江西省宜春市第二中学高三数学理期末试题含解析

江西省宜春市第二中学高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
2. 等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=8，则该等比数列的公比为（）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或1 D．2或﹣1
参考答案：
B
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求得q3，则公比可求．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
由a1+a2+a3=1 ①，
a4+a5+a6=q3（a1+a2+a3）=8 ②，
②÷①得：q3=8，∴q=2．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题．
3. 如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，,直角顶
点在曲线上，的横坐标为，记，则数列的前120项之和
为
（）（A）10 （B）20 （C）100 （D）200
参考答案：
A
如图所示，联立，解得，所以，所以，
直线的方程为，
联立，解得，所以，
依次类推可得，即，
所以，
所以数列的前120项的和为，故选A.
4. 己知函数，其导数f'(x)的图象如图所示，则函数的极小值是 ( )
A．a+b+c B．8a+4b+c C．3a+2b D．c
参考答案：
D
5. 已知圆,圆,分别是圆上的动点,
为轴上的动点,则的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
6. 已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（）
A.(－∞,－1)∪(1,+∞)
B. (1,+∞)
C. D. (－∞,－2)∪(1,+∞)
参考答案：
D
由已知得：函数是偶函数，在是增函数，
解之得：
7. 一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C．D．或
参考答案：
D
【考点】等比数列的性质．
【分析】设无穷等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，联立消去a1解方程可得．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，则，联立消去a1可得，
整理可得9q2﹣9q+2=0，
分解因式可得（3q﹣2）（3q﹣1）=0，
解得q=或q=
故选：D
8. 数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．
解答：解：∵a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），
∴a n a n﹣1+a n a n+1=2a n+1a n﹣1（n≥2），
两边同除以a n﹣1a n a n+1得：=+，
即﹣=﹣，
即数列{}为等差数列，
∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，
∴=n，∴a n=，
即a2015=，
故选：C．
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
9. （5分）（2015?万州区模拟）执行如图所示程序框图，则输出的S的值为（）
A． 21 B． 25 C． 45 D． 93
参考答案：
【考点】：循环结构．
【专题】：计算题；算法和程序框图．
【分析】：根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞10k，跳出循环，计算输出S的值．
【解答】：由程序框图知：第一次循环k=1，S=3；
第二次循环k=2，S=2×3+3=9；
第三次循环k=3，S=2×9+3=21；第四次循环k=4，S=2×21+3=45．
满足条件S＞10k，跳出循环，输出S=45．
故选：C．
【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
10. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为
，如果函数在区间上的图象如图所示，且，那
么（）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x) =＋1.若f(a)=3，则实数a的值为＿＿＿
参考答案：
略
12. 是定义在上的偶函数且在上递增,不等式的解集
为
参考答案：
因为是定义在上的偶函数且在
上递增，所以等价为
，所以，即，平方得，所以，解得，即不等式的解集为。

13. 若函数的零点是1，则的零点是
.参考答案：
0或1
14. 设，，则的最小值为______.
参考答案：
【分析】
利用乘“”法化简所求表达式，再利用基本不等式求得最小值.
【详解】依题意，所以
，当且仅当时等号成立.故填.
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查“1”的代换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
15. 函数（，）部分图像如图所示，且，对于不同的，若，有，则的单调递增区间是____
参考答案：
（）
【分析】
根据图像可得函数周期T和A的值，以及，且b-a为半周期，由，有
，可得角，进而确定函数的解析式，从而求出它的单调递增区间。

【详解】由题得函数的最小正周期为，，，则，又，若时，有，那么，即
，且，即，解得，则
，令，
解得，因此函数在区间（）上单调递增. 【点睛】本题考查通过给出函数的图像及其特定条件，求函数的单调递增区间，是常考题型。

16. （2015?天门模拟）在等比数列{a n}中，对于任意n∈N*都有a n+1a2n=3n，则a1a2…a6= ．参考答案：
729
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：通过等比数列的定义及a n+1a2n=3n可得公比及a2，利用等比中项的性质计算即可．
解答：解：∵a n+1a2n=3n，∴a n+2a2（n+1）=3n+1，
∴q3===3，即q=，
∵a2a2=31，∴a2=，∴a5==3，
∴a2?a5==9，
∴a1a2…a6=（a1?a6）（a2?a5）（a3?a4）=93=729，
故答案为：729．
点评：本题考查求数列前几项的乘积，注意解题方法的积累，属于中档题．
17. 已知函数f(x)＝(x－2)3，数列{a n}是公差不为0的等差数列，，则数列{a n}的前11项和S11为．
参考答案：
22
f(x)＝(x －2)3为增函数，且关于点(2，0)中心对称，则f(2＋x)
＋f(2－x)＝0．设数列{a n}公差为d，若a6＞2，则f(a6)＞0，f(a5)＋f(a7)＝f(a6－d)＋f(a6＋d)＞f(2－d)＋f(2＋d)＝0，即f(a5)＋f(a7)
＞0，同理，f(a4)＋f(a8)＞0，…，f(a1)＋f(a11)＞0，则f(a i)＞0；同理，若a6＜2，则
f(a i)＜0，所以a6＝2．所以S11＝11a6＝22．【说明】考查函数的性质及等差数列的运算．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
（1）已知0<α<β<，sinα=,cos(α?β)=，求cosβ的值；
（2）在ΔABC中，sinA?cosA=，求cos2A的值。

参考答案：
(1)；(2).
试题分析：(1)由平方关系及角的范围，先求出，再由，求出的范围，
利用平方关系可求出，由，用两角差的余弦公式代入求之即可；(2)将已知式两边平方整理可得，又为三角形内角，可得为锐角，将代入计算可求，利用二倍角公式直接计算即可.试题解析：（1）
，又
（2），所以
又
则，则有
所以
考点：1.三角恒等变换；2.三角形性质.
19. （本题满分13分）
设，，且中元素满足：对任何
，恒有．
（1）试说明：集合的所有元素之和必为偶数；
（2）如果，试求的值
参考答案：
解析：（1）将集合的所有元素分组为、、……、、，共100组；由已知得，集合的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．………………3分
∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个，
∴集合的所有元素之和必为偶数．………………5分
（2）不妨设为依次从以上前99个集合中选取的元素，，
且记各集合的落选元素分别为，则，，
由于=
∴+
===2646700，……①………8分
而+=，
=10002-100=9902，
∴=19800-9902=9898 ………………10分
∴-
=++…++
=++…++=200-）+10000
=……②…………………12分
由①②得：=1328750 ．………………13分
20. 同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题.
（1）求全班人数及分数在[80,90)之间的频数；
（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
（3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
参考答案：
解：（1）由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2，
频率为0.008×10=0.08全班人数=25
所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4…………3分
（2）分数在[50,60)之间的总分数为56+58=114
分数在[60,70)之间的总分数为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456
分数在[70,80)之间的总分数为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747
分数在[80,90)之间的总分数为85×4=340分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193
所以，该班的平均分数为……………5分
估计平均分数时，以下解法也给分：
分数在[50,60)之间的频率为=0.08分数在[60,70)之间的频率为=0.28
分数在[70,80)之间的频率为=0.40分数在[80,90)之间的频率为=0.16
分数在[90,100]之间的频率为=0.08所以该班的平均分数约为
55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08
=73.8
所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016………………8分
（3）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，
在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15个.
其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是=0.6…
略
21. 函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有
成立．
（1）求f（0）的值；（2）求证：t?f（t）≥0对任意的t∈R成立；
（3）求所有满足条件的函数f（x）．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．
【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f （0）的值；
（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；
（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．
【解答】解：（1）令m=n=0
∴f2（0）=0∴f（0）=0
（2）令m=n
∴
∴对于任意的t
∴即证
（3）令m=2n=2x
∴=f2（x）+xf（x）
当f（x）=0时恒成立，
当f（x）≠0时有，
∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）
∴f（x）=x．
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数恒成立问题，其中在解答抽象函数的关键是“凑”，如（1）中令m=n=0，（2）中令m=n，（3）中令m=2n=2x．
22. （12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
参考答案：
考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），
∴，=（1，﹣1，﹣4），
∴cos＜＞===，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．
（2）是平面ABA1的一个法向量，
设平面ADC1的法向量为，∵，
∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，
∴平面ADC1的法向量为，
设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，
∴cosθ=|cos＜＞|=||=，
∴sinθ==．
∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．
点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．。