第二部分第4讲 从审题中寻找解题思路课件

含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和
数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的
过程.不仅如此,还要善于视察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值
的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.
【例4】(202X北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关
B.
3π 5π
,
8 8
D.
3π 5π
,
4 4
)
1
0, 2
上恰有一条对称
答案 C
解析
由题意,x∈
个对称中心,∴

∴

π
+
4
π
+4
π
+
4
≥
π
2
π
,
2
∈
1
0, 2
π
,
4
π
,2ωx+4
π
+4
,π ∈
∈
π
,
4
π
,
4
π
+4
π
+4
,在3π,210, 2∉
上恰有一条对称轴和一
π
,
4
≥ π, 即 π≤ω+π < 3π,即3π ≤ <5π.故选 C.
中,∠APC=120°,
∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC,∴∠PAC=θ.由正弦定理,得

sin∠
=

2
,即
sin∠
sin120°
=
cos
,tan
sin
sin120°
θ= 2
=
3
.
4
(方法二)借助平面几何知识,寻找到线段长度关系.延长BP,过A点作BP延长
线的垂线,垂足为D.记∠PBA=θ,由∠ABC=∠BPC=90°,得∠PCB=θ.
4
2
4
4
<
3π
,
2
π
+4
,
(2)(202X浙江考前模拟,10)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),
|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是(
A.(-∞,4]
B.[-4,6]
C.(-∞,4]∪[6,+∞)
)
D.[6,+∞)
答案 D
解析
|3-4+|
第二部分
第4讲 从审题中寻找解题思路
审题亦即提取有效信息,发掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉
眼”.为考核学生的视察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概
念的表述情势,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的
联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌
-
斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能
力比乙企业强,①正确;
在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲
企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;
积
25 3
S△ABC=
,且
4
A.3
b2+c2-a2=accos C+c2cos A,则 sin B+sin C=(
9 3
B.
2
C. 3
D.3 3
)
答案 C
解析
(方法一)∵b2+c2-a2=accos C+c2cos A,
∴cos
cos+2 cos
A=
2
∴cos
sincos+cossin
联立①②解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)≤0,
所以当x=0时,f(x)的最大值是0.
2
2
-( + 2) .
(方法三)因为f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,
则满足f(x-1)=f(-1-x).
运用特殊值法.
取x=1,x=2,代入上式,
(0)= (-2), 4-2 + = 0,
握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热
衷于题型的总结与解题方法和技能的训练,把数学学习等同于解题训练,一
味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题
失误或陷入误区.
审题与解题的关系
审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全
|3-4-9|
依题意|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=
+
,
5
5
表示P(x,y)到两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和,由距离之和
与圆上任意一点的坐标x,y无关,故两条平行直线在圆的两侧,又直线
3x-4y-9=0在圆的下方,所以直线3x-4y+a=0应该在圆的上方,故圆心(1,1)到
解析 (方法一)∵f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有重
根0,所以x2+ax+b=0有重根-2,∴f(x)=-x2(x+2)2=
所以当x=0时,f(x)的最大值是0.
(方法二)由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4,①
由f(x)关于x=-1对称,可知f'(-1)=0,得3a=2b+4,②
2
2 +2 -2
2 -2


+
A,∴b2+c2-a2=ac· 2 +c2· 2
∴bc=25.∵a2=b2+c2-2bccos A,
∴b2+c2=a2+bc=50.
则(b+c)2=100,∴b+c=10,
∴b=c=5.∴△ABC为等边三角形.
∴sin B+sin C= 3.
审题指点已知条件有3个.由a=5和S△ABC= 25 3 得不出结果,所以突破口
A=
2sin
1
∵S△ABC=2bcsin
=
cos+cos
.
2
=
sin(+)
2sin
=
1
,又
2
π
A∈(0,π),∴A= .
3
25 3
A= 4 ,
∴bc=25.∵a2=b2+c2-2bccos A,∴b2+c2=a2+bc=50,则(b+c)2=100,∴b+c=10.
∴b=c=5.∴△ABC为等边三角形.
意已知条件中的概念本身容易忽视的限定信息,关注问题中易于忽视的特
殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清楚定理成立、公式存在的
前提.
【例 2】(1)已知函数 f(x)= 2sin 2 +
π
4
+1 的图象在
轴和一个对称中心,则实数 ω 的取值范围为(
A.
3π 5π
,
8 8
C.
3π 5π
,
4 4
f'(-1)=0,联立得到关于a,b的方程组,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值.
审题指点三对于函数对称性问题,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对
称,则满足f(x+a)=f(a-x);若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.
(2)审题指点一利用Rt△ABC和Rt△BPC的边角关系,求得∠PCB=∠ABP
= 4,
则
解得
(1)= (-3), 7-2-20 = 0,
= 4.
当a=b=4时,f(x)=f(-2-x)恒成立,即a=b=4满足题意.
即f(x)=-x2(x+2)2.
当x=0时,f(x)取最大值0,故选C.
(2)(202X河北衡水高三联考,理12)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,
图表数据”等几方面.
审题时要躲开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目
进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.
【例1】(1)(202X广东广州二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于
直线x=-1对称,则f(x)的最大值是(
A.-2
B.-1
C.0
D.1
)
答案 C
(1)审题指点一从题目条件中只能看到图象关于直线x=-1对称,但从已知中
找不到与函数f(x)的零点的关系,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根
据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值.
审题指点二根据对称性可知f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到
审题指点二由距离之和与x,y无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两
侧,从而圆心(1,1)到每条直线的距离都大于或等于半径1,由此得到a的取值
范围是a≥6或a≤-4;
审题指点三由直线3x-4y-9=0的表达式,能审出该直线在圆的下方,所以另
一直线必须在圆的上方,从而舍去a≤-4.
三、审条件中的结构特征
企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W
()-()
与时间t的关系为W=f(t),用的大小评价在[a,b]这段时间内企业
-
污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的
关系如下图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
π
4
1
0, 2
π
,∴2ωx+4
上的对称轴为
∈
π
,
4
+
π
4
,设
π
3π
t=2 ,t= 2 ,…,对称中心为
上恰有一条对称轴和一个对称中心,隐含着
3π
,但
2
∉
π
,
4
+
π
4
.
(2)审题指点一看到|3x-4y+a|+|3x-4y-9|联想点到直线的距离公式,能审出
其表示的是点P(x,y)到两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和;
高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构情势进行搭配和呈现
的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真
审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,
努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清楚的过程中,力争寻找到突破问题
的方案.
【例 3】在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=5,△ABC 的面
∴sin B+sin C= 3.
(方法二)∵b2+c2-a2=accos C+c2cos
(2 +2 -2 +2 +2 -2 ) 22
=
=
=bc.
2
2
∴cos
又
2 +2 -2
A= 2
=
1
,
2
π
A∈(0,π),∴A=3.
1
∵S△ABC=2bcsin
25 3
A= 4 ,
Rt△BPC、Rt△ADP,找出AD、BD、PD、BP之间的关系,并用与θ有关的
正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD建立等量关系求解tan ∠PBA.
二、审条件中的隐含
有的数学试题条件并不明显,审题时要注意发掘隐含条件和信息,对条件进
行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注
4
为b2+c2-a2=accos C+c2cos A,该条件是关于三边两角的关系式,等式左边的
结构与余弦定理的变式2bccos A相等,代换后进行化简得结论A=
π
3
,此为
解法一;视察该等式的右边,为减少变量进行角边的转换,利用边表示角,得
第二种解法.
四、审图形特点寻简捷
在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的情势给出,或将条件隐
面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和
所求,从题目关键词语中发掘隐含条件、启示解题思路,最短时间内理解条
件和结论所包含的详细信息是保证解题效率与解题质量的必需条件.解题
作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.
怎样算是审清题意
一、审清条件信息
审视条件一般包括“发掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读
AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.若∠APB=150°,
则tan ∠PBA=(
A.
3
2
)
B.-
3
2
C.
3
4
D.-
3
4
答案 C
解析 (方法一)设∠ABP=θ,则∠PCB=θ,∴PC=cos θ.在△ABC 中,
∠ABC=90°,AB=
π
3,BC=1,∴AC=2,∠ACB=3.在△PAC
Rt△ADB 中,AD= 3sin θ,BD= 3cos θ.
Rt△BPC 中,BP=sin θ.又∠APB=150°,得∠APD=30°,Rt△ADP 中,

PD=tan30°=3sin
tan
3
∠PBA= .
4
θ,由 BD=BP+PD,得 3cos θ=sin θ+3sin θ,所以 tan
3
θ= 4 ,即
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是
.
答案 ①②③
()-()
解析 表示区间端点连线斜率的负数,在[t1,t2]这段时间内,甲的
=θ,进而推出PC=cos θ,同理根据∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC,推出
∠PAC=θ,将已知条件转化为已知两边及其对角,解△APC,由正弦定理及同
角三角函数关系,求得tan ∠PBA.
审题指点二借助平面几何知识,过A点作BP延长线的垂线,构造Rt△ADB,利
用Rt△ABC和Rt△BPC的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,解Rt△ADB、
|3-4 + |
≥ 1,解得a≥6或a≤-4(舍去),故选D.
直线3x-4y+a=0的距离d=
5
(1)审题指导“f(x)的图象在
π
t=2ωx+4 ,函数
y=sin t 在
1
0, 2
π
,
4
(π,0),(2π,0),…,f(x)的图象在
π
2
∈
π
,
4
+
π
4
,π∈
π
,
4
π
+
4
上”是指 x∈
+
1
0, 2