麻江中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

麻江中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）
A ．1-
B ．2-
C ．
D ． 2． 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )。

A-3
B
C D2
3． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．3283
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 4． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 5． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a
的 取值范围是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 6． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，
C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
7． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，0
90ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
8． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
9． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x
B x x R =≤∈，则集合U A
C B 为（ ） A.]1,1[- B.]1,0[ C.]1,0( D.)0,1[-
【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
10．设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}
D ．{1，3}
11．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2
cos α的值为（ ）
A ．
12+
B ．12 C. 34 D ．0 12．椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的
取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）
A ．3
1,42⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．33,48
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹
为曲线E ，给出以下命题：
①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；
③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；
④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;
⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号） 14．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为
3
π
，则|2|+=a b ． 15．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想． 16．
如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当
四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2
-=.
（1）若)(x f 在]5,3[上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）记x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=，并设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若2
7≥b ， 求)()(21x g x g -的最小值.
18．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝1
2
x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；
（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．
19．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t a
a
ì=+ïí
=+ïî（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C 的参数方程；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
20．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设
，且
，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，
，以
为直径的半圆分别交
于点
，
若
,则
21．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．
（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：31
3b a
+≥.
22．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：
（1
率分布直方图．
（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．
麻江中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】A ． 【
解
析
】
考
点：复数运算 2． 【答案】D
【解析】循环操作4次时S 的值分别为，选D 。

3． 【答案】D 【
解
析
】
4． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
5． 【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
6． 【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，
则由题意，得211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为34
2883
R π=π，故选D ． 7． 【答案】A 【解析】
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 9． 【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =，故选C.
10．【答案】B
【解析】解析：选B.∵集合A 的元素由奇数组成， B ＝{x |－2＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{－1，1}，故选B. 11．【答案】B
【解析】
考
点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 12．【答案】B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M （0，﹣2）和N （0，2），动点P （x ，y ）满足||•|
|=m （m ≥4），
∴
•
=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x 2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故不正确；
④若P 、M 、N 三点不共线，|
|+|
|≥2
=2
，所以△PMN 周长的最小值为2
+4，正确；
⑤曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin ∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，正确． 故答案为：①④⑤． 14．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23
π
，1⋅=-a b ，
∴|2|+=a b 2=．
15．【答案】B
【
解
析
】
16．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9. 圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形P ACB 的周长为2（P A ＋AC ）
＝2PC 2－AC 2＋2AC ＝2PC 2－9＋6.
当PC 最小时，四边形P ACB 的周长最小． 此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0，解得点P 的坐标为（4，1）， 由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行， 即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝9
2
.
即△ABC 的面积为9
2
.
答案：92
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.
（2）∵x b x x x b x a x a x x g )1(2ln 2)1(2ln )2(ln )(2
2
--+=--++-=，
18．【答案】
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ， 设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0）， 由h （x ）＝ln x 得
h ′（x ）＝1
x
，（x ＞0），
则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0，
解得x 0＝m ＝1. ∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝1
2x 2＋x ＋a －e x ，
φ′（x ）＝x ＋1－e x ， 令t （x ）＝x ＋1－e x ， ∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0， x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0， 即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0， 当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 即（a －1）（a －2e －3
2
）＜0，
∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －3
2
）．
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，2
AB
k =
=-
故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 20．【答案】 【解析】A
B
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，频率分布直方图如下．
（2）从频率分布直方图知，数学成绩有50%小于或等于80分，50%大于或等于80分，所以中位数为80分．平均分为（55×0.005＋65×0.015＋75×0.030＋85×0.030＋95×0.020）×10＝79.5，
即估计选择理科的学生的平均分为79.5分．。