2023-2024学年黑龙江省双鸭山市建新中学高一(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年黑龙江省双鸭山市建新中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z =2−6i ，则z 的共轭复数−
z 的虚部为( )A. −6i
B. 6i
C. 6
D. −6
2.在平面直角坐标系中，若角a 的终边经过点P(sin π
6,−cos π
6)，则sin(π
2+α)=( )A. −1
2
B.
32
C. −
32
D. 1
2
3.已知a =(1,x)，b =(2,−4)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( )A. {x|x <1
2}
B. {x|x >1
2}C. {x|x <12且x ≠−2}
D. {x|x >1
2且x ≠2}
4.如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．v
1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，v 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )A. v 1=v
2B. v 2=v 2C. v 1>v 2D. v 1<v 2
5.已知双曲线x 2−
y 2
b 2
=1(b >0)的渐近线方程为y =± 3x ，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点
M(−1,0)，N(0,b)，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1⋅PF 2取得最小值时，△PF 1F 2的面积为( )A.
32
B. 2
3 C. 2 D.
3
6.tan20°+1−tan5°1+tan 5∘+
3tan20°tan40°=( )
A. 1
B.
2 C.
3 D. 2
7.在△ABC 中，a =4，b =5
2，5cos(B +C)+3=0，则角B 的大小为( )A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. π6或5π
6
8.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB=PC，∠PAB=90°，底面ABC是边长为23的等边三角形，△PBC的面积为53.有下列四个结论：
①三个侧面均为等腰三角形；
②点A到平面PBC的距离为12
；
5
③球O的表面积为32π；
④PB与平面ABC所成角的余弦值为27
．
7
其中正确的结论为( )
A. ②④
B. ②③
C. ①③
D. ①②
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是π
，则下列结论正确的是( )
3
A. {a,a−b,b+c}是空间的一组基底
B. {3a+7b+4c,2a+3b+c,−a+b+2c}不是空间的一组基底
C. 向量a−b−c的模是2
D. 向量a−b−c和b的夹角为3π
4
10.已知函数f(x)={|2x−1|,x≤1
(x−2)2,x>1，函数y=f(x)−a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3 <x4，则( )
A. a的取值范围是(0,1)
B. x2−x1的取值范围是(0,1)
=2
C. x3+x4=4
D. 2x1+2x2
x3+x4
11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，C1E=3EC，平面ABE将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，下部分对应的几何体为Ω下，则( )
A. Ω下的体积为2
B. Ω上的体积为12
C. Ω下的外接球的表面积为9π
D. 平面ABE截该正四棱柱所得截面的面积为25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(1,2)，b=(4,x)，若a⊥b，则|a+2b|=______．
13.设a ，b 是实数，若2
1−i =a +bi(i 是虚数单位)，则a +b 的值是______．14.在平面直角坐标系xOy 中，满足
x 2
+y 2
=1的点构成一个圆，经过点(12, 3
2
)且与之相切的直线方程是
______；类似地，在空间直角坐标系O−xyz 中，满足x 2+y 2+z 2=1的点构成的空间几何体是一个球，则经过点(2
3,−13,2
3)且与之相切的平面方程是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是2a ．(1)求石凳的体积；(2)求石凳的表面积．
16.(本小题15分)
已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)sinA =csinC +(2a−b)sinB ．(1)求角C 的大小；
(2)若c = 2，求△ABC 面积的最大值．17.(本小题15分)
在△ABC 中，已知BC =4，AC =3，P 在线段BC 上，且BP =1
3BC ，AQ =2
3AB ，设CB =a ，CA =b ．(1)用向量a ，b 表示AP ；(2)若∠ACB =60°，求AP ⋅CQ ．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2
)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f(x)的周期及表达式；
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−2cosx+1，求g(x)的最大值及单调递增区间．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b−5，c=7，且4sin2A+B
2−cos2C=7
2
．
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC的面积．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.D
5.A
6.C
7.A
8.B
9.ABD 10.AC 11.ACD 12. 85 13.2
14.12x
+
32
y =1 x−13y +2
3z =1
15.解：(1)根据题意可知正方体的体积为V 正方体=(2a )3=8a 3，
又截去的每个四面体体积为V 四面体=13×12a 2×a =a 3
6，所以石凳的体积为V =V 正方体−8V 四面体=8a 3−8×a 36=20a 3
3；(2)因为石凳的每个正方形面面积为S 正方形=( 2a )2=2a 2，
又石凳的每个正三角形面面积为S 三角形=12( 2a )2sin60°=
3a 2
2
，
所以石凳的全面积为S =6S 正方形+8S 三角形=12a 2+8×
3a 2
2
=(12+4
3)a 2．
16.解：(1)∵在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)sinA =csinC +(2a−b)sinB ，
∴(a +b)a =c 2+(2a−b)b ，即a 2+b 2−c 2=ab ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab
=1
2，∴
C =π
3．
(2)据(1)求解知，a 2+b 2−c 2=ab ，∵c = 2，∴a 2+b 2=2+ab ．
又a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 是，取等号，∴ab ≤2，∴△
ABC 面积的最大值为1
2ab ⋅sinC
=1
2×2×sin π3= 32
．
17.解：(1)由题意得，AP =CP−CA =23CB−CA =2
3a−b ．
(2)CQ =CA +AQ =CA +2
3AB =CA +2
3(CB−CA )=2
3CB +1
3CA =2
3a +1
3b ，
所以AP ⋅CQ =(2
3a−b )⋅(2
3a +1
3b )=4
9|a |2−4
9a ⋅b−1
3|b |2=4
9⋅42−4
9⋅4⋅3⋅cos60°−1
3⋅32=13
9．
18.解：(Ⅰ)根据函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2)的部分图象，
可得T 4=5π6−π3=π
2，
所以，T =2π=2π
ω，∴ω=1．点(π3,1)代入函数得，sin(π
3+φ)=1，∴π3+φ=π2+2kπ(k ∈Z )，又|φ|<π
2，∴φ=π6，即函数为f(x)=sin (x +π
6)．
(Ⅱ)函数g(x)=f(x)−2cosx +1=sin (x +π
6)−2cosx +1
=
32sinx +1
2
cosx−2cosx +1= 3sin (x−π
3)+1，
故当x−π
3=2kπ+π
2，即x =2kπ+5π6，k ∈Z 时，函数g(x)取得最大值
3+1．
令2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，求得2kπ−π6≤x ≤2kπ+5π
6，可得函数g(x)的单调递增区间为[−π
6+2kπ,5π
6+2kπ](k ∈Z)．
19.解：(1)∵A +B +C =180°，
∴
A +
B 2=90°−C
2
，由4sin 2A +B
2−cos2C =7
2得：4cos 2C
2−cos2C =7
2，∴4⋅
1+cosC 2
−(2cos 2C−1)=7
2，
整理得：4cos 2C−4cosC +1=0，解得：cosC =1
2，∵0°<C <180°，∴C =60°；
(2)由余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即7=a 2+b 2−ab ，∴7=(a +b )2−3ab =25−3ab⇔ab =6，∴S △ABC =1
2absinC =1
2×6×
3
2=3
3
2
．。