八年级数学下册教学课件《勾股定理 复习题》

(2)∠BCD是直角. 理由：由勾股定理得BD= 32 42 =5，由(1)知CD= 5 ，BC= 20， 因此在△BCD中，BD2=25，CD2+BC2=( 5 )2+( 20 )2=25， 即BD2=CD2+BC2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD为直角.
【选自教材第39页 复习题17 第10题】
2.两个内角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形.
A
勾股定理的逆定理
c
几何语言：∵a2+b2=c2， b
∴△ABC是直角三角形.
C
a
B
试判断下列边长组成的三角形是否为直角三角形： （1）a=2，b=3，c=4； 22+32≠42，不是直角三角形. （2）a=6，b=8，c=10； 62+82=102，是直角三角形. （3）a=5，b=13，c=17.
数学思想： 数形结合思想 特殊到一般的思想 转化思想 分类讨论思想
毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法
b
a
ac
a
a a
b
b

b cb
重新组合
b
a
a
c
cb
c
b
c
a
b
a
S左=a2+b2+4×12 ab
∵S左=S右
a
b
S右=c2+4×12 ab
∴a2+b2=c2
加菲尔德：梯形面积法
A
b
c
E
c a
B
aC
b
D
题设：Rt△ABC≌Rt△CDE
【选自教材第38页 复习题17 第2题】
2.如图，过圆锥的顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截 面△SAB，其中SA=SB，AB是圆锥底面圆O的直径.已知 SA=7 cm，AB=4 cm，求截面△SAB的面积.
解：由勾股定理得，SA2=SO2+( AB )2，
2
则72=SO2+( 4 )2，∴SO= 3 5 cm，
h2 a2b2
又
1 a2
1 b2
a2 b2 a2b2
，∴
1 a2
1 b2
1 h2
.
【选自教材第38页 复习题17 第6题】
6.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗 ？ (1)同两位条角直相线等平，行两，直同线位平角行相；等成；立.
(2)如如果果两两个个实实数数的都积是是正正数，，那那么么这它两们个的实积数是都正是数正；数；不成立.
(3)锐等角边三三角角形形是是等锐边角三三角角形形；；不成立.
3
3
9.如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的面积与周长； (2)∠BCD是直角吗？
【选自教材第39页 复习题17 第9题】
解：(1)由勾股定理得：
BC= 42 22 = 20 = 2 5 ，CD= 12 22 = 5 ，
AD= 12 42 = 17，AB= 52 12 = 26 ，
= 50 2 (cm)>70cm，∴能放进去.
14.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，
b及h.求证：1
a2
1 b2
1 h2
.
证明：设斜边长为c，由直角三角形面积公式可知：
1 2
ab= 1 ch，即ab=ch，∴h=
2
ab ，1
c h2
=
c2 a2b2
，
由勾股定理：a2+b2=c2，即 1 = a2 b2 .
(4)到线线段段垂两直个平端分点线距上离的相点等的到点这在条这线条段线两段个的端垂点直的平距分线离上相；等成. 立.
7.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2 3 +1和2 3 -1， 求斜边c的长. 【选自教材第38页 复习题17 第7题】
解：根据勾股定理：c2=(2 3 +1)2+(2 3 -1)2=26，∴c= 26 .
4.如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽 a=3m，高b=1.5m，长d=10m.求覆盖在顶上的塑料薄膜需多 少平方米（结果保留小数点后一位）. 【选自教材第38页 复习题17 第4题】
解：由勾股定理得，棚顶的宽为：
a2 b2 = 32 1.52 = 11.25 ≈3.35(m).
则棚顶的面积为3.35×10=33.5(m2). ∴覆盖在顶上的塑料薄膜需33.5m2.
5.一个三角形三边的比为1∶ 3 ∶2，这个三角形是直角三角 形吗？【选自教材第38页 复习题17 第5题】
解：这个三角形是直角三角形.
理由：∵这个三角形三边的比为1∶ 3 ∶2，∴不妨设这个 三角形的三边为k， 3 k，2k(其中k＞0). ∵k2+( 3 k)2=(2k)2，∴由勾股定理的逆定理知，这个三角形 是直角三角形.
复习题17
R·八年级下册
知识框图
互逆定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
知识回顾
回顾思考：
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? 3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三 角形? 你作判断的依据是什么? 4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法? 5.一个命题成立，它的逆命题未必成立. 请举例说明.
13.一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm，40cm， 30cm的长方体木箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂 直于底面的任何一条直线.）【选自教材第39页 复习题17 第13题】
由勾股定理得AC= 502 402 = 4100 = 10 41 (cm). 在Rt△ADC中，由勾股定理得 DC= AC2 AD2 = 4100 900 = 5000
【选自教材第39页 复习题17 第11题】
11.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m， b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能 利用这个结论得出一些勾股数吗？
解：对； ∵a2=(2m)2=4m2，b2=(m2-1)2=m4-2m2+1，
易证：△ACE为直角三角形，四 边形ABDE为梯形
S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE
即1
2
(a+b)(a+b)=
12×2×ab+
1 2
c2
化简得：a2+b2=c2
达芬奇证明方法：
A
B
b
c O a
C
F E
D
D
b aE
B
c
F C
A
思考：如何判定一个三角形是直角三角形呢？
1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
2
∴S△SAB=
1 2
AB·SO=
12×4×3
5 =6
5 (cm2)
∴截面△SAB的面积为 6 5 cm2.
3.如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是 134mm，两孔中心的水平距离是77mm.计算两孔中心的垂直 距离（结果保留小数点后一位）. 【选自教材第38页 复习题17 第3题】
解：在 Rt△ABC中，AB=134mm，BC=77mm， 由勾股定理得，AC= AB2 BC2 = 1342 772 = 12027 ≈109.7(mm)， ∴两孔中心的垂直距离约为109.7mm.
10.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地 面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题. 其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺.）
解：折断的竹子与地面上所在的线段构成直角三 角形，设折断处距地面的高度为x尺，根据勾股定 理可得方程：x2+32=(10-x)2，解这个方程得x=4.55. ∴折断处离地面的高度为4.55尺.
c2=(m2+1)2=m4+2m2+1， a2+b2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=c2， ∴a，b，c为勾股数. 例：20，99，101；10，24，26.
拓广探索
12.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为 10cm，蚂蚁在圆柱 侧 面 爬行，从点A爬 到点B的最短路程是多少厘米（结果保 留小数点后一位）？
复习巩固
1.两人从同一地点同时出发，一人以20 m/min的速度向北 直行，一人以30 m/min的速度向东直行.10 min后他们相距 多远(结果取整数)？【选自教材第38页 复习题17 第1题】
解：如图，设两人从C点出发，10分钟后分别到达A、 B两点，依据题意有：∠C=90°， AC=10×20=200(m)，BC=10×30=300(m)， 连接AB，在Rt△ABC中，由勾股定理：AB= AC2 BC2 = 130000 ≈361(m). ∴10分钟后他们相距约为361m.
若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫 做互逆命题.
题设：一个三角形 是直角三角形.
题设：一个三角形 的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2.
结论：两条直角边的平 方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
结论：这个三角形 是直角三角形.
如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个 定理，称这两个定理互为逆定理.
【选自教材第39页 复习题17 第12题】
解：由“两点之间，线段最短”易知，蚂蚁沿侧面展开后
AB的连线爬行，路程最短.将侧面展开成如图所示的长方 形ACDE，则B恰是CD的中点，连接AB，在Rt△ACB中， AC＝10cm，CB= 1 ×2×6π=6π(cm)， 由勾股定理得： 2
AB= AC2 BC2 = 102 36π2 ≈21.3(cm)； 故蚂蚁爬行的最短路程约为21.3cm.
∴四边形ABCD周长为AB+BC+CD+AD= 26 17 3 5 .
S 25 1 2 4 1 1 5 1 1 4 1 (1 3)1 14.5.
2
2
2
2
9.如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的面积与周长； (2)∠BCD是直角吗？
【选自教材第39页 复习题17 第9题】
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边 长为c，那么a2＋b2=c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于 A
斜边的平方.
几何语言：
c b
在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2.
C
a
B
勾股定理的证明
赵爽弦图
S大正方形=c2
=(b-a)2+4×1
2
ab
化简结果，得c2=a2+b2.
13.一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm，40cm， 30cm的长方体木箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂 直于底面的任何一条直线.）【选自教材第39页 复习题17 第13题】
解：如图所示，长方体木箱能放进木棒的最大 长度应为对角线DC的长. 连接DC，AC，则AD⊥AC，即∠DAC=90°， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=50cm， BC=40cm，
综合运用
8.如图，在△ABC中，AB=AC=BC，高AD=h.求AB.
【选自教材第38页 复习题17 第8题】
解：设AB长为x.∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∠BAD=30°，
∴BD=DC=
1 2
x，由勾股定理得：
AB2=BD2+AD2，即x2=( 1 x)2+h2，
2
∴x= 2 3h. ∴AB= 2 3 h.
52+132≠172，不是直角三角形.
像这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
互逆命题
勾股定理
题设：一个三角形 是直角三角形.
勾股定理 的逆定理
题设：一个三角形 的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2.
结论：两条直角边的平 方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
结论：这个三角形 是直角三角形.