省优获奖教案 应用二元一次方程组——鸡兔同笼2

5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
第一环节：引入课题
活动内容1：例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔
各几何？
提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？
（2）你能解决这个有趣的问题吗？
（说明：多媒体展示"鸡兔同笼"问题后，说明该问题是古代著名的"难题"，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路,
写出解题过程，让学生讨论对不对，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案.）
1.用一元一次方程求解
解：设有鸡x 只，则有兔（35-x ）只,得
.
1235.
23.462.
9441402.
94)35(42=-=-=-=-+=-+x x x x x x x
所以有鸡23只，兔12只.
小结：一元一次方程解法优点： 思维便捷些.
一元一次方程解法不足：计算较复杂.
2.用二元一次方程求解：
解：设有鸡x 只，兔y 只，则
x +y =35, ① 2x +4y =94. ②
① ×2,得 2x +2y =70 , ③
②－③,得 2y =24,
y =12,
把 y =12 代入①，得x =23.
所以有鸡23只，兔12只.
小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单.
用二元一次方程组解答不足：计算复杂些.
活动目的：体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.
活动实际效果：这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，并通过比较，感受了列二元一次方程组的优越性，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.
活动内容2：随堂练习1
列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？
（在引例及例题的基础上，学生已基本掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成.当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两"金"，2头牛、5只羊共价值8两"金"，每头牛、每只羊各价值多少"金"？在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程.）
解：设每头牛值"金" x两，设每只羊值"金"y两,则有方程：
5x+2y=10 , ①
2x+5y=8. ②
①×2,得10x+4y=20 , ③
②×5, 得10x+25y=40 , ④
④-③, 得21y=20,
解得y=21
20, 把y=20
21
代入②得：x=34
21
.
所以，每头牛值"金" 34
21两，设每只羊值"金"20
21
两.
活动意图：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能。

活动实际效果：学生能用方程的思想简化思维过程，解决同类古算题.
第二环节：典型例题
活动内容1： 例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，
绳多一尺.绳长、井深各几何？
提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？
2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？可以让学生演
示.
（此时课堂讨论可能很热烈，要注意引导，在充分讨论的基础上，显示完整的解题过程.）
解：设绳长x 尺，井深y 尺，则 3
x -y=5 , ① 4
x -y=1. ② 联列①，② ①-②，得 3x -4
x =4, 12
x =4, x =48,
将 x =48 代入①，得 y =11.
答：绳长48尺，井深11尺.
活动内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤
根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：
1）
审清题意，设未知数; 2）
弄清各个量之间的关系，找出等量关系; 3）
列出方程，联立方程，得二元一次方程组; 4）
解二元一次方程组; 5） 作答.
并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程. 活动意图：此例用于巩固例一中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌握列
二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
活动实际效果：学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和
其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题
的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.
活动内容3：随堂练习2
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，
不知人数不知银.
只知每人五两多六两，
每人六两少五两，
问你多少人数多少银？
活动意图：熟练有关“以绳测井”类似应用题的求解.
活动实际效果：熟练了学生列方程组解应用题的步骤.
第三环节：课堂小结
活动内容：
1．通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？
2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？
3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。

4．列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
说明：通过以上四个问题，学生基本上掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，可启发学生说出自己的心得体会及疑问.
活动意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.
说明：还可以建议有条件的学生去读一读《孙子算经》，可以在网上查，找出自己喜欢的问题，互相出题；同位的同学还可互相编题考察对方；还可以设置"我为老师出难题"活动，每人编一道题，给老师，老师再提出："谁来帮我解难题"，以此激发学生的学习兴趣和信心。

第四环节：布置作业
习题5.3 1，2
4.4 一次函数的应用
第1课时确定一次函数的表达式
第一环节复习引入
内容：提问：（1）什么是一次函数？
（2）一次函数的图象是什么？
（3）一次函数具有什么性质？
目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．
第二环节初步探究
内容1：
展示实际情境
提供两个问题情境，供老师选用．
实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)
与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x
的关系如图所示．
（1）这是一次多少米的赛跑？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人y 与x 的函数关系式．
目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式． 教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．
内容2：
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。

这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k 、b ，所以需要两个条件来确定．
第三环节 深入探究
内容1：
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米)是所挂物体的质量x (千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm ；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长16cm 。

写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg 时弹簧的长度．
解：设b kx y +=，根据题意，得
14.5=b ， ①
16=3k +b ，②
将5.14=b 代入②，得5.0=k ．
所以在弹性限度内，5.145.0+=x y ．
当4=x 时，5.165.1445.0=+⨯=y （厘米）．
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为5.16厘米．
目的：
引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．教学注意事项：
学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y与x间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．内容2：
想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．
2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．
4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。

在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．
第四环节反馈练习
内容：
1．如图，直线l是一次函数b
=的图象，求它的表达
y+
kx
式．
2．若一次函数b
b，该函
x
=2的图象经过A（－1，1），则=
y+
数图象经过点B（1，）和点C（，0）．
３．如图，直线l是一次函数b
=的图象，填
kx
y+
空：
（1）=
k；
b，=
（2）当30=x 时，=y ；
（3）当30=y 时，=x ．
４．已知直线l 与直线x y 2-=平行，且与y 轴交于点（0，2），求直线l 的表达式．
答案：
１．x y 3-= ２．)0,2
3(),5,1(,3-=C B b ． ３．（1）3
2,2-==k b ； （2）18-；
（3）42-．
４．22+-=x y ．
目的：
四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．
效果：
四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题４，教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．
第五环节课时小结
内容：
总结本课知识与方法
1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k，b的值，从而确定函数解析式。

其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；4．把k，b代回表达式中，写出表达式．
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．
目的：
引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
第六环节作业布置
习题４．５：１，２，３，４
目的：进一步巩固当天所学知识。

教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．。