差数列的通项及前n项和计算．
11
111
11
1,1
1(1)1
2523
n
n n
b n
a a n
b b n
a a
b a b n
a b n n n
=+-=+-
=+-=++--
=++-=+-=+
因此，数列{}
n b
a也是等差数列，并且前10项和等于：10(413)85
2
+
=
6．解析：C．本题考查了信息的处理、迁移和应用能力以及三角函数的基础知识．
()
f x=2cos(x+
6
π
) 左移n 2cos(x+n+
6
π
) , 因此，n=
5
6
p
7．解析：D．本题考查了函数的对称性和周期性．
由
3
()()
2
f x f x
=-+，得(3)()
f x f x
+=，因此，()
f x是周期函数，并且周期是３
函数()
f x的图象关于点
3
(,0)
4
-成中心对称, 因此，()
f x=-
3
()
2
f x
--，所以，(1)1
f=
(1)(2)(3)0
f f f
++=，(1)(2)(3)(2008)
f f f f
+++鬃?＝(1)
f
8．解析：C．本题考查了信息处理和应用能力．
因为2007!!200720052003531
=
2006!!200620042002108642
=
所以，有
2007!!(200720052003531)(200620042002642)2007!
==因此，①，③，④正确；②错误
第二部分非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分，满
分30分.
9．解析：６．本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识．
双曲线
22
1
63
x y
-=的右焦点F（3,0）是抛物线22
y px
=的焦点，所以，3
2
P
=，p=6 10．解析：－192．本题考查了简单定积分的计算以及求二项式展开式的指定项的基本方法．
a＝
(sin cos)
x x dx
π
+
⎰=2 , T1r+=(-1)r6r C(6r-r=(-1) 6r C26r-x3r-
令３－r=2,得r=1 ,因此，展开式中含2x项的系数是－192．
11．解析：
2
2
2
2
1
1
1
1
PC
PB
PA
h
+
+
=．本题考查了合情推理的能力．
D O
连接CO 且延长交AB 于点D ，连PD ，
由已知PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，DC ·h ＝PD ·PC ，
h PD
PC =，22
22222
1PD PC 11 D h PD PC PC P =＋所以＝＋ 容易知道 AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD ，
在直角三角形APB 中，AB ·PD ＝PA ·PB
PD PA PB =，
2222222
1PA PB 11
PD PA PB PA PB =＋＝＋，故2
2221111PC PB PA h ++=。

（也可以由等体积法得到）
12．解析：（1）（4）．本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得2 3.918K ≈，2( 3.841)0.05P K ≥≈，所以，只有第一位同学的判断正确，即：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知（1）（4）为真命题．
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.（其中14题第一空3分，第二空2分） 13
．解析：
直线sin 2cos 1ρθρθ+= 化为直角坐标方程是2x+y-1=0; 圆2cos ρθ=的圆心（１，０） 到直线2x+y-1=0
14． 解析： [－１，１] ； ),0()1,(+∞--∞ ．本题考查绝对值的意义，含参绝对值不等式的解法．
当x ≤1时，g(x)=|x-1|-|x-2|=-1
当１＜x ≤２时，g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<()g x ≤1 当x ＞２时，g(x)=|x-1|-|x-2|=1 综合以上，知-1≤g(x) ≤1。

（此结果也可以由绝对值的几何意义直接得出）
2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜21a a ++ 所以(,1)(0,)a ∈-∞-⋃+∞ .
15．解析：7．本题考查了圆和切线的基本知识．
由圆的性质PA 2
=PC ·PB ，得，PB=12，连接OA 并反向延长 交圆于点E ，在直角三角形APD 中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J 记圆的半径为R,由于ED ·DA=CD ·DB
因此，(２R －２) ·2=3·8,解得R=7
三、解答题：
16．（本小题满分12分） (1) 解：∵A+B+C=180°
A
B
P
由27
2cos 2cos 4272cos 2sin 422
=-=-+C C C B A 得 …………1分 ∴2
7
)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ………………3分
整理，得01cos 4cos 42
=+-C C …………4分
解 得：2
1
cos =
C ……5分 ∵︒<<︒1800C ∴C=60° ………………6分
（2）解：由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab …………7分
∴ab b a 3)(72-+= ………………8分 由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分 ab=6……10分 ∴2
3
323621sin 21=
⨯⨯==
∆C ab S ABC …………12分 17．（本小题满分12分）
解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知
.5
1
)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4.
111
333
111
665C C C 13P(1),P(2)C 2C C 10
ξ===ξ===， 1111111333322111111116546543
C C C C C C C 31P(3),P(4)C C C 20C C C C 20ξ===ξ===； …………8分 故ξ的分布列为
……………………………………………………………10分
.47
201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
答：ξ的数学期望为.4
7
………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分） 解:（1）（法一）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z 。

…………………………………………… 1分 则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0，0）…………2分
BD =（－2，2，2），EG =（2，2，0）…………………………………………………3分
BD EG ⋅=（－2，2，2）
·（2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥ ……………………………4分 （法二）作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，……………1分 由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH 。

又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ，
BH ⋂DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，………………… 3分 而BD ⊂平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。

………………… 4分
（或者直接利用三垂线定理得出结果） （2）∵AD ∥面BFC ，
所以 ()f x =V A-BFC ＝1
3
BFC s AE ＝13·12·4·(4-x)·x
2288
(2)333
x =--+≤………………………………………………………………………7分
即2x =时()f x 有最大值为8
3。

…………………………………………………………8分
（3）（法一）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2）， F （0，3，0）,∴(2,3,0),BF =-BD =（－2，2，2）, ………………………………9分 则 1100
n BD n BF ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，
即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=⎧⎨
-=⎩，2220
230
x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩
取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n =
面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n = ……………………………12分
F
E D
C
B A
y
G
F
D
E
C
B
A
H
H _E
M
F
D B
A
C
G
则cos<12,n n >=
121214
14
||||n n n n
=
…………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－
14
…………………14分
（法二）作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM 。

由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角。

…………………9分 由△
HMF ∽△EBF
，知
HM HF ＝BE BF ，而HF=1，BE=2
，BF ，∴HM 2。

又DH ＝2，
∴在Rt △HMD 中，tan ∠
DMH=-
DH
HM
因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH
………………………………13分 而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角， 故二面角D-BF-C 的余弦值为－
14
………………………………14分 19．（本小题满分14分）
解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，c a ＝2
2
，
∴a ＝1，b ＝c ＝
2
2
， 故C 的方程为：y 2
＋x 2
12＝1 ………………………………………4分
（2）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ，
∴λ＋1＝4，λ＝3 ………………………………………………6分 设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m
2x 2＋y 2
＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*）
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
………………………………………………9分
∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2
x 1x 2＝－3x 2
2
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2
＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1
k 2＋2
＝0
整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 ………………………………………………11分 m 2
＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2
＝2－2m 24m 2－1
，
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2
＝2－2m 24m 2－1
>0，∴－1<m <－12 或 1
2<m <1
容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立
即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1
2
，1） ………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
11(1),1
－=
-a
S a a ∴1,=a a 当2n ≥时，11,11
n n n n n a a
a S S a a a a --=-=---
1
n
n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=⋅=； ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)
(31)211(1)
n n n n n
a
a a a a a
b a a a ⋅
----=
+=-，若{}n b 为等比数列， 则有2
213,b b b =而21232
32322
3,,,a a a b b b a a +++=== 故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得1
3a =， ………………………………7分 再将1
3a =代入得3n n b =成立，
所以1
3
a =． ………………………………………………………………8分
（III ）证明：由（Ⅱ）知1()3n
n a =，所以11
111331131311()1()33
n n n n n n n c +++=+=++-+- 111311311111131313131
n n n n n n ++++--+=+=-+++-+- 111
2()3131+=--+-n n ， ………………………………………………… 9分
由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133
n n n n ++-<-+- 所以111311
2()2()313133
＋++=-->---n n n n n c ， …………………… 12分
从而122231111111
[2()][2()][2()]333333
n n n n T c c c +=+++>--+--+--
2231111111
2[()()()]333333n n n +=--+-++-
1111
2()2333
n n n +=-->-．
即1
23
n T n >-． …………………………14分
21．解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=
()h x 在（0,+∞）上是增函数，
1
()20h
x x b x
'∴=
+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，
…………2分
1
2.1
0,则
2b x x
x x x
∴≤
+>+≥
(]
.22,∞-∴的取值范围为b
…………4分
（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为
,
]2,1[222,12
.
4)2(2
2上为增函数在函数时即当y ，b b
b b t y ≤≤-≤-∴-+= 当t=1时，y m I n =b+1；
…………6分
,
]2,1[4,22
;
42,24,2212
min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b
b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2时，y m I n =4+2b
…………8分
.
4
)(,24.1)(,222,2
b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ
当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +
…………9分
（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且
则点M 、N 的横坐标为.2
2
1x x x +=
C 1在点M 处的切线斜率为.2|12
12121x x x k x x x +==
+= C 2在点N 处的切线斜率为.2
)
(|
212
221b x x a b ax k x x x ++=+=+=
…………10分
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =
,ln
ln ln )2()2()
(2
)()(2.
2
)(2
1
2
121212122212212221122121x x x x y y bx x a
bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即
……………11分
2
2211
2
112
1
x 2(
1)
x 2(x x )x ln .x x x x 1x --∴==++
设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=
u u
u u x x u 则 ……………… ① …………12分 [).1
)
1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)
1()1()1(41)(.1,1)
1(2ln )(2
2
2+->
=>+∞>'∴>+-=+-='>+--
=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 这与①矛盾，假设不成立。

故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. …………14分。