2020版高考数学二轮复习过关检测二十：直线与圆[含解析]

专题过关检测（二十） 直线与圆
A 级——“12＋4”提速练
1．与直线l ：x －2y ＋1＝0垂直且过点(－1,0)的直线m 在y 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－2 C ．1
D ．－1
解析：选B 直线l ：x －2y ＋1＝0的斜率是1
2，由题意可知所求直线的斜率k ＝－2，故
所求直线方程是y ＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋2＝0，令x ＝0，解得y ＝－2.故选B.
2．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b
2
，可得ab ＝4，又当a ＝1，
b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.
3．圆O 1：x 2
＋y 2
－2x ＝0和圆O 2：x 2
＋y 2
－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切
D ．内切
解析：选B 圆O 1：x 2
＋y 2
－2x ＝0，即(x －1)2
＋y 2
＝1，圆心是O 1(1,0)，半径是r 1＝1， 圆O 2：x 2
＋y 2
－4y ＝0，即x 2
＋(y －2)2
＝4， 圆心是O 2(0,2)，半径是r 2＝2，
因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|<|O 1O 2|<|r 1＋r 2| 所以两圆的位置关系是相交．
4．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )
A.
π6或5π
6
B ．－π3或π
3
C ．－π6或π6
D.
π6
解析：选A 圆(x －2)2
＋(y －3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝
|2k |
k 2
＋1
，因为直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2
＝4截得的弦长为23，所以由勾股定理得r 2
＝d 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2322
，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜
角为π6或5π6
.
5．圆x 2＋y 2
＋4x －2y －1＝0上存在两点关于直线ax －2by ＋1＝0(a >0，b >0)对称，则
1a
＋4
b
的最小值为( )
A ．3＋2 2
B ．9
C ．16
D ．18
解析：选D 由圆的对称性可得， 直线ax －2by ＋1＝0必过圆心(－2,1)， 所以a ＋b ＝1
2
.
所以1a ＋4b
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫5＋b a
＋4a b ≥2(5＋4)＝18，
当且仅当b a ＝
4a
b
，即2a ＝b 时取等号． 6．(2019·重庆七校联合考试)两圆x 2
＋y 2
＋4x －4y ＝0和x 2
＋y 2
＋2x －8＝0相交于两点
M ，N ，则线段MN 的长为( )
A.35
5 B ．4 C.65
5
D.
125
5
解析：选D 两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2
＋y 2
＋2x －8＝0的标准形式为(x ＋1)2
＋y 2
＝9，所以圆x 2
＋y 2
＋2x －8＝0的圆心为(－1,0)，半径为3，圆心(－1,0)到直线MN 的距离d ＝
3
5
，所以线段MN 的长为232
－⎝
⎛⎭
⎪⎫352＝125
5.故选D. 7．(2019·广东七校联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( )
A ．x ＋2y －8＝0
B ．x －2y －8＝0
C ．2x ＋y －16＝0
D ．2x －y －16＝0
解析：选A 如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－1
2
，因为A (8,0)，所以直线AB 的方程为
y －0＝－12
(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.
8．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝r 2
，点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax ＋by －r 2
＝0，那么( )
A ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离
B ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切
C ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相交
D ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相离
解析：选A 由题意可得a 2
＋b 2
<r 2
，OP ⊥l 1. 因为k OP ＝b
a ，所以l 1的斜率k 1＝－a b
. 故直线l 1的方程为y －b ＝－a b
(x －a )， 即ax ＋by －(a 2
＋b 2
)＝0.
又直线l 2的方程为ax ＋by －r 2
＝0，故l 1∥l 2，
圆心到直线l 2的距离为|0＋0－r 2
|a 2＋b 2>r
2
r
＝r ，故圆和直线l 2相离．
9．(2019·石家庄模拟)已知圆C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆C 过点(－1,0)和(2,3)，则圆C 的半径为( )
A ．8
B ．2 2
C ．5
D. 5
解析：选D 设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)，∵圆C 经过点(－1,0)和
(2,3)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
(a ＋1)2
＋b 2
＝r 2
，
(a －2)2＋(b －3)2＝r 2
，∴a ＋b －2＝0 ①，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，
∴|a |＝|b | ②，由①②得a ＝b ＝1，∴圆C 的半径为5，故选D.
10．设直线x －y ＋m ＝0(m ∈R)与圆(x －2)2
＋y 2
＝4交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若线段CD 的长度为7，则m ＝( )
A ．1或3
B ．1或－3
C ．－1或3
D ．－1或－3
解析：选D 联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋m ＝0，(x －2)2＋y 2
＝4，得2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0，得Δ＝－4(m 2
＋4m －
4)．
设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2－m ，x 1x 2＝m 2
2，
所以|CD |＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝－m 2
－4m ＋4＝7，
解得m ＝－3或m ＝－1，此时Δ>0成立．
11．已知圆O ：x 2＋y 2
＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数
a 的取值范围为( )
A ．(－32，32)
B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)
C ．(－22，22)
D ．[－32，3 2 ]
解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝
|－a |12
＋1
2
＝|a |
2
<3，解得a ∈(－32，32)．
12．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：选D 由题意知，圆C 的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S
△PBC
，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝1
2
|PB |，
则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|
k 2＋1
＝12
＋22
＝5，即k 2
＝4，由k >0，解得k ＝2.
13．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2
＋y 2
＝4相切，则m ＝________.
解析：因为圆C ：x 2
＋y 2
＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：
x 2＋y 2＝4相切，所以2＝
31＋m
2
，解得m ＝±
52
. 答案：±
52
14．(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.
解析：由题意得，圆心C (0，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|－m ＋3|
5＝r ，又r ＝|AC |
＝4＋(m ＋1)2，所以|－m ＋3|5
＝4＋(m ＋1)2
，解得m ＝－2，
所以r ＝ 5. 答案：－2
5
15．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________；
动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2
－8＝0截得的最短弦长为________．
解析：因为直线mx －y ＝1与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，所以m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝2.
动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，圆C ：x 2
－2x ＋y 2
－8＝0化为标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝9，圆心(1,0)到直线mx －y －1＝0的距离的最大
值为(0－1)2
＋(－1－0)2
＝2，所以动直线l 被圆C 截得的最短弦长为29－(2)2
＝27.
答案：0或2 27
16．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以
AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→
＝0，则点A 的横坐标为________．
解析：因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ，所以BD 即B 到直线l 的距离，BD ＝|0－2×5|
12＋22
＝2 5.
因为CD ＝AC ＝BC ＝r ，又CD ⊥AB ，所以AB ＝2BC ＝210， 设A (a,2a )，
AB ＝(a －5)2＋4a 2＝210⇒a ＝－1或3(a ＝－1舍去)．
答案：3
B 级——拔高小题提能练
1．在平面直角坐标系xOy 中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0(m ∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )
A ．(x ＋2)2
＋y 2
＝16 B ．(x ＋2)2＋y 2
＝20 C ．(x ＋2)2
＋y 2
＝25
D ．(x ＋2)2
＋y 2
＝36
解析：选C 根据题意，设圆心为P ，则点P 的坐标为(－2，0)．
对于直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0，变形可得m (3x －2y )＋(x ＋y －5)＝0，即直线过定点M (2,3)，
在以点(－2,0)为圆心且与直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0相切的圆中，面积最大的圆的半径r 长为MP ，则r 2
＝MP 2
＝25，则其标准方程为(x ＋2)2
＋y 2
＝25.
2．(2020届高三·广东七校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上，点A 在第一象限，且∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，则( )
A ．OA 的最大值是42，最小值是4
B ．OA 的最大值是8，最小值是4
C ．OA 的最大值是42，最小值是2
D ．OA 的最大值是8，最小值是2
解析：选A 因为∠BAC ＝90°，∠BOC ＝90°，所以O ，B ，A ，C 四点共圆，且在以BC
为直径的圆上．又AB ＝AC ＝4，所以BC ＝4 2.因此当OA 为圆的直径时，OA 取得最大值，为42，如图①所示；当点B (或点C )与原点O 重合时，OA 取得最小值，为4，如图②所示．故选A.
3．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝5，A ，B 为圆O 上的两个动点，且|AB |＝2，M 为弦AB 的中点，
C (22，a )，
D (22，a ＋2)．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，则实数a 的
取值范围为( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－2，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
解析：选B 连接OM ，由题意得|OM |＝5－1＝2，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则N (22，a ＋1)，且|CD |＝2.∵当A ，B 在圆O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以N (22，a ＋1)为圆心，半径为1的圆外离，∴(22)2
＋(a ＋1)2
>3，整理得(a ＋1)2
>1，解得a <－2或a >0.∴实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4
x
(x >0)上的一个动点，
则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．
解析：法一：由题意可设P ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 0，x 0＋4x
(x 0>0)，
则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2x 0＋4x 02
≥
22x 0·4
x 0
2
＝4，当且仅当
2x 0＝4
x 0
，即x 0＝2时取等号．
故所求最小值是4.
法二：设P ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 0，4x 0
＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20
.
令1－4
x 20
＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，
∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4
x
(x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P
到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|
2
＝4.
答案：4
5．(2019·洛阳统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相交于A ，B 两点，
C 为圆周上一点，线段OC 的中点
D 在线段AB 上，且3AD ―→＝5DB ―→
，则r ＝________.
解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|
12＋1
2
＝2， 易知|AE |＝|EB |，
不妨令|AD |＝5m (m >0)，由3AD ―→＝5DB ―→
可得：|BD |＝3m ，|AB |＝8m ， 则|DE |＝4m －3m ＝m ，
在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2
，①
在Rt △OAE 中，有r 2
＝(2)2
＋(4m )2
，② 联立①②，解得：r ＝10. 答案：10
以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”
首先要做到以下两点：
1、先把教材上的知识点、理论看明白。

买本好点的参考书，做些练习。

如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。

做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。

平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）
然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。

（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）
其次，先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。

老师讲过的，自己已经听得明明白白了。

但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。

因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。

能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。

尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。

如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。

而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。

因此，要把自己做过的每道题加以反思。

总结一下自己的收获。

要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。

做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。

初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。

高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。

把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。

每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。

这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。

高中则不大相同。

高中数学考的是学生解决新题的能力。

作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。

因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。

当然，也不要自立门户，另起炉灶。

一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。

小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。

初中生基本也是如此，听话的孩子就能学
习好。

高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。

准备向将来的大学生的学习方法过渡。

合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。

每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。

要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间，注意事项
我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。

但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。