2018年春高考数学(理)二轮专题复习训练：基础模拟(二)

基础模拟(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(导学号：50604178)已知集合A ＝{0,1}，A ∩B ＝{0}，A ∪B ＝{0,1,2}，则集合B 的子集的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
2．已知复数z ＝1－i(i 为虚数单位)，且1＋a i
z
是纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．3
D ．1
3．设p ：x >1，q ：ln2x >1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知等比数列{a n }的公比为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 3－2成等差数列，则a 4＝( )
A ．8 B.18 C ．16 D.1
16
5．(导学号：50604179)已知x ，y 满足线性约束条件：⎩⎨⎧
x －y ＋1≥0，
2x ＋y －2≥0，
x ≤2，
则目标函数z ＝x －2y 的最大值是( )
A ．－6
B ．－4
C ．4
D ．6
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A ．13π B ．14π C ．15π D ．16π
7．如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A.1316 B.1312 C.138 D.134
8．若双曲线x 2a 2－y
2b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，以右顶点为圆心，以c 为半径的圆与双曲线右支的交点横坐
标为3
2
a ，则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 6 C ．3 D ．2
9．(导学号：50604180)若(x ＋y )n (n ∈N *
)展开式的二项式系数最大的项只有第4项，则⎝
⎛⎭⎫x －1x n ＋1的展开式中，
x 4的系数为( )
A ．21
B ．－35
C ．35
D ．－21
1
①(－π
6
，0)是函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心；
②函数y ＝f (x )的最小正周期是π；
③函数y ＝f (x )在[π12，7π
12
]上单调递减．
其中说法正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
11．(导学号：50604181)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2
＋(y －1)2
＝2相切，则(3－2b )2
2a
的
最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
12．若函数f (x )＝x ln x －ax 2有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，12
B.⎝⎛⎭
⎫1
2，1 C ．(1,2) D ．(2，e) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(导学号：50604182)已知两个单位向量a ，b 满足a·b ＝－1
2
，向量2a ＋b 与b 的夹角θ＝________.
14．(导学号：50604183)《九章算术》“竹九节”问题：“现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节容积为3升，下面3节的容积共4升”，则这根竹子的容积(单元：升)为________．
15．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且当x >0时，f (x )＝x 2－3x ＋2，若函数y ＝f (x )－a 有2个零点 ，则实数a 的取值范围是________．
16．(导学号：50604184)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过F 作一直线l 交抛物线于A ，B 两点，若FB →＝3AF →
，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(导学号：50604185)(12分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝b (1＋2cos A )． (Ⅰ)求证：A ＝2B ；
(Ⅱ)若a ＝2＋62，B ＝π
12
，求△ABC 的面积．
18.(导学号：50604186)(12分)
如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 是A 1D 1的中点，点F 是CE 的中点． (Ⅰ)求证：AE ∥平面BDF ；
(Ⅱ)求二面角B －DE －C 的余弦值的大小．
19.(导学号：50604187)(12分)
某师范院校志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中有部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随
机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”的概率为1
5
.
现从这10)． (Ⅰ)求m ，n 的值；
(Ⅱ)求选出的3名同学恰为专业互不相同的概率；
(Ⅲ)设ξ为选出的3名同学中“女生”的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．
20.(导学号：50604188)(12分)
已知点A (0,1)与B (3，12)都在椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上，直线AB 交x 轴于点M .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；
(Ⅱ)设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点E ，使得∠OEM ＝∠ONE ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，说明理由．
21.(导学号：50604189)(12分)
设函数f (x )＝a ln x －x ，g (x )＝a e x －x ，其中a 为正实数．
(Ⅰ)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(2，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (Ⅱ)若函数f (x )与g (x )都没有零点，求a 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(导学号：50604190)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
直线l 的参数方程为：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝－1＋t (t 为参数) .
(Ⅰ)写出圆C 和直线l 的普通方程；
(Ⅱ)点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
23．(导学号：50604191)[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －2a |.
(Ⅰ)对任意x ∈R ，不等式f (x )>1成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，解不等式f (x )<3.
基础模拟(二)
1．C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C
8．D ⎩
⎨⎧
(3
2a －a )2＋y 2＝c 2，1a 2·94a 2－y
2b
2＝1，⇒14a 2＋94b 2＝b 2＋c 2，a 2
＋5b 2＝4c 2，c 2＝4a 2，∴e ＝2. 9．A n ＝6，C r 7x
7－r
(－1x
)r ＝(－1)r C r 7x 7-r-2
r
，7－r －r 2＝4，r ＝2，(－1)2C 27＝21. 10．C
11．B |b ＋1＋a |2
＝2，a >0，b >0，∴b ＝1－a >0,0<a <1，(3－2b )22a ＝4a 2＋4a ＋12a ＝2a ＋12a ＋2≥4，a ＝1
2.
12．A f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0有两个不相等的实数根，则a >0，且f ′(12a )>0，∴0<a <1
2
.
13.π2 14.20122
15．(－2，－14)∪(1
4
，2)
16.3
2
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，依题意有⎩⎨⎧
x 2－1＝3(1－x 1)，①y 2＝－3y 1，②
由②得：y 22＝9y 2
1⇔4x 2＝9×4x 1⇔x 2
＝9x 1，③
由①③可得：x 1＝1
3
，x 2＝3，∴B (3,23)或B (3，－23)．当B (3,23)时，l 方程为y ＝3(x －1)，
当B (3，－23)时，l 方程为y ＝－3(x －1)，
∴三角形面积为3
2
.
17．解：(Ⅰ)由正弦定理b sin B ＝c
sin C
及c ＝b (1＋2cos A )可知，sin C ＝sin B ·(1＋2cos A )，
又在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(B ＋A )＝sin A cos B ＋sin B cos A ， 从而sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，
所以sin(A －B )＝sin B, 所以A －B ＝B ，∴A ＝2B .6分
(Ⅱ)∵B ＝π12，∴A ＝π6，C ＝π－π12－π6＝3π
4
由正弦定理得c ＝a sin C
sin A
＝1＋3，
又c ＝b (1＋2cos A )，∴b ＝1，
∴S △ABC ＝1
2bc sin A ＝1＋34
12分
18．(Ⅰ)证明：连AC 交BD 于G ，连FG ，∵ABCD 是正方形， ∴G 是AC 中点， ∵F 是CE 是中点， ∴AE ∥FG ，
∵AE ⊄平面BDF ，FG ⊂平面BDF ，∴AE ∥平面BDF .6分
(Ⅱ)解：分别以DC 、DA 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，
B (2,2,0)，D 1(0,0,2)，A 1(0,2,2)，E (0,1,2)，
C (2,0,0)，∴DE →＝(0,1,2)，DC →＝(2,0,0)，DB →
＝(2,2,0)，
设平面BDE 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，
则m ·DE →＝m ·DB →＝0，即y ＋2z ＝2x ＋2y ＝0，取z ＝－1得m ＝(－2,2，－1)，同样可求得平面CDE 的一个法向量n ＝(0,2，－1)，
cos<m ，n >＝m·n
|m|·|n|＝53
，
∴二面角B －DE －C 的余弦值为5
3
.12分
19．解：(Ⅰ)设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”． 由题意可知，“中文专业”的学生共有(1＋m )人．
则P (A )＝1＋m 10＝1
5
，解得m ＝1，所以n ＝3.4分
(Ⅱ)设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同．则P (B )
＝C 12C 12C 14C 02＋C 12C 12C 04C 12＋C 12C 02C 14C 12＋C 02C 12C 14C 12C 310
＝7
15
.7分 (Ⅲ)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，由题意可知，“女生”共有4人．
所以P (ξ＝0)＝C 36C 310＝16，P (ξ＝1)＝C 14C 2
6C 310＝1
2，
P (ξ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (ξ＝3)＝C 34C 310＝1
30
.
所以ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝6
5
.12分
20．解：(Ⅰ)由题意得⎩
⎨⎧
1b 2＝13a 2＋14b 2＝1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
直线AB 方程为y ＝－1
23
x ＋1，与x 轴交点M (23，0).6分
(Ⅱ)因为点D 与点B 关于x 轴对称，
1
直线AD 方程为y ＝－
3
2
x ＋1， 与x 轴交于点N (23
3
，0)．
“存在点E (0，y E )使得∠OEM ＝∠ONE ”等价于“存在点E (0，y E )使得|OM ||OE |＝|OE |
|ON |
”，
即y E 满足y 2E ＝|x M ||x N |.∴y 2
E ＝23×233
＝4，∴y E ＝±2， 故在y 轴上存在点E ，使得∠OEM ＝∠ONE ，且点E 的坐标为(0,2)或(0，－2).12分
21．解：(Ⅰ)f ′(x )＝a －x
x
(x >0，a >0)，
∵0<x <a 时，f ′(x )>0，x >a 时，f ′(x )<0，
∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴0<a ≤1.
又g ′(x )＝a e x －1，∴x >ln 1a 时，g ′(x )>0，x <ln 1a 时，g ′(x )<0，∴x ＝ln 1
a
时，g (x )最小，
∴ln 1a >2，∴0<a <1e 2，∴a ∈(0，1
e
2).6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x ＝a 时，f (x )取得最大值，x ＝ln 1
a
，g (x )取得最小值，
由题意可得f (a )<0且g (ln 1
a )>0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ln a －a <0a ·1a
－ln 1a >0，∴1e <a <e 即a ∈(1e ，e).12分 22．解：(Ⅰ)由已知ρ＝2(sin θ＋cos θ)得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即圆C 的普通方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2.3分 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t y ＝－1＋t ，得y ＝－1＋(x －2)，所以直线l 的普通方程为x －y －3＝0.5分 (Ⅱ)由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，
令圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|－1＋1－3|2
＝32
2>2，9分
所以最小值为322－2＝2
2
.10分
23．解： (Ⅰ)∵f (x )＝|x －a |＋|x －2a |≥|(x －a )－(x －2a )|＝|a |，且f (x )>1对任意x ∈R 成立， ∴|a |>1，∴a >1或a <－1.5分
(Ⅱ)a ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＝⎩⎨⎧
2x ＋3，x ≥－1
1，－2<x <－1
－2x －3，x ≤－2.
∴f (x )<3时，－1≤x <0或－2<x <－1或－3<x ≤－2， ∴f (x )<3的解集为(－3,0).10分。