【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：9.2随 机 抽 样(含答案解析)

课时提升作业五十四
随机抽样
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·滨州模拟)公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点.公司为了调查产品销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区有20个大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,则完成①,②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()
A.分层抽样法,系统抽样法
B.分层抽样法,简单随机抽样法
C.系统抽样法,分层抽样法
D.简单随机抽样法,分层抽样法
【解析】选B.一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异,采用分层抽样法较好.在丙地区中抽取的样本个数较少,易采用简单随机抽样法.
【加固训练】为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是()
A.简单随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
【解析】选C.小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异而男女生视力情况差异不大,故选用按学段分层抽样的抽样方法.
2.(2016·菏泽模拟)为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂,要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验,用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是()
A.5,10,15,20,25
B.2,4,8,16,32
C.1,2,3,4,5
D.7,17,27,37,47
【解析】选D.利用系统抽样,把编号分为5段,每段10个,每段抽取一个,号码间隔为10.
3.(2014·湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则
()
A.p1=p2<p3
B.p2=p3<p1
C.p1=p3<p2
D.p1=p2=p3
【解析】选D.因为随机抽样时,不论三种抽样方法的哪一种都要保证总体中每个个体被抽到的概率相等,所以三个概率值相等.
4.某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中取的数是39,则在第1小组1～16中随机抽到的数是()
A.5
B.7
C.11
D.13
【解析】选B.间隔数k==16,即每16人抽取一个人.由于39=2×16+7,所以第1小组中抽取的数为7.
5.(2016·青岛模拟)某校高一、高二、高三学生共有1290人,其中高一480人,高二比高三多30人,为了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生96人,则该样本中的高三学生人数为()
A.84
B.78
C.81
D.96
【解析】选B.因为高一480人,高二比高三多30人,所以设高三x人,则x+x+30+480=1290,解得x=390,故高二420人,高三390人,
若在抽取的样本中有高一学生96人,则该样本中的高三学生人数为×390=
78人.
【加固训练】1.某连队身高符合抗战胜利70周年阅兵标准的士兵共有45人,其中18岁～19岁的士兵有15人,20岁～22岁的士兵有20人,23岁以上的士兵有10人,若该连队有9个参加阅兵的名额,如果按年龄分层选派士兵,那么,该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为()
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】选D.设该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为x,则=,解得x=2. 2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为()
A.101
B.808
C.1212
D.2012
【解析】选 B.四个社区抽取的总人数为12+21+25+43=101,由分层抽样可知,=,解得N=808.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为.
【解析】设总体容量为n,则=,所以n=160.
答案:160
【加固训练】某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师人.
【解析】设该校其他教师有x人,则=,所以x=52,故全校教师共有26+104+52=182(人).
答案:182
7.(2016·泰安模拟)经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人.
【解析】设班里“喜欢”摄影的同学有y人,“一般”的有x人,“不喜欢”的有(x-12)人,则解得所以全班共有30+18+6=54(人),又30-=3.所以“喜欢”摄影
的比全班人数的一半还多3人.
答案:3
8.将一个总体中的100个个体编号为0,1,2,3,…,99,并依次将其分为10个小组,组号为0,1,2,…,9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,如果在第0组(号码为0,1,…,9)随机抽取的号码为s,那么依次错位地抽取后面各组的号码,其第k组中抽取的号码个位数为k+s 或k+s-10(如果k+s≥10),若s=6,则所抽取的10个号码依次是.
【解析】由题意知,第1组为10+1+6=17,
第2组为20+2+6=28.
第3组为30+3+6=39,
第4组为40+4+6-10=40,
第5组为50+5+6-10=51,
第6组为60+6+6-10=62,
第7组为70+7+6-10=73,
第8组为80+8+6-10=84,
第9组为90+9+6-10=95.
答案:6,17,28,39,40,51,62,73,84,95
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某学校共有教职工900人,分成三个批次进行教育培训,在三个批次中男、女教职工人数如表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.
(1)求x的值.
(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名?
【解析】(1)由=0.16,解得x=144.
(2)第三批次的人数为y+z=900-(196+204+144+156)=200,
设应在第三批次中抽取m名,则=,解得m=12.
所以应在第三批次中抽取12名教职工.
10.(2016·临沂模拟)某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n.
【解题提示】先根据样本容量是n时,系统抽样的间隔及分层抽样中各层人数为整数,得出n 的特征,再由当样本容量为n+1时,总体中剔除1个个体后,系统抽样的间隔为整数验证可得.
【解析】总体容量为6+12+18=36.
当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为,分层抽样的比例是,抽取的工程师人数为×6=,技术员人数为×12=,技工人数为×18=,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.
当样本容量为(n+1)时,剔除1个个体后,总体容量是35人,系统抽样的间隔为,因为必须是整数,所以n只能取6,即样本容量n=6.
(20分钟40分)
1.(5分)某初级中学有学生270人,其中七年级108人,八、九年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按七、八、九年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;
关于上述样本的下列结论中,正确的是()
A.②,③都不能为系统抽样
B.②,④都不能为分层抽样
C.①,④都可能为系统抽样
D.①,③都可能为分层抽样
【解析】选 D.对于系统抽样,应在1～27,28～54,55～81,82～108,109～135,136～162,163～189,190～216,217～243,244～270中各抽取1个号;对于分层抽样,七年级编号1～108,八年级编号109～189,九年级编号190～270,利用分层抽样可知,七年级抽取×10=4(人),八年级应抽取×10=3(人),九年级应抽取×10=3(人),所以应在1～108中抽取4个号,109～189中抽取3个号,190～270中抽取3个号.结合各选项知,D正确.
2.(5分)(2016·泰安模拟)某年级有1000名学生,现从中抽取100人作为样本,采用系统抽样的
方法,将全体学生按照1～1000编号,并按照编号顺序平均分成100组(1～10号,11～20号,…,991～1000号).若从第1组抽出的编号为6,则从第10组抽出的编号为()
A.86
B.96
C.106
D.97
【解析】选B.由题意,可知系统抽样的组数为100,间隔为10,
由第一组抽出的号码为6,
则由系统抽样的法则,可知第n组抽出个数的号码应为6+10(n-1),
所以第10组应抽出的号码为6+10×(10-1)=96.
3.(5分)(2016·烟台模拟)一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲、乙、丙三条生产线,为检验这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列,则乙生产线生产的产品数是()
A.5000
B.5200
C.5400
D.5600
【解析】选D.因为在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列.则可设三数分别为a-x,a,a+x.故样本容量为(a-x)+a+(a+x)=3a,因而每个个体被抽到的概率为=,所以乙生产线生产的产品数为=5600.
4.(12分)(2016·滨州模拟)某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8～10岁,11～12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份.求在15～16岁学生中抽取的问卷份数.
【解题提示】先求出抽取比例,从而求出总体的个数,再求出15～16岁回收问卷份数x,最后计算出在15～16岁学生中抽取的问卷份数即可.
【解析】11～12岁回收180份,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,则抽样比为.
因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,
所以从8～10岁,11～12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900份,则15～16岁回收问卷份数为:x=900-120-180-240=360(份).
所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120份.
【加固训练】某单位最近组织了一次健身活动,参加活动的职工分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.
登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组中不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定
(1)游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例.
(2)游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
【解题提示】(1)根据登山组和游泳组中青年人、中年人和老年人的人数之和所占的百分比分别等于参加活动的三类职工的比例,列方程组解决.
(2)先计算出游泳组的总人数,再根据游泳组中青年人、中年人和老年人的比例进行计算. 【解析】(1)方法一:设登山组人数为x,游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a,b,c, 则有=47.5%,=10%,
解得b=50%,c=10%.
故a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.
方法二:设参加活动的总人数为x,游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a,b,c,则“参加登山组的青年人人数加上参加游泳组的青年人人数等于参加活动的青年人人数”,即
x·50%+x·a=x·42.5%,解得a=0.4=40%,同理b=50%,c=10%.
即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组的总人数为200×=150(人),所以游泳组中,抽取的青年人人数为150×40%=60;抽取的中年人人数为150×50%=75;抽取的老年人人数为150×10%=15.
5.(13分)(2016·青岛模拟)有以下三个案例:
案例一:从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量;
案例二:某公司有员工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.从中抽取容量为40的样本,了解该公司职工收入情况;
案例三:从某校1000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋,树新风”的志愿者活动.
(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适?
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程.
(3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号:如果在起始组中随机抽取的号码为
L(编号从0开始),那么第K组(组号K从0开始,K=0,1,2,…,9)抽取的号码的百位数为组号,后两位数为L+31K的后两位数.若L=18,试求出K=3及K=8时所抽取的样本编号.
【解析】(1)案例一用简单随机抽样,案例二用分层抽样,案例三用系统抽样.
(2)①分层,将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层;
②确定抽样比例q==;
③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人;
④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本;
⑤汇总构成一个容量为40的样本.
(3)K=3时,L+31K=18+31×3=111,故第3组样本编号为311.K=8时,L+31K=18+31×8=266, 故第8组样本编号为866.。