半正定等价条件证明

半正定等价条件证明
半正定矩阵是在相当多的数学问题中起着重要作用的一种矩阵。

在微积分、凸优化、统计学等领域中，都有着广泛的应用。

半正定矩阵具有一些很好的性质，例如特征值全非负、主元子矩阵也是半正定等等。

为了讨论其特性，我们需要先介绍一些概念。

1.矩阵的特征值与特征向量：
设A为n阶矩阵，如果存在非零向量x和其中的数λ，满足Ax=λx，则称λ为A的特征值，x称为A的特征向量。

2.矩阵的转置：
3.矩阵的行列式：
det(A)=Σ(-1)^(1+j)aj1M(j,1)
其中j的取值在1~n之间，M(j,1)表示将A中第j列和第1行划去后所得到的(n-1)阶行列式。

在此基础上，我们可以得到半正定矩阵的定义：
为了方便，我们将半正定矩阵简称为PSD矩阵。

(1)A为半正定矩阵；
(2)A的所有特征值均为非负数；
(3)A的所有主元子式都非负。

下面我们分别证明这三个命题等价。

1. PSD矩阵的特征值均为非负数：
设A是一个PSD矩阵，v是A的一个非零特征向量，其对应的特征值为λ，则有：
vTAv=λvTv≥0
由于v≠0，所以vTv>0，故λ≥0。

即A的特征值为非负数。

设v1,v2,...,vn是A的n个正交单位特征向量，其对应的特征值依次为
λ1,λ2,...,λn。

则有：
对于任意的A的k阶子式，设其为B(k)，则有行列式的展开公式：
其中，b(i,j)为B(k)的元素，B(k-1,s)是用B(k)的第s行和第k列去掉后所得到的子式。

由于A是PSD矩阵，所以对任意的x≠0，都有xTAX≥0，考虑使用数学归纳法证明。

当k=1时，B(1)就是A的一个主元，因为A为PSD矩阵，所以B(1)≥0。

假设k-1阶的所有主元子式均非负，则我们需要证明k阶主元子式也是非负数。

如果B(k)是正定矩阵，则显然B(k)为非负数。

如果B(k)不是正定矩阵，则必定存在
一个非零向量y，使得yTBy<0。

对于任意的向量x，我们可以令其为(y,0,0,...,0)，则有：
xTB(k)x=yTBy<0
由于x为非零向量，B(k)不是半正定矩阵，也就是说必定存在一个n×n的非正子矩阵，因此B(k)的某个个主元子式小于等于0，与假设矛盾，因此得证。

综上所述，PSD矩阵的三个命题等价，证毕。