江苏省无锡市八年级上第二次月考模拟数学试题

江苏省无锡市八年级上第二次月考模拟数学试题
一、选择题
1．如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1∠的度数为（ ）
A ．82°
B ．78°
C ．68°
D ．62°
2．若分式12
x
x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1 B ．2- C ．1- D ．2 3．下列无理数中，在﹣1与2之间的是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣2
C ．2
D ．5 4．一次函数y ＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，点B 恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于( )
A ．25°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
6．如图，动点P 从点A 出发，按顺时针方向绕半圆O 匀速运动到点B ，再以相同的速度沿直径BA 回到点A 停止，线段OP 的长度d 与运动时间t 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在平面直角坐标系中，点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()3,2
B ．()2,3-
C ．()3,2-
D ．()3,2--
8．在平面直角坐标系中，把直线23y x =-沿y 轴向上平移2个单位后，所得直线的函数表达式为（ ） A ．22y x =+ B ．25y x =- C ．21y x =+ D ．21y x =- 9．人的眼睛可以看见的红光的波长约为5810cm -⨯，近似数5810-⨯精确到（ ） A ．0.001cm B ．0.0001cm
C ．0.00001cm
D ．0.000001cm
10．下列各组数是勾股数的是( )
A ．6，7，8
B ．1，3，2
C ．5，4，3
D ．0.3，0.4，0.5
二、填空题
11．若点(1,35)P m m +-在x 轴上，则m 的值为________. 12．点A (3，－2)关于x 轴对称的点的坐标是________．
13．若x +2y ＝2xy ，则21
+x y
的值为_____．
14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是___．
15．如图①的长方形ABCD 中， E 在AD 上，沿BE 将A 点往右折成如图②所示，再作AF ⊥CD 于点F ，如图③所示，若AB ＝2，BC ＝3，∠BEA ＝60°，则图③中AF 的长度为_______．
16．在平面直角坐标系中，(2,3)A -、(4,4)B ，点P 是x 轴上一点，且PA PB =，则点
P 的坐标是__________．
17．如图，已知直线y ＝ax ﹣b ，则关于x 的方程ax ﹣1＝b 的解x ＝_____．
18．在平面直角坐标系内，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组11
22y k x b y k x b -=⎧⎨
-=⎩
的解是________
．
19．小明体重约为62.36千克，如果精确到0.1千克，其结果为____千克．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,4、()3,4，若直线y kx =与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为
__________．
三、解答题
21．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=
︒.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）： ①作B 的平分线BD 交边AC 于点D ; ②过点D 作DE AB ⊥于点E ；
（2）在（1）所画图中，若3CD =，8AC =，则AB 长为________________.
22．已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠H.求证：BC=DH.
23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，动点M从点A出发沿A-C-B向点B匀速运动，动点N从点B出发沿B-C-A向点A运动.设MC的长为y1(cm)，NC的长为y2(cm)，点M的运动时间为x(s)；y1、y2与x的函数图像如图2所示.
（1）线段AC= cm，点M运动 s后点N开始运动；
（2）求点P的坐标，并写出它的实际意义；
（3）当∠CMN=45°时，求x的值.
24．先化简，再求值
22
3
33
x x
x
x x
⎛⎫
-+÷
⎪
++
⎝⎭
，其中2
x=-
25．如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：AB=AC．
四、压轴题
26．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；
（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF
27．（1）问题发现．
如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．
①求证：ADC BEC ∆∆≌． ②求AEB ∠的度数．
③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．
如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．
①请判断AEB ∠的度数为____________．
②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）
28．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．
（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，
(2,4)M -．
①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”； ②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．
①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值； ②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．
29．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .
（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；
（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下
方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；
（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，
NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.
30．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y ＝5
3
x 相交于点B ，与x 轴相
交于点C ，其中点B 的横坐标为3．
（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；
（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于27
2
？请求出点Q 的坐标；
（3）在y 轴上是否存在点P 使△PAB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
直接利用全等三角形的性质得出∠1＝∠2进而得出答案． 【详解】
∵如图是两个全等三角形，
∴∠1＝∠2＝180°−40°−62°＝78°． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
根据题意得，1-x=0且x+2≠0，
解得x=1且x≠-2，
所以x=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．C
解析：C
【解析】
试题分析：A31，故错误；B2＜﹣1，故错误；C．﹣12<2，故正确；
52，故错误；故选C．
【考点】估算无理数的大小．
4．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵k=-2＜0，
∴一次函数经过二四象限；
∵b=3＞0，
∴一次函数又经过第一象限，
∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限，
故选C．
5．B
【解析】 【分析】
先根据图形折叠的性质得出BC=CE ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE ，进而可判断出△BEC 是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论． 【详解】
解：∵△ABC 沿CD 折叠B 与E 重合， ∴BC=CE ，
∵E 为AB 中点，△ABC 是直角三角形， ∴CE=BE=AE ，
∴△BEC 是等边三角形． ∴∠B=60°， ∴∠A=30°， 故选B ． 【点睛】
本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠前后的对应边相等，对应角相等.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据P 点半圆O 、线段OB 、线段OA 这三段运动的情况分析即可． 【详解】
解：①当P 点半圆O 匀速运动时，OP 长度始终等于半径不变，对应的函数图象是平行于横轴的一段线段，排除A 答案；
②当P 点在OB 段运动时，OP 长度越来越小，当P 点与O 点重合时OP ＝0，排除C 答案； ③当P 点在OA 段运动时，OP 长度越来越大，B 答案符合． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，熟练掌握是解题的关键．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】
解：点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标为()3,2--． 故选：D ．
本题考查坐标与图形变化——轴对称.熟记①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.是解决此题的关键.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平移法则“上加下减”可得出平移后的解析式． 【详解】
解：直线23y x =-沿y 轴向上平移2个单位后的解析式为：y=2x-3+2，即y=2x-1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查一次函数图象平移问题，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解决此题的关键．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
把数还原后，再看首数8的最后一位数字8所在的位数是十万分位，即精确到十万分位． 【详解】
∵5810-⨯=0.00008，
∴近似数5810-⨯是精确到十万分位，即0.00001． 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了科学记数法与有效数字，正确还原数据是解题关键．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可． 【详解】
解：A 、222768+≠，故此选项错误；
B
C 、222345+=，故此选项正确；
D 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条
较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据x 轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
【详解】
∵点在x 轴上，
∴3m −5＝0，
解得m ＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的纵坐标为0是解题的关 解析：53
【解析】
【分析】
根据x 轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
【详解】
∵点(1,35)P m m +-在x 轴上，
∴3m−5＝0，
解得m ＝53
． 故答案为：
53． 【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
12．（3，2）
【解析】
试题分析：点A （3，﹣2）关于x 轴对称的点的坐标是（3，2）．故答案为（3，2）．
考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
解析：（3，2）
【解析】
试题分析：点A （3，﹣2）关于x 轴对称的点的坐标是（3，2）．故答案为（3，2）． 考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
13．【解析】
【分析】
原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x+2y＝2xy，
∴原式＝＝2，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟
解析：【解析】
【分析】
原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x+2y＝2xy，
∴原式＝
22
x y xy
xy xy
+
=＝2，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D 的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面
解析：10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E 的面积S 3=S 1+S 2=2+5+1+2=10．
15．3－
【解析】
【分析】
作AH ⊥BC 于H ．证明四边形AFCH 是矩形，得出AF=CH ，在Rt △ABH 中，求得∠ABH=30°，则根据勾股定理可求出BH=，可求出HC 的长度即为AF 的长度.
【详解】
解析：3－3
【解析】
【分析】
作AH ⊥BC 于H ．证明四边形AFCH 是矩形，得出AF=CH ，在Rt △ABH 中，求得
∠ABH=30°，则根据勾股定理可求出BH=3，可求出HC 的长度即为AF 的长度. 【详解】
解：如下图，作AH ⊥BC 于H ．则∠AHC=90°，
∵四边形形ABCD 为长方形，
∴∠B=∠C=∠EAB=90°，
∵AF ⊥CD ，
∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCH 是矩形，,AF CH =
∵∠BEA ＝60°，
∴∠EAB=30°，
∴根据折叠的性质可知∠AEH=90°-2∠EAB=30°，
∵在Rt△ABH 中， AB=2,
∴112
AH AB ==, 根据勾股定理2222213BH AB AH -=-=∵BC=3, ∴33AF HC BC BH ==-=-
故填：33
【点睛】
本题考查矩形的性质和判定，折叠变化，勾股定理，含30°角的直角三角形.能作辅助线构
造直角三角形是解决此题的关键.
16．（，0）
【解析】
【分析】
画图，设点的坐标是（x,0），因为PA=OB，根据勾股定理可得：AC2+PC2=BD2+ PD2.
【详解】
已知如图所示；设点的坐标是（x,0），因为PA=OB
根据勾
解析：（19
12
，0）
【解析】
【分析】
画图，设点P的坐标是（x,0），因为PA=OB，根据勾股定理可得：AC2+PC2=BD2+PD2.【详解】
已知如图所示；设点P的坐标是（x,0），因为PA=OB
根据勾股定理可得：AC2+PC2=BD2+PD2
所以32+（x+2）2=42+(4-x)2
解得
19
12 x
所以点P的坐标是（19
12
，0）
故答案为：（19
12
，0）
【点睛】
考核知识点：勾股定理.数形结合，根据勾股定理建立方程是关键. 17．4
【解析】
【分析】
观察图形可直接得出答案.
【详解】
解：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，
即ax ﹣b ＝1时，x ＝4．
故方程ax ﹣1＝b 的解是x ＝4．
故答案为4．
【点睛】
此题考查一次函
解析：4
【解析】
【分析】
观察图形可直接得出答案.
【详解】
解：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，
即ax ﹣b ＝1时，x ＝4．
故方程ax ﹣1＝b 的解是x ＝4．
故答案为4．
【点睛】
此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想．
18．．
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k1x+b1与y ＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组的解是．
解析：21x y =⎧⎨=⎩
． 【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩
． 故答案为21x y =⎧⎨=⎩
．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
19．4．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】
62.36千克精确到0.1千克为62.4千克．
故答案为：62.4．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的
解析：4．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】
62.36千克精确到0.1千克为62.4千克．
故答案为：62.4．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
20．【解析】
【分析】
由直线与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵点A、B
解析：4
4 3
k
≤≤
【解析】
【分析】
由直线y kx
=与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】
解：∵点A 、B 的坐标分别为()1,4、()3,4，
∴令y=4时，
解得：4x k
= ， ∵直线y=kx 与线段AB 有公共点，
∴1≤4k
≤3， 解得：443
k ≤≤． 故答案为：
443k ≤≤． 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k 的一元一次不等式是解题的关键．
三、解答题
21．（1）①详见解析；②详见解析；（2）10.
【解析】
【分析】
（1）①按角的平分线的作法步骤作图即可；
②按垂线的作法步骤作图即可；
（2）根据角平分线的性质得到DE =CD ．在△AED 中利用勾股定理得到AE 的长．设AB =x ，则BE =AB -AE =x -4．证明Rt △BDC ≌Rt △BDE ，得到BC =DE =x -4．在Rt △ABC 中，利用勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
（1）①如图，BD 就是所要求作的图形．
②如图，DE 就是所要求作的图形．
（2）∵∠C =90°，DE ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，
∴DE =CD =3．
∵AC =8，
∴AD =AC -DC =8-3=5，
∴AE 222253AD DE -=-．
设AB =x ，则BE =AB -AE =x -4．
在Rt △BDC 和Rt △BDE 中，∵BD =BD ，DC =DE ，
∴Rt △BDC ≌Rt △BDE ，
∴BC =DE =x -4．
在Rt △ACB 中，∵222AC BC AB +=，
∴2228(4)x x +-=，解得：x =10．
∴AB =10．
【点睛】
本题考查了基本作图和角平分线的性质以及勾股定理．掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
22．证明见解析.
【解析】
【分析】
利用AAS 证明△ABC ≌△EDH ，再根据全等三角形的性质即可得.
【详解】
∵AD=BE ，
∴AD-BD=BE-BD ，
即AB=DE.
∵AC ∥EH ，
∴∠A=∠E ，
在△ABC 和△EDH 中
C H A E AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EDH(AAS)，
∴BC=DH.
【点睛】
本题考查了全等三角形的送定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
23．（1）10，1；（2）P 为（
103
，0）；点P 的实际意义为：点M 运动到点C ，MC=0；（3）当∠CMN=45°时，x 的值为2或4.
【解析】
【分析】 （1）由函数图像可知，AC=10，点M 运动1秒后，点N 开始运动；
（2）由点M 为匀速运动，则先计算点M 的速度，然后求出点M 运动到点C 时的时间，即求出点P 的坐标；
（3）先求出点N 在BC 上的运动速度和在AC 上的运动速度，结合∠CMN=45°，则CM=CN ，可分为两种情况进行分析：①点M 在AC 上，点N 在BC 上；②点M 在BC 上，
点N 在AC 上；分别列式求解即可.
【详解】
解：（1）根据函数的图像可知，
当点M 与点A 重合时，AC=MC=10cm ，
当点N 与点B 重合时，BC=NC=8cm ，
由图可知，点M 运动1秒后，点N 开始运动，
故答案为：10，1；
（2）由题意，点M 为匀速运动，则
点M 的速度为：
1083/6
cm s +=， ∴当点M 运动到点C 时，MC=0，则
点P 的横坐标为：103
， ∴点P 的坐标为：（103，0）； 点P 的实际意义为：点M 运动到点C ，MC=0；
（3）由图可知，点N 在BC 上运动的速度为：
84/31cm s =-， 点N 在AC 上运动的速度为：
102/83
cm s =-； ∵∠CMN=45°，
∴△CMN 是等腰直角三角形，即MC=NC ，
①如图，当点M 在AC 上，点N 在BC 上时，有
设x 秒后，∠CMN=45°，
∴103MC x =-，84(1)NC x =--，
∴10384(1)x x -=--，
解得：2x =；
②如图，当点M 在BC 上，点N 在AC 上时，有
点N 到达点C 所用的时间为3x =，
设x 秒后，∠CMN=45°，
∴310MC x =-，2(3)NC x =-，
∴3102(3)x x -=-，
解得：4x =；
综合上述，当∠CMN=45°时，x 的值为2或4.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，从函数图像获取信息，解一元一次方程，线段动点问题，解题的关键是弄清函数图像，根据函数图像找到关键点，从而进行计算，注意运用分类讨论的思想进行解题.
24．
29x ，92
【解析】
【分析】 原式括号内两项通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值.
【详解】
22
333x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭
， 22(3)(3)333x x x x x x x
⎛⎫-++=-⋅ ⎪++⎝⎭ 2933x x x +=
⋅+ 2
9x =
当x =2992x =
= 【点睛】
此题考查了分式的化简和求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
25．证明见解析.
【解析】
【分析】
欲证明AB =AC ，只要证明∠ABC =∠ACB 即可，根据“HL ”证明Rt △BDE ≌Rt △CDF ，由全等三角形的性质可证∠EBD =∠FCD ，再由等腰三角形的性质∠DBC =∠DCB ，从而可证∠ABC =∠ACB .
【详解】
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
四、压轴题
26．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；
（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出
∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°
在△ACD与△CBE中，
AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴CD=BE，即CD和BE始终相等；
（2）证明：根据题意得：CE=AD，
∵AB=AC，
∴AE=BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠EAB=∠DBC，
在△BCD和△ABE中，
BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE
∴△BCD ≌△ABE （SAS ），
∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：
如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，
∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，
∴△ADG 为等边三角形，
∴AD=DG=CE ，
在△DGF 和△ECF 中，
∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC
∴△DGF ≌△EDF （AAS ），
∴DF=EF.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
27．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+
【解析】
【分析】
（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；
（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．
【详解】
解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ACD ECB ∠=∠，
∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．
②∵CDE ∆为等边三角形，
∴60CDE ∠=︒．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，
又∵ADC BEC ∆∆≌，
∴120ADC BEC ∠=∠=︒，
∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．
③AD BE =
ADC BEC ∆∆≌，
∴AD BE =．
故填：AD BE =；
（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，
∴ACD ECB ∠=∠，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴E ACD BC ∆∆≌，
∴
ADC BEC ∠∠=．
∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．
②∵CDA CEB ∆∆≌，
∴BE AD =．
∵CD CE =，CM DE ⊥，
∴DM ME =．
又∵90DCE ∠=︒，
∴2DE CM =，
∴2AE AD DE BE CM =+=+．
故填：①90°；②2AE BE CM =+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．
28．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334
k -≤<-
【解析】
【分析】
（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；
②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；
（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明
△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；
②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．
【详解】
解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，
故答案为点P ；
②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）
（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．
∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k
-在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，
∴∠ABC=90°，BC=BA ，
∴∠1＋∠2=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠2＋∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∴△BFC ≌△AOB ，
∴3FC OB ==，
可得OE ＝3．
∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，
0C x ∴<，
∴点C 的横坐标C x 的值为－3．
②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k
-，A 在x 轴正半轴上， 所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k +
点3(3,3)C k -+，如图2， -1＜C y ≤2，
即：-1＜33k
+ ≤2， 则334k -≤<-
．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．
29．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得
CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；
（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．
【详解】
（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒
9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒
BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
CD ED ∴=
在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩
()BCD BED HL ∴∆≅∆
BC BE ∴=
EBC ∴∆是等边三角形；
（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF
3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=
60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE
∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF
∴∆是等边三角形
,60
MF DM F DMF
∴=∠=∠=︒
60
BMG
∠=︒
DMF DM B M
G
G D
M G
∴∠+∠=+∠
∠，即FMG DMB
∠=∠
在FMG
∆和DMB
∆中，
60
F MDB
MF MD
FMG DMB
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
FMG DMB ASA
∴∆≅∆
GF BD
∴=，即DF DG BD
+=
AD DF DG MD DG
∴=+=+
即AD DG MD
=+；
（3）结论：AD DG ND
=-，证明过程如下：
如图，延长BD使得DH ND
=，连接NH
由（2）可知，60,18060,
ADE HDN ADE BDE AD BD
∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN
∴∆是等边三角形
,60
NH ND H HND
∴=∠=∠=︒
60
BNG
∠=︒
HND BND BND
BNG
∠+∠=+∠
∴∠，即N
HNB D G
∠=∠
在HNB
∆和DNG
∆中，
60
H NDG
NH ND
HNB DNG
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
HNB DNG ASA
∴∆≅∆
HB DG
∴=，即DH BD DG
+=
ND AD DG
∴+=
即AD DG ND
=-．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．
30．（1）点B （3，5），k ＝﹣43
，b ＝9；（2）点Q （0，9）或（6，1）；（3）存在，点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478） 【解析】
【分析】
（1）53
y x =
相交于点B ，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=，即可求解； （3）分AB AP =、AB BP =、AP BP =三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）53
y x =相交于点B ，则点(3,5)B ， 将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：43k =-
，9b =； （2）设点4(,9)3
Q m m -+， 则OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：0m =或6，
故点Q （0，9）或（6，1）；
（3）设点(0,)P m ，而点A 、B 的坐标分别为：(0,9)、(3,5)，
则225AB =，22(9)AP m =-，229(5)BP m =+-，
当AB AP =时，225(9)m =-，解得：14m
或4； 当AB BP =时，同理可得：9m =（舍去）或1-； 当AP BP =时，同理可得：478m =
； 综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，478
）.
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。