学而思初一数学春季班第13讲 全等中的基本模型.目标满分班 教师版

三角形5级
全等中的基本模型
三角形6级
特殊三角形之等腰三角形
三角形7级
倍长中线与截长补短
暑期班
第六讲
暑期班
第五讲
爸爸怎么样啦？
漫画释义
满分晋级阶梯
13
全等中的基本模型
把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型
例题精讲
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题型一：平移型全等
【引例】 如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，
AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD
AE BF
=⎧⎨
=⎩ ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =
【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =
求证：AFC DEB △≌△
如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．
【解析】 ∵DE AF ∥，∴A D ∠=∠．
∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC DB =． 在AFC △和DEB △中，AC DB
A D AF DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AFC △≌DEB △(SAS )． 另两结论均成立，证明同上．
图1
F E
D
C B
A
图2
F
E D
(C )
B A
图3
F
E
D
C
B A
典题精练
常见轴对称模型
【例2】 如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同
一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．
【解析】 60︒；由外角得()422360∠=∠+∠=°.
【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，
AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．
【解析】证法一：
∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠．
∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴DB EC =，AD AE =． 在DBC △与ECB △中，
BC CB =，DBC ECB ∠=∠，DB EC =，
∴DBC ECB △≌△． ∴BDC CEB ∠=∠
∵ADM BDC ∠=∠，AEN CEB ∠=∠， ∴ADM AEN ∠=∠． 在AMD △与ANE △中，
90M N ∠=∠=︒，AD AE =，ADM AEN ∠=∠，
∴AMD ANE △≌△，
典题精练
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题型二：对称型全等
E D N M C
B
A
43
2
1
E
D
C
B A
∴AM AN =．
证法二：
∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴AD AE =．
在DAC △与EAB △中，
AB AC =，AE AD =，DAC EAB ∠=∠，
∴DAC EAB △≌△， ∴ACD ABE ∠=∠．
又∵AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒， 在AMC △与ANB △中，
AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠，
∴AMC ANB △≌△， ∴AM AN =． 证法三：
∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点，
∴12ADC ABC S S =△△，1
2
AEB ABC S S =△△，AD AE =，
∴ADC AEB S S =△△， 在ADC △与AEB △中，
AD AE =，AC AB =，DAC EAB ∠=∠，
∴ADC AEB △≌△， ∴CD BE =． ∴11
22CD AM BE AN ⋅=⋅， ∴AM AN =．
常见旋转模型：
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题型三：旋转型全等
E D N M C
B
A
E D N M C
B
A
【引例】 如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB
△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数． 【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=
∴
10
18010018
ACB ∠=︒⨯=︒
∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒
∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒
【例4】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．
求证：⑴AE CG =；⑵AE CG ⊥. 【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠ ∴CDG ADE ∠=∠
在CDG △和ADE △中 CD AD
CDG ADE DG DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴CDG ADE △≌△
∴AE CG =，CGD AED ∠=∠ ∵90DME AED ∠+∠=︒ ∴+90OMG CGD ∠∠=︒ 即90GOM ∠=° ∴AE CG ⊥
【点评】 可拓展证明2222AG CE AC GE +=+.
【例5】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角
形．
典题精练
例题精讲
A'B'
C
B
A
M D N
E
F
O G
F
E
D
C
B
A
M
请你证明：
⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.
【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．
60MCN ∠=,AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥；
ACN MCB △≌△，ADC MCE △≌△，NDC BEC △≌△；DEC △为等边三角形．
⑴∵ACM △、CBN △是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB △≌△，
∴AN BM =. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)
⑵ 60MFA NAB MBA BMC MBA MCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=. (找出图中所有的60角) ⑶由ACN MCB △≌△易推得NDC BEC △≌△，
所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC △为等边三角形． ⑷由⑶易得DE AB ∥．AFC BFC ∠=∠以后学习证明.
辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.
添辅助线的作用：凸显和集散
1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.
2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.
3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.
4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.
5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.
思路导航
题型四：辅助线添加初步
【例6】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的
直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
（海淀区期末考试）
【解析】 ⑴ ①方法一：
连接BD ，在Rt ABC △中， ∵AB BC =，AD DC =．
∴DB DC AD ==，90BDC =︒∠． ∴45ABD C ==︒∠∠．
∵90MDB BDN CDN BDN +=+=︒∠∠∠∠， ∴MDB NDC =∠∠． ∴BMD CND △≌△． ∴DM DN =． 方法二：
∵45A DBN ==︒∠∠．
90ADM MDB BDN MDB +=+=︒∠∠∠∠．
典题精练
N
M E
F
D
C
B
A
∴ADM BDN =∠∠． ∴ADM BDN △≌△．
∴DM DN =．
②四边形DMBN 的面积不发生变化； 由①知：BMD CND △≌△， ∴BMD CND S S =△△．
∴11
24
DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形．
⑵ DM DN =仍然成立，
证明：连接DB ．
在Rt ABC △中，∵AB BC =，AD DC =， ∴DB DC =，90BDC =︒∠． ∴45DCB DBC ==︒∠∠． ∴135DBM DCN ==︒∠∠．
∵90CDN CDM BDM CDM +=+=︒∠∠∠∠， ∴CDN BDM =∠∠． ∴CDN BDM △≌△．
∴DM DN =．
⑶ DM DN =．
【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.
【例7】 在四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，求证：AD BC =．
【解析】 连接BD
∵AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠ 在ABD △和CDB △中
D C
B
A
D
C
B
A
N
M E F
D
C
B
A
N M
E
F D C
B
A
AB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABD CDB △≌△ ∴AD CB =．
【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．
求证：BC EF ∥． 【解析】 分别连接BF 、CE 、BE ，
利用SAS 证得ABF △≌DEC △， ∴BF CE =，
利用SSS 证得BFE △≌ECB △， ∴BEF EBC ∠=∠， ∴BC EF ∥．
【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.
训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .
求证：AO 平分DAE ∠. 【解析】 利用SAS 证得ABE ACD △≌△，
∴E D ∠=∠，
根据已知可得BD CE =， 利用AAS 证得BOD COE △≌△， ∴OD OE =，
利用SAS 证得AOD AOE △≌△， ∴OAD OAE ∠=∠， ∴AO 平分DAE ∠
训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD
的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =． 求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．
思维拓展训练（选讲）
Q
P
E
D
A
【解析】 ∵BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，
∴ABD ACE ∠=∠， ∵BP AC =，CQ AB =， ∴ABP QCA △≌△，
∴AP AQ =，APB QAC ∠=∠． ∵BP AC ⊥，∴90ADP ∠=︒， ∴90APB DAP ∠+∠=︒， ∴90CAQ DAP ∠+∠=︒， 即90PAQ ∠=︒， ∴AP AQ ⊥．
训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，
M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．
【解析】延长AB 、AE ，交直线CD 于F 、G ．
∵ABC AED ∠=∠． ∴FBC GED ∠=∠． ∵BCM EDM ∠=∠． ∴BCF EDG ∠=∠． ∴在BCF △与EDG △中 FBC GED BC ED
BCF EDG ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴(ASA)BCF EDG △≌△ ∴F G ∠=∠．FC GD =． ∴AG AF = ∵CM MD = ∴FM MG =
∴在AMF △与AMG △中 AM AM FM MG AF AG =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴()SSS AMF AMG △≌△ ∴180902
AMF AMG ︒
∠=∠==︒， ∴AM CD ⊥
训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．
M E
D
C B
A
G
F
M
E
D
C
B
A
【解析】连接AC 、AD ．
∵AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED = ∴ABC AED △≌△， ∴AC AD =
又∵F 为CD 的中点， ∴FC FD =
∴ACF ADF △≌△ ∴AFC AFD ∠=∠ 即AF BE ⊥．
题型一 平移型全等 巩固练习
【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，
过E F 、分别作DE AC ⊥， BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．
⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？
F E
D C B
A
A
B
C F D
E
复习巩固
请说明理由．
【解析】 ⑴ ∵AE CF =，∴AE EF CF EF +=+，即AF CE =，
∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒ ∴Rt Rt ABF CDE △≌△， ∴BF DE =， 又BGF DGE ∠=∠， ∴BGF DGE △≌△， ∴EG FG =，即BD 平分EF
⑵ 仍然成立．
证明方法同上，不再赘述．
【点评】 此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的
命题形式和思路．
题型二 对称型全等 巩固练习
【练习2】 已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，
OB OD =.求证：AB CD =．
（北京市中考题） 【解析】 证明：∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，
∴,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠
在AOB △和COD △中， ,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴AOB COD △≌△ ∴AB CD =
题型三 旋转型全等 巩固练习
【练习3】 如图所示，已知过ABC △的顶点A 作AF AB ⊥且使AF AB =，
过A 作AH AC ⊥，且使AH AC =．求证：BH FC ⊥． 【解析】 ∵AF AB ⊥，AH AC ⊥，∴90FAB HAC ∠=∠=
∴FAB BAC HAC BAC ∠+∠=∠+∠，即FAC BAH ∠=∠ 又AF AB =，AH AC =
(2)
(1)
A
B
C
E F G
G
F
E
C B
A
O
P
D
C
B A
432
F
A
H
∴ABH △≌AFC △ ∴41∠=∠
又23∠=∠，3490∠+∠= ∴1290∠+∠=， ∴BH FC ⊥
【练习4】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，
AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关
系？请说明理由． 【解析】 ∵ABD △和AEC △都是等边三角形，
∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∴DAC BAE ∠=∠， ∴ADC ABE △≌△， ∴ADF ABH ∠=∠， ∵AF CD ⊥，AH BE ⊥， ∴90AFD AHB ∠=∠=︒， ∴ADF ABH △≌△， ∴AF AH =．
题型四 辅助线添加初步 巩固练习
【练习5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一
起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转． ⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN
的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点
M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解析】 ⑴BM FN =．
∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45ABD F ∠=∠=︒，OB OF =． 又∵BOM FON ∠=∠，
∴OBM OFN △≌△．即BM FN =．
③
②①
O
O
C
B D
A
F
G
E
N
M
E
G
F
A
D
B
C
C
A(G)
O H
F E
D
A
⑵BM FN =仍然成立．
理由是：∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45DBA GFE ∠=∠=︒，OB OF =． ∴135MBO NFO ∠=∠=︒． 又∵BOM FON ∠=∠， ∴OBM OFN △≌△． ∴BM FN =．
③
②①
O
O
C
B
D
A
F
G
E M
N N M
E
G
F A
D
B
C
C B(E)
A(G)
第十四种品格：信念
天堂的位置
在得克萨斯州的一所小学里，一群天真无邪的孩子经常向玛琳娜老师询问天堂在哪里。

为了满足孩子们的好奇和求知欲望，玛琳娜老师请来了莫迪神父。

莫迪神父首先在黑板中间画了一条线，把黑板分成两边，左边写着“天堂”，右边写着“地狱”，然后对孩子们说：“我要求你们每一个人分别在‘天堂’和‘地狱’下面写下与你们的想像或期望相符的内容。

”
孩子心目中的天堂就这样呈现出来了：花朵、欢笑、树木、天空、爱情、阳光、诗歌、春天、音乐……在“地狱”这一边，孩子们写下了这样一些字眼：黑暗、肮脏、恶魔、哭泣、残杀、恐怖、仇恨、流血、丑陋……等孩子们写完之后，神父对他们说：“正如大家所知道的，天堂是具备了一切美好事物与美好心灵的地方。

地狱正好相反，是亢斥了一切丑恶事物与丑恶心灵的地方。

那么，人间在哪里呢？”
神父告诉孩子们：“人间不是介于天堂与地狱之间。

人间既是天堂，也是地狱。

当我们心里充满爱的时候，就是身处天堂，当我们心里怀着怨恨的时候，就是住在地狱！”
如果人一直怀着丑恶的心态生活，无论他处在什么环境，他的生活也是黑暗的；如果一个人内心充满了美好的感情，有着爱与善的品质，那他就是天堂里的人。

今天我学到了。