二次根式的性质与运算
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什么是二次根式
= 常用二次根式运算法则：
（1）ab b a =•（0≥a ，0≥b ）
（2）b a b
a =（0≥a ，0>
b ） 相关考点
类型一 二次根式的“双重非负性”
例1（1）要使代数式x
x 1+有意义，x 的取值范围是（ ）． A ．1-≠x B ．0≠x C ．1->x 且0≠x D ．1-≥x 且0≠x
（2）要使代数式34232+---x x x 有意义，那么x 的取值范围是 ．
【变式题组】1.二次根式42+-x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）．
A ．2-≥x
B ．2->x
C ．2 D ．2≤x 2.若代数式3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．3-≥x B ．3>x C ．3≥x D ．3≤x 3.函数x x y 2-=中自变量x 的取值范围是（ ）． A ．0≠x B ．2≥x C ．2>x 且0≠x D ．2≥x 且0≠x 例2 （1）已知2+-+= x x y ，求x y 的值． （2）已知2244x x y -+-= ，求y x +得值． （3）若4342-=-+-b a a ，则=-b a 22 ． 【变式题组】6.若02=++-y y x ，则x 、y 的值分别为 ． 7.已知x 、y 为实数，且49922+---= x x y ，则=-y x ． 9.已知实数a 满足a a a =-+-20152014，那么=-22014a ． 二次根式的规律和性质：(a ≥0), 类型二 最简二次根式与同类二次根式 例3 （1）下列二次根式a 45，30，2 12，240b ，54，()2217b a +中，为最简二次根式的是 ． （2）在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（ ） A ．a 2 B ．23a C ．3a D ．4a 【变式题组】10.在下列根式a 54，32a ，6，x 8中，最简二次根式有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 11.下列四组根式中，是同类二次根式的一组是（ ） A ． 2.5和0.52 B ．a a 3和b b 3 C ．b a 2和2ab D ．3abc 和ab c 3 类型三 利用二次根式的性质化简 例4 如果式子()212-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是（ ）． A ．1≤x B ．2≥x C ．21≤≤x D ．0>x 【变式题组】12.若代数式 ()()2231a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围 是 ． 类型四 简单的二次根式的化简与求值 例5 （1）计算：()5313532 0-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----π （2）计算：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+483137512 （3）把()a b b a --1根号外的因式移到根号内结果为（ ）． A ．b a - B ．a b - C ．a b -- D ．b a -- 15.计算： 5022 145.0821+-- 16.计算：()1 03131312-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-- （1）化简： x x x x 1246932-+，并将自己喜欢的x 的值代入化简结果进行计算． （2）代数式a a 1-化简为（ ）． A ．a - B ．a -- C ．a D ．a -（3）化简22x x x --• 的结果为（ ）． A ．2--x B ．2+x C ．2+- x D ．2---x 例6 （1）先化简，再求值：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-÷+-ab b a ab b a b a 21222222，其中32+=a ，32-=b （2）已知正实数a ，b 满足：1=+b a ，且 41111-=+---+--+-a b a b a b a b ，则=b a 【变式题组】18.（1）已知13+=x ，13-=y ，则=-22y x ． （2）先化简，再求值：1221132+--÷⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---x x x x x ，其中2-=x 19.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n x 20071200721，n 是大于1的自然数，那么() n x x 21+-的值是（ ）． A ．20071 B ．20071- C ．()200711n - D ．()2007 11n -- 20.设0>m ，m x x =-- +13，则代数式13-++x x 的值是 （用m 表示）． 跟踪训练 1.函数1 1--=x x y 自变量x 的取值范围是 ． 2.若代数式()2 31-+x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．1-≥x B ．1-≥x 且3≠x C ．1->x D ．1->x 且3≠x 3.计算：9182132--+⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-- 4.先化简，再求值： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-x y y x 111，其中23+=x ，23-=y 5.若 11=-a a ，则a a +1的值为（ ） A ．5 B ．5± C ．3 D ．3± 6.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()2 21223+=+．善于思考的小明进行了以下探索： 设()222n m b a +=+（其中a 、b 、m 、n 均为整数）， 则有22222 2mn n m b a ++=+．