非负矩阵特征值反问题的研究进展

第62卷 第6期厦门大学学报(自然科学版)
V o l .62 N o .6 2023年11月
J o u r n a l o f X i a m e nU n i v e r s i t y (
N a t u r a l S c i e n c e )N o v .2023
h t t p :ʊj
x m u .x m u .e d u .c n d o i :10.6043/j
.i s s n .0438-0479.202305006非负矩阵特征值反问题的研究进展
白正简
(厦门大学数学科学学院,福建厦门361005
)摘要:本文简单介绍一下矩阵特征值反问题的应用背景,简要综述自20世纪40年代以来非负矩阵特征值反问题的解
的存在性理论和算法方面的一些研究进展,偏重作者在黎曼优化算法方面的一点研究工作.最后,给出这方面今后的发展方向.
关键词:特征值反问题;非负矩阵;解的存在性;黎曼优化算法
中图分类号:T B 553 文献标志码:A 文章编号:0438-0479(2023)06-1039-0
6
收稿日期:2023-05-05 录用日期:2023-11-24
E m a i l :z j
b a i @x m u .e d u .
c n 引文格式:白正简.非负矩阵特征值反问题的研究进展[J ].厦门大学学报(自然科学版),2023,62(6):1039-1044.
C i t a t i o n :B A I Z J .S t u d y p r o g r e s s o f i n v e r s e e i g e n a l u e p r o b l e m s f o r n o n n e g
a t i v em a t r i c e s [J ].J X i a m e nU n i vN a t S c i ,2023,62(6):1039-1044.(i nC h i n e s e
)1 问题及其应用背景
非负矩阵在马尔科夫链㊁线性互补问题㊁离散分
布㊁概率算法㊁图论㊁分类数据以及经济学的领域都有
重要的应用[1-2].
有关非负矩阵的一个最重要的结果就是著名的P e r r o n -F r o b e n i u s 定理[3]
.
然而,非负矩阵特征值反问题旨在构造一个非负矩阵满足给定的谱数据.非负矩阵特征值反问题的一般形式如下:
N I E P 给定一组自共轭的复数{λ1, ,λn }
,寻找一个n ˑn 非负矩阵C ,使得C 的谱数据为{λ1,
,λn }
.我们知道,若一个n ˑn 实矩阵A 的所有元都是
非负(正)数,则称A 为非负(正)矩阵,分别记作A ȡ
0(A >0).
若一个n ˑn 非负矩阵A 的每一行(列)的元之和都等于1,则称A 为行(列)随机矩阵.若一个n ˑn 非负矩阵A 的每一行和每一列的元之和都等于
1
,则称A 为双随机矩阵.自20世纪40年代以来,非负矩阵特征值反问题就引起了广泛关注,有关非负矩阵特征值反问题的可解性理论和数值算法得到了很大进展.本文简要综述有关非负矩阵特征值反问题的解的存在性理论和数值算法方面的研究进展,偏重作者
在黎曼优化算法方面所做的一点工作.
2 存在性理论简介
据我们所知,有关非负矩阵特征值反问题的早期研究主要来自于俄罗斯数学家K o l m o g o r o v 于1937年提出的一个给定的复数何时为一个非负矩阵的特征
值的问题[4
].S u l e ǐm a n o v a 于1949年讨论了关于随机矩阵特征值反问题的解的存在性条件.S u l e ǐm a n o v a [5]给
出充分性条件,使得给定的一组实数为某一个非负矩
阵的谱数据.P e r f e c t [6-7
]进一步改进了S u l e ǐm a n o v a 给
出的充分条件.第一个系统研究对称非负矩阵特征值
的也许应该归功于F i e d l e r [8].
有关非负矩阵特征值反问题的更多的解的存在性的必要或充分条件有很多.
例如,P e r f e c t 和M i r s k y [9]给出了对称双随机矩阵特
征值反问题的解的存在性的一些充分条件;C i a r l e t [1
]给出非负矩阵特征值反问题的解的存在性的一些结
果;K e l l o g g [11
]发展了一组实数为一个非负矩阵的谱数据的更一般的充分条件;S w i f t [1
2]给出随机矩阵特征值反问题的解的存在性的一些结果;S a l z m a n n [1
3]给出了一组实数为一个非负可对角化矩阵的谱数据的
充分条件;L o e w y 和L
o n d o n [14]给出了非负矩阵特征值反问题的解的存在性的一些必要条件;F r i e d l a n d [1
5]讨论了一些条件,使得一组复数为一个非负矩阵或者
最终非负矩阵(e v e n t u a l l y n o n n e g
a t i v em a t r i x )的谱数据;F r i e d l a n d 和M e l k m a n [1
6
]给出了一组实数成为一
厦门大学学报(自然科学版)
2023年
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x m u .x m u .e d u .c n 个非负不可约J a c o b i 矩阵的谱数据的充分必要条件;
S o u l e s [1
7
]
构造性地给出了一组实数为一对称非负矩阵的谱数据且拥有给定的P e r r o n 向量的充分条件;B a r r e t t 和J o h n s o n [1
8
]为对称全正矩阵特征值反问题的解的存在性提供了充分必要条件;B o y
l e 和H a n d e l m a n [1
9
]
为正矩阵阵特征值反问题的解的存在性提供了充分必要条件;X u [2
]给出一组复数为一个正规非负(正)矩阵的谱数据的充分条件;B o r o b i a [2
1
]讨论了非负矩阵特征值反问题的解的存在性的充分
条件;G u o [22]和J o h n s o n 等[23
]证明了存在一组实数是一个非负矩阵的谱数据而不是一个对称矩阵的谱数
据;R a d w a n [2
4
]给出一些充分条件,使得一组实数为某个对称非负矩阵的谱数据;R e a m s [2
5]为5阶非负矩阵特征值反问题解的存在性提出一些充分条件和必要
条件;G u o [2
6
]给出更一般的非负矩阵特征值反问题的解的存在性的充分条件;M e e h a n [2
7
]给出了非负矩阵特征值反问题的解的存在性必要条件和充分条件;
L a f f e y 和M
e e h a n [28
]
为给定一组复数是否是5阶迹为零的非负矩阵的谱数据问题提出一些必要条件和充
分条件.
进入21世纪以来,
有关非负矩阵特征值反问题的解的存在性的研究也取得了很大发展.例如,基于
B r a u e r 定理,S o t o [29
]
给出了新的充分条件;R o j
o 和S o t o [3
]给出了存在非负矩阵具有复的谱数据的一个充分必要条件;L o e w y 和M
c D o n a l
d [31
]讨论了5阶对称非负矩阵特征值反问题的解的存在性问题;H w a n g 和P y
o [32]给出一组实数为一个对称双随机矩阵的谱数据的充分条件;J o h n s o n 等[33-34
]给出一组实数为一个非负矩阵的谱数据的基于图的刻画条件;E g
l e s t o n 等[35]对非负矩阵特征值反问题的可解性理论作了一
个概述;Šm i g o c [36
]讨论如何构造非负矩阵满足可实现的谱数据;S o t o 和R o j
o [37]通过推广P e r f e c t 的结果得到了实非负矩阵特征值反问题的解的存在性的新的
可实现准则;T o r r e -M a y o 等[38
]利用非负矩阵的特征多项式的系数和有向图研究非负矩阵特征值反问题
并给出解的存在性的充分条件;B o r o b i a 等[39
]为实非负矩阵特征值反问题的解的存在性提出统一的补偿
准则;Y a n g 和X
u [40
]为行随机矩阵特征值反问题的解的存在性提供了充分条件;S o t o 和J u l i o [4
1]证明很多非负矩阵特征值反问题的解的存在性的充分条件可
通过S o t o 等[42]的结果获得;S o t o 等[4
3
]讨论了分段实谱数据的非负可实现性;M o u r a d [4
4
]为双随机矩阵特征值反问题给出了解的存在性的新的充分条件;
R i c a r d o [4
5
]
为非负矩阵特征值反问题的解的存在性介绍了很多必要条件和充分条件;S o t o [4
6-47
]为实对称非负矩阵特征值反问题提出一系列可实现准则;S o t o
等[48-49
]为非负矩阵满足给定的谱数据和初等因子(即
J o r d a n 结构)提供了一些新的充分条件;L e i 等[5
]为对称双随机矩阵特征值反问题给出了解的存在性的
一些充分条件;M a r i j
u n 等[51-53
]列举了实非负矩阵特征值反问题的解的存在性的一些充分条件的包含关系并基于这些关系给出谱数据的可实现性边界;
E l l a r d 和Šm i g
o c [54
]
证明了本质上以前所有对称非负矩阵特征值反问题的解的存在性的充分条件或者包含在或者等价于给出的充分条件;N a z a r i 和
N e z a m i
[55
]
通过单位下三角形矩阵求解非负矩阵特征值反问题,并得到了解的存在性的充要条件;A l f a r o 等[56]为寻找非负矩阵满足给定谱数据和对角元得到新的充分条件;J o h n s o n 等[57]介绍了非负矩阵特征值反问题的最新结果,包括单个特征值问题㊁低维结果㊁
解的存在性的必要条件和充分条件㊁P e r r o n 相似性以及J o r d a n 结构相关性等.
3 数值算法简介
有关非负矩阵特征值反问题的数值算法主要包
括构造性算法㊁交替投影法㊁递归算法㊁等谱流算法以及优化算法.下面我们简要回顾一下非负矩阵特征值反问题的数值算法.
我们首先回顾一下有关非负矩阵特征值反问题的构造性算法.有关非负矩阵特征值反问题的构造性算法的早期工作可以参见第2节有关非负矩阵特征值反问题的解的存在性的充分条件的研究文献,这些文献中往往都有提供构造性算法.近年来,还有不少
构造性算法的相关研究进展.例如,R o j
o 等[58
]为对称非负矩阵特征值反问题提出快速稳定的构造性算法;
L a f f e y 和Šm i g
o c [59
]
通过两个对称非负矩阵的谱数据(除了一个对称非负矩阵的P e r r o n 特征值)
构造一个新的对称非负矩阵;M o u r a d 等[6
]为双随机矩阵特征值反问题提出构造性算法;J o h n s o n 等[6
1]为实非负矩阵特征值反问题提出构造性算法;P a p
a r e l l a [62
]利用置换矩阵为实非负矩阵特征值反问题提出构造性算法;
C r o n i n [6
3
]为非负矩阵特征值反问题提出3种构造性算法用于构造具有3个非零元的非负矩阵满足可实
现的复谱数据;N a z a r i 等[6
4
]为对称非负矩阵特征值反问题提出构造性算法;Z a d e h 和R i v a z [65
]为非负J a c o b i
矩阵提出构造性算法.
再者,我们回顾一下有关非负矩阵特征值反问题
㊃
0401㊃
第6期
白正简:非负矩阵特征值反问题的研究进展
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x m u .x m u .e d u .c n 的交替投影法㊁递归算法和等谱流算法.O r s i
[66
]分别为对称非负矩阵特征值反问题和非负矩阵特征值反问题提出交替投影算法并给出收敛性分析;C h e n 和
W e n g [67]
为满足给定特征对的双随机矩阵特征值反问
题提出交替投影算法.L i n [6
8
]为对称和非对称非负矩阵特征值反问题提出递归算法,并用于随机矩阵特征
值反问题的数值求解;E l l a r d 和M i g
o c [69]提出递归算法用于构造给定可实现谱数据的对称非负矩阵.C h u 和D r i e s s e l [70]考虑最小二乘对称非负矩阵特征值反问题并提出等谱流算法;C h u 和G u o [7
1]为求解非对称非负矩阵特征值反问题的最小二乘解提出等谱流算法;C h e n 和L i u [7
2
]
为给定部分元的对称和非对称非负矩阵特征值反问题提出梯度流算法.
最后,我们回顾一下有关非负矩阵特征值反问题
的优化算法的研究进展.B a i 等[7
3
]为给定部分特征数据的非负矩阵特征值反问题提出一类非光滑牛顿算
法并在一定的假设条件下,建立了该算法的全局和二
次收敛性;Z h a o 等[7
4]为随机矩阵特征值反问题提出几何P o l a k -R i b i ér e -P o l y a k 非线性共轭梯度算法并给出全局收敛性分析(还额外提供一类新的等谱流算法);Y a o 等
[75
]为双随机矩阵特征值反问题提出几何
F l e t c h e r -R e e v e s 非线性共轭梯度算法并给出全局收
敛性分析(还额外提供一类新的等谱流算法);Z h a o
等[76
]为非负矩阵特征值反问题提出黎曼不精确牛顿-共轭梯度算法,并给出全局收敛性和二次收敛性分
析;Y a o 等[7
7
]为给定部分特征数据的随机矩阵特征值反问题的最小二乘解提出F l e t c h e r -R e e v e s 共轭梯度算法的一类几何变形,并在一定的假设条件下,得到
算法的全局收敛性结果;W a n g 等[78]为双随机矩阵特
征值反问题提出单调和非单调黎曼不精确牛顿-共轭梯度算法,并在一定的假设条件下,给出算法的全局
和二次收敛性分析;M a 和B a i [79]为随机矩阵奇异值反问题提出黎曼不精确牛顿-
共轭梯度算法,并在一定的假设条件下,给出算法的全局和线性或超线性收敛性
结果;X i a o 等[80
]为稀疏随机矩阵分解提出一类按列更新的算法并给出算法的全局收敛性分析;S t e i d l 和
W i n k l e r [8
1
]
为非对称随机矩阵特征值反问题提出新的约束优化模型并通过数值算例证实Z h a o 等[7
4
]提出的几何P o l a k -R i b i ér e -P o l y
a k 非线性共轭梯度算法也是适用的;Z h a o 等[8
2
]为对称非负矩阵特征值反问题提出黎曼不精确牛顿-D o g l e g 算法,并在一定的假设条件下,给出算法的全局和线性或超线性收敛性结果;
K u m 等[8
3
]
为非负矩阵特征值反问题提出黎曼线性化近端算法,并给出算法的全局和局部收敛性分析.
4 将来的研究方向
本文简要回顾了非负矩阵特征值反问题的一些解的存在性理论和优化算法的研究进展.限于篇幅有
限,还有很多有关非负矩阵特征值反问题的解的存在性的必要条件和充分条件的相关文献没有列举在本文中.有关非负矩阵特征值反问题的解的存在性问题
还有很多有意义但还没有解决的问题(见文献[11
,35,54,57,59-60]等),例如:1
)非负矩阵特征值反问题的解的存在性的充分必要条件;2
)一个非负矩阵的实谱数据是否是一个对称非负矩阵的实谱数据?3)一个非负矩阵的复共轭谱数据是否是一个正规非负
矩阵的谱数据?等等.这些解的存在性问题都很有挑战性,值得进一步研究.另外,以实际应用为驱动,为基于多种结构要求和给定的部分或全部谱数据的非负矩阵特征值反问题发展有效的数值算法也值得进一步探讨.
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a t i v em a t r i c e s B A I Z h e n g j
i a n (S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,X i a m e nU n i v e r s i t y
,X i a m e n 361005,C h i n a )A b s t r a c t :T h e i m p o r t a n c e o f i n v e r s e e i g e n v a l u e p r o b l e m s i s b r i e f l y p r e s e n t e d .S o m e e x i s t e n c e -r e l a t e d r e s u l t s a n d n u m e r i c a l m e t h o d s f o r i n v e r s e e i g e n v a l u e p r o b l e m s f o r n o n n e g a t i v em a t r i c e s ,p u b l i s h e d s i n c e t h e 1940s ,a r e r e v i e w e d .T h e s e r e v i e w s s o m e w h a t s t r e s s t h e a u t h o r sw o r k i nR i e m a n n i a n o p t i m i z a t i o nm e t h o d s .F u r t h e r s t u d y
t r e n d s a r e a l s om e n t i o n e d .K e y
w o r d s :i n v e r s e e i g e n a l u e p r o b l e m ;n o n n e g a t i v em a t r i x ;e x i s t e n c e ;R i e m a n n i a n o p t i m i z a t i o nm e t h o d (责任编辑:汪 军)
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