2017届数学(理)一轮对点训练：8-4 垂直的判定与性质 含解析

1.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D
解析 由l 1⊥l 2，l 2⊥l 3可知l 1与l 3的位置不确定， 若l 1∥l 3，则结合l 3⊥l 4，得l 1⊥l 4，所以排除选项B 、C ， 若l 1⊥l 3，则结合l 3⊥l 4，知l 1与l 4可能不垂直，所以排除选项A.故选D.
2．如下图，三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π
2.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.
(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A －PD －C 的余弦值．
解 (1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 故PC ⊥DE .
由CE ＝2，CD ＝DE ＝2，得△CDE 为等腰直角三角形，故CD
⊥DE .
由PC ∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD .
(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π
4.如下图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1，又已知EB ＝1，故FB ＝2.
由∠ACB ＝π2得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝2
3， 故AC ＝32DF ＝3
2.
以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CP →
的方向为x 轴，y 轴，z
轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，P (0,0,3)，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，0，0，
E (0,2,0)，D (1,1,0)，ED →＝(1，－1,0)，DP →＝(－1，－1,3)，DA →
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1，0. 设平面P AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1·DP →＝0，n 1·DA →
＝0，
得⎩⎨⎧
－x 1－y 1＋3z 1＝0，1
2x 1－y 1＝0，
故可取n 1＝(2,1,1)．
由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED →
，即n 2＝(1，－1,0)，从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝3
6
，
故所求二面角A －PD －C 的余弦值为36.
3．如图，在四棱锥A －EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝2a ，∠EBC ＝∠FCB ＝60°，O 为EF 的中点．
(1)求证：AO ⊥BE ；
(2)求二面角F －AE －B 的余弦值； (3)若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
解 (1)证明：因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO ⊥EF .
又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO ⊂平面AEF ， 所以AO ⊥平面EFCB .所以AO ⊥BE .
(2)取BC 中点G ，连接OG . 由题设知EFCB 是等腰梯形， 所以OG ⊥EF .
由(1)知AO ⊥平面EFCB ， 又OG ⊂平面EFCB ， 所以OA ⊥OG .
如右图建立空间直角坐标系O －xyz ，
则E (a,0,0)，A (0,0，3a )，B (2，3(2－a )，0)，EA →
＝(－a,0，3a )，
BE →
＝(a －2，3(a －2)，0)．
设平面AEB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·EA →＝0，n ·BE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－ax ＋3az ＝0，(a －2)x ＋3(a －2)y ＝0.
令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1.于是n ＝(3，－1,1)．
平面AEF 的法向量为p ＝(0,1,0)． 所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |
＝－5
5.
由题知二面角F －AE －B 为钝角，所以它的余弦值为－5
5. (3)因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即BE →·OC →
＝0. 因为BE →＝(a －2，3(a －2)，0)，OC →
＝(－2，3(2－a )，0)， 所以BE →·OC →＝－2(a －2)－3(a －2)2. 由BE →·OC →＝0及0<a <2，解得a ＝43.
4．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π
2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.
(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；
(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．
解 (1)证明：在图1中，
因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π
2，所以BE ⊥AC .
即在图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，
又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .
(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，
所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角， 所以∠A 1OC
＝π
2.
如下图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，
因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，
所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →
＝(－2，
0,0)．
设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2
＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·BC →＝0，
n 1·A 1C →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
－x 1＋y 1＝0，
y 1－z 1
＝0， 取n 1＝(1,1,1)；
⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，
y 2－z 2＝0，
取n 2＝(0,1,1)， 从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝
23×2＝6
3，
即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为6
3.
5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .
(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC
BC 的值． 解 (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE . 又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .
而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ，所以PB ⊥DE .
又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .
由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .
(2)如图，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以PB ⊥DG .
又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG . 而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD .
故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， 设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2，
在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPF ＝∠FDB ＝π
3， 则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD
PD ＝1＋λ2＝3，解得λ＝ 2. 所以DC BC ＝1λ＝22.
故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝2
2. 6.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝1，PD ⊥底面ABCD .
(1)证明：P A ⊥BD ；
(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．
解 (1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2，由余弦定理得BD ＝ 3.
从而BD 2＋AD 2＝AB 2， ∴BD ⊥AD .
∵PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BD . 又AD ∩PD ＝D ， 所以BD ⊥平面P AD ， 所以P A ⊥BD .
(2)如图，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 分别为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .
则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)，AB →
＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →
＝(－1,0,0)， 设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n · AB →＝0，n ·PB →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－
x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，
因此，令y ＝1，则n ＝(3，1，3)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
3y 0－z 0＝0，－x 0＝0， 可取m ＝(0,1，3)，
则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝427
＝277，
由图知二面角A －PB －C 为钝角，故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.
7．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .
(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D －AF －E 的余弦值． 解 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，
∴PD ⊥AD ，又CD ⊥AD ，PD ∩CD ＝D ，
∴AD ⊥平面PCD ，∴AD ⊥PC ，
又AF ⊥PC ，AF ∩AD ＝A ，
∴PC ⊥平面ADF ，即CF ⊥平面ADF .
(2)设AB ＝1，则Rt △PDC 中，CD ＝1，
∵∠DPC ＝30°，
∴PC ＝2，PD ＝
3，由(1)知CF ⊥DF ，
∴DF ＝32，
∴CF ＝12，又FE ∥CD ，
∴DE PD ＝CF PC ＝14，∴DE ＝34，同理，EF ＝34，如图所示，以D 为
原点，建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，0，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，34，0，P (3，0,0)，C (0,1,0)．
设m ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥AE →，
m ⊥EF →，又⎩⎪⎨⎪⎧ AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，－1，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AE →＝34x －z ＝
0，m ·EF →＝34y ＝0，
令x ＝4，得z ＝3，故m ＝(4,0，3)，
由(1)知平面ADF 的一个法向量为PC →
＝(－3，1,0)，设二面角D －AF －E 的平面角为θ，可知θ为锐角，
cos θ＝|cos 〈m ，PC →〉|＝|m ·PC →||m |·|PC →|
＝4319×2＝25719，故二面角D －AF －E 的余弦值为25719.
8.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，点S 是AA 1延长线上一点，EF 是平面SBC 与平面A 1B 1C 1的交线．
(1)求证：EF ⊥AC 1；
(2)求直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成角的正弦值． 解 (1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ∥平面A 1B 1C 1， 又平面ABC ∩平面SBC ＝BC ，平面A 1B 1C 1∩平面SBC ＝EF ， ∴EF ∥BC .
∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，
∴BC ⊥平面ACC 1A 1.
又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥AC 1，∴EF ⊥AC 1.
(2)取A 1C 1的中点D 1，连CD 1，∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2， ∴CC 1＝A 1C ＝A 1C 1＝2，∴CD 1⊥A 1C 1.
由(1)知BC ⊥平面ACC 1A 1.
以点C 为原点，CA ，CB 、CD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0
，3)，A (2,0,0)．
∴A 1C →
＝(－1,0，－3)．
设平面A 1ABB 1的法向量为n ，则
n ·AA 1→＝n ·AB →＝0，而AA 1→＝(－1,0，3)，AB →
＝(－2,2,0)， 可求得平面A 1ABB 1的一个法向量为n ＝(3,3，3)，
∴|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|
＝6221＝217.
故直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成角的正弦值为217.。