2017_2018学年高中数学第二章统计2.3变量的相关性2.3.2两个变量的线性相关课时作业新人教B版必修3201710202

第二章 2.3 2.3.2两个变量的线性相关
A级基础巩固
一、选择题
^
1．设一个回归方程为y＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时导学号95064522(A) A．y平均增加1.2个单位
B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位
D．y平均减少3个单位
[解析]由题意可知，变量x每增加一个单位时，y平均增加1.2个单位.
2．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：
第x次考试 1 2 3 4
所减分数y 4.5 4 3 3.5
显然y与x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为导学号95064523(D) ^ ^
A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25
^ ^
C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25
^ 1 [解析]由于随着x的增大，y减小，所以x与y负相关，所以b<0，排除A；由于x＝(1
4
1
＋2＋3＋4)＝2.5，y＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，所以样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入
4
^
其他三个选项，得直线y＝－0.7x＋5.25通过样本点的中心，故选D．
3．某商店对每天进店人数x与某种商品成交量y(单位：件)进行了统计，得到如下对应
数据：
x 10 15 20 25 30 35 40
y 5 6 12 14 20 23 25
^ ^
由表中数据，得线性回归方程为y＝bx－3.25.如果某天进店人数是75，预测这一天该商
品销售的件数为导学号95064524(B)
A．47 B．52
C．55 D．38
10＋15＋20＋25＋30＋35＋40
[解析]x＝＝25，
7
1
5＋6＋12＋14＋20＋23＋25
y＝＝15，
7
^ ^
将(x，y)代入回归方程得15＝25b－3.25，b＝0.73.
∴预测这一天该商品销售的件数大约为0.73×75－3.25＝51.5，故选B．
4．(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是导学号95064525(C)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
[解析]因为变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，其中－0.1<0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C．5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y(万元) 49 26 39 54
^ ^ ^ ^
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额
为导学号95064526(B)
A．63.6万元B．65.5万元
C．67.7万元D．72.0万元
[解析]本题主要考查了回归分析及回归直线方程.
^ ^
依题意：x＝3.5，y＝42，又b＝9.4，∴42＝9.4×3.5＋a.
^ ^ ^
∴a＝9.1，∴y＝9.4x＋9.1，当x＝6时，y＝65.5，故选B．
6．(2017·山东理，5)为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，
从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其
10 10
^ ^ ^ ^
∑∑
回归直线方程为y＝bx＋a.已知x i＝225，y i＝1 600，b＝4.该班某学生的脚长为24，据
i＝1 i＝1
此估计其身高为导学号95064527(C)
A．160 B．163
C．166 D．170
10 10
1
∑∑
[解析]∵x i＝225，∴x＝x i＝22.5.
10
i＝1 i＝1
2
10 10
1
∑∑
∵y i＝1 600，∴y＝y i＝160.
10
i＝1 i＝1
^ ^ ^
又b＝4，∴a＝y－bx＝160－4×22.5＝70.
^
∴回归直线方程为y＝4x＋70.
^
将x＝24代入上式得y＝4×24＋70＝166.
故选C．
二、填空题
^
7．若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为y＝250＋4x，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为__450kg__.导学号95064528
^
[解析]将x＝50代入回归直线方程得y＝250＋4×50＝450，故预计小麦产量为450kg.
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显
^
示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加
__0.254__万元.导学号95064529
[解析]本小题考查内容为回归直线方程与回归系数的意义.由题意知[0.254(x＋1)＋
0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.
三、解答题
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，
得到如下数据：导学号95064530
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
^ ^ ^ ^
(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20.
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，
为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
1
[解析](1)由于x＝(x 1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
6
1
y＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
6
^ ^
所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，
^
从而回归直线方程为y＝－20x＋250.
3
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得是大值，
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.
B级素养提升
一、选择题
1．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：
x 10 20 30 40 50
y 62 ▲75 81 89
^
由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为导学号95064531(C)
A．60 B．62
C．68 D．68.3
[解析]由题意可得x＝30，
代入回归方程得y＝75.
设看不清处的数为a，
则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
2．某同学对一家超市就“气温与热饮杯的销售量”进行调查，根据统计结果，该生运用
^
所学知识得到气温x℃与当天销售量y(个)之间的线性回归方程为：y＝－2.352x＋147.767，当x＝2℃时可卖出热饮杯的杯数约为导学号95064532(D)
A．109 B．128
C．134 D．143
^
[解析]把x＝2℃代入线性回归方程得y＝－2.352×2＋147.767≈143.故选D．
3．某化工厂为了预测产品的销售量y，需要研究它与某原料有效成分含量x之间的相关
8 8
^
∑∑
关系.现取了8对观测值，计算得x i＝48，y i＝144，回归直线方程为y＝a＋2.5x，则当
i＝1 i＝1
x＝10时，y的预测值为导学号95064533(A)
A．28 B．27.6
C．26 D．25
x1＋x2＋…＋x8 48
[解析]x＝＝＝6，
8 8
y1＋y2＋…＋y8 144
y＝＝＝18，
8 8
4
将(x，y)代入回归直线方程得
18＝a＋2.5×6，∴a＝3.
∴y的预测值为3＋2.5×10＝28.
4．下表提供了某场节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为导学号95064534(B)
A．1 B．3
C．5 D．7
3＋4＋5＋6
[解析]x＝＝4.5，
4
∵回归直线y＝0.7x＋0.35过点(x，y)，
∴y＝0.7×4.5＋0.35＝3.5.
2.5＋t＋4＋4.5
∴y＝＝3.5，
4
∴t＝3.
二、填空题
^ 5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是y
＝1.23x＋0.08.导学号95064535
^ ^ ^ －－^ －[解析]设回归直线方程为y＝bx＋a，(x，y)是样本点的中心.依题意，b＝1.23，x＝
－^ －^－^
4，y＝5，所以a＝y－b x＝0.08，所以回归直线的方程是y＝1.23x＋0.08.
6．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与
^
当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y＝－2x＋60.导学号95064536
气温(℃) c 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 d
但后来不小心表中数据c、d丢失，那么由现有数据知2c＋d＝__100__.
－ 1 22＋c － 1 96＋d [解析]由题意得，x＝(c＋13＋10－1)＝，y＝(24＋34＋38＋d)＝，又
4 4 4 4
^ 22＋c 96＋d
线性回归方程为y＝－2x＋60，故－2×＋60＝，解得2c＋d＝100.
4 4
三、解答题
7．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损.按不同转速生产出来的零件有缺
5
损的统计数据如下表所示：导学号95064537
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺损零件数y(个) 11 9 8 5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析]先作出散点图，再根据散点图判断y与x呈线性相关，从而建立回归直线方程求解.
(1)作散点图如图所示.
^
(2)由散点图可知y与x线性相关.故可设回归直线方程为y＝bx＋a.
依题意，用计算器可算得：
4 4
∑∑
x＝12.5，y＝8.25，x2i＝660，x i y i＝438.
i＝1 i＝1
438－4 × 12.5 × 8.25
∴b＝≈0.73，a＝y－bx≈8.25－0.73×12.5＝－0.875.
660－4 × 12.52
^
∴所求回归直线方程为y＝0.73x－0.875.
^
(3)令y＝10，得0.73x－0.875＝10，解得x≈15.
即机器的运转速度应控制在15转/秒内.
C级能力拔高
某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表导学号95064538
年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
6
n
^ ∑
i＝1(t i－\x\to(t))(y i－\x\to(y))
^ ^
b＝，a＝y－bt.
n
∑i＝1(t i－\x\to(t))2
1
[解析](1)由所给数据计算得t＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
7
1
y＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
7
7
∑
(t i－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
i＝1
7
∑
(t i－t)(y i－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5 i＝1
＋2×0.9＋3×1.6＝14，
n
^ ∑
i＝1(t i－\x\to(t))(y i－\x\to(y))
14
b＝＝＝0.5，
n
28
∑i＝1(t i－\x\to(t))2
^ ^
a＝y－bt＝4.3－0.5×4＝2.3，
^
所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.
^
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，
^
平均每年增加0.5千元，将2018年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3 ＝6.8，
故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元.
7。