35曲面的主方向和曲率线曲面上一点P的两个方向,如果它-文档资料
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dv2 dudv du2
E F G 0
L MN
曲率线:曲面上曲线C每一点的切方向是主方向,则 称C是曲面的曲率线
曲面上曲率线的微分方程
dv2 dudv du2
E0
F0 G0 0
L0
M0 N0
如果曲面在某一点处有 E F G . 这种点称为曲
面的脐点.
LM N
我们把 L,M,N 不同时为零的脐点称为圆点.容易证明 球面上的每一点都是圆点. L=M=N=0的点是平点
L kN E
因du,dv有非零解有主曲率 k N 满足 M kN
M kN F N kNG
0
即 （EG F 2）k 2N (LG 2MF NE)kN (LN M 2 ) 0
由于主曲率 k1、k2 满足下面方程
（EG F 2）k 2N (LG 2MF NE)kN (LN M 2 ) 0
现在求极小旋转曲面，即H=0的旋转曲面
旋转曲面
即
即
积分后可得
即
但这两式实为同一式:
为悬链面．在形状上，它很像压扁的旋转单叶双曲面
3.7.曲面在一点邻近的结构
(1) 在曲面的椭圆点处，其邻近的形状近似于椭 圆抛物面.
(2)在曲面的双曲点处，其邻近的形状近似于双 曲抛物面.
(3)在曲面的抛物点处，主方向的法截先分别近 似于抛物线n 和立方抛物线.
III 2HI KI 0
高斯曲率的几何意义
定理 曲面上P点邻近的区域 的球面表示是 *
当 接近曲面上以知点P时，面积 * 与面积
之比，接近曲面在P点的高斯曲率的绝对值。即
证明：
KP
lim P
* 的面积 的面积
的面积 ru rv dudv
*的面积 nu nv dudv
等式右边的积分区域 为曲纹坐标 u, v 的
同样可考虑它的第一基本形式，即第 三基本形式
曲面的球面表示的第一基本形式称为曲面的第三基 本形式记为
III e du2 2 fdudv g dv.2
e nu nu , f nu nv,g nv nv e、f 、g叫做曲面的第三基本量.
注：第三基本形式也是不变量
高斯曲率、平均曲率及曲面的三个基本形式满 足下述线性关系：
nv ru nv rv
rv ru rv rv
即 LN M 2 (EG F 2 ), 有 LN M 2 K,
EG F 2
所以 nu nv K (ru rv ).
所以 nu nv K ru rv 代入得
*的面积 K ru rv dudv
应用二重积分的中值定理,就有
说明 dn在切平面上，于是dn dr r.
将等式两边点乘 r, 并且注意 dn r 0（共轭性）
以及 dr r 0 (正交性），得到 ( r)2 0,
因此 0,
由此 dn dr.
再把等式两边点乘 dr,得dr dn dr2,
由此得 k.
再证定理的后半部分：
设方向 (d) 满足 dn dr,
由韦达定理有
k1
k2
Ln M 2 EG F 2
k1
k2
(LG 2MF NE) （EG F 2）
曲面的高斯曲率、平均曲率
设 k1、k2 为曲面上一点的两个主曲率,则它们的乘
积称为曲面在这一点的高斯曲率,通常以K表示.它们
的平均数称为曲面在这一点的平均曲率,通常以 H
表示.
K
k1 k2
LN M 2 EG F 2
N G
设方向d与与第一主方向（u线δ v=0）的夹角为θ
cos
Edu u F (du v dv u) Gdv v
.
Edu2 2Fdudv Gdv2 E u2 2F u v G v2
cos
Edu u
.
Edu2 Gdv2 E u2
cos2 Edu2 ,sin2 Gdv2
Edu2 Gdv2
变化区域,而 u, v 同时为这两个积分中的
参数.由于向量积 ru rv和nu nv
分别是曲面与球面的法向量,且因对应法线互相平行,
nu nv (ru ru ).
两边点乘向量 ru rv 有 (nu nv)(ru rv) (ru rv)(ru rv).
由拉格朗日等式有 nu ru nu rv ru ru ru rv ,
现在只要证明它是主方向．假设方向 ( ) 垂直(d) 等式 dn dr的两边点乘 r，得dn r 0,
这表示方向 (d)和( )是共轭的.
因此 (d)和( ) 不仅正交，而且共轭，所以它们 都是主方向． 命题５曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要
条件是 F M 0.
证明：F 0是由于坐标网是正交的，M 0是由于它们共轭。
主方向的判别定理(罗德里格(Rodrigues)定理) 如果方向 (d) (du : dv) 是主方向,则
dn dr,
其中 kn , kn 是曲面沿方向 (d) 的法曲率.
反之,如果对于方向 (d) 有
则 dn dr,
(d)是主方向，且=-kn, kn是沿方向（d）的法曲率.
证明:设
( )是垂直于(d)的另一主方向.由n n 1,两边微分得n dn 0.
Edu2 Gdv2
kn
L E
Edu 2 Edu2 Gdv2
N G
Gdv2 Edu2 Gdv2
k1 cos2 k2 sin2
欧拉公式:曲面一点处沿方向的法曲率，与该 点处的两个主曲率有以下关系
kn k1 cos2 k2 sin2
定理 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有 方向的法曲率的最大值和最小值。
*的面积 KQ ru rv dudv KQ ( 的面积),
其中 KQ 表示高斯曲率在区域 中某一内点的 Q 值.
现在让区域 趋于点P，这时点Q也趋于P，于是上式得
*的面积
lim
P
的面积
lim P
KQ
lim
QP
KQ
KQ
P.
由此得到曲面 P点的高斯曲率杂绝对值的几何意义
是单位球面上的区域 * 的面积与曲面上的对应区
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的 主曲率。由于主方向即曲率线方向，所以主曲率也 即沿曲率线方向的法曲率。
取坐标网为曲率线网，这时沿方向 (d) 的法曲率为
kn
Ldu 2 Edu 2
Ndv2 Gdv2
沿u线v线的主曲率分别为
k1
L E
, k2
n
k2
k1 o
k2
k1
3.8 高斯曲率的几何意义
曲面的球面表示：曲面Σ上每一点都有单位法向 量n，把所有点的法向量n都平移到原点，此时n 的轨迹是一个球心在原点半半径为1的球面（或 部分）我们曲面上点与球面上点的这种对应称为 曲面的球面表示（高斯映射）。
n n(u,v)(u, v) D 是一个新的曲面S
域 的面积之比值,当 趋于P时的极限.
H
1 2 (k1
k2)
LG 2MF NE 2(EG F 2)
每一点的平均曲率为零的曲面称为极小曲面
例 对于给定曲面，若曲面上每一点处的平均曲率H=0， 则该曲面称为极小曲面．可以证明，以空间闭曲线为 边界的曲面域中，面积最小的曲面是极小曲面，即平 均曲率为0的曲面．极小曲面的实际模型是将空间中 弯曲成闭曲线的铅丝浸入肥皂溶液中，取出时所得的 皂膜曲面．
3.5曲面的主方向和曲率线
曲面上一点P的两个方向,如果它们既正交又共轭,则 称为曲面在P点的主方向.
设 (d )和( ) 是P点的主方向,则有
Edu u F (du v dv u) Gdv v 0
Ldu u M (du v dv u) Ndv v 0 即 (Edu Fdv) u (Fdu Gdv) v 0 (Ldu Mdv) u (Mdu Ndv) v 0 由方程组有非零解得主方向满足关系式
证明:设方向d与与第一主方向（u线δ v=0）的夹 角为θ
不妨设k1k2 ,由kn k1 cos2 k2 sin2 k2 kn (k2 k1) cos2 0, k2 kn
同理kn k1,k1 kn k2
下面给出主曲率的计算公式
由罗德里格定理dn=λdr,有
nudu nvdv kN (rudu rvdv) runudu runvdv kN (rurudu rurvdv) rvnudu rvnvdv kN (rvrudu rvrvdv) (L EkN )du (M FkN )dv 0 (M FkN )du (N GkN )dv 0
E F G 0
L MN
曲率线:曲面上曲线C每一点的切方向是主方向,则 称C是曲面的曲率线
曲面上曲率线的微分方程
dv2 dudv du2
E0
F0 G0 0
L0
M0 N0
如果曲面在某一点处有 E F G . 这种点称为曲
面的脐点.
LM N
我们把 L,M,N 不同时为零的脐点称为圆点.容易证明 球面上的每一点都是圆点. L=M=N=0的点是平点
L kN E
因du,dv有非零解有主曲率 k N 满足 M kN
M kN F N kNG
0
即 （EG F 2）k 2N (LG 2MF NE)kN (LN M 2 ) 0
由于主曲率 k1、k2 满足下面方程
（EG F 2）k 2N (LG 2MF NE)kN (LN M 2 ) 0
现在求极小旋转曲面，即H=0的旋转曲面
旋转曲面
即
即
积分后可得
即
但这两式实为同一式:
为悬链面．在形状上，它很像压扁的旋转单叶双曲面
3.7.曲面在一点邻近的结构
(1) 在曲面的椭圆点处，其邻近的形状近似于椭 圆抛物面.
(2)在曲面的双曲点处，其邻近的形状近似于双 曲抛物面.
(3)在曲面的抛物点处，主方向的法截先分别近 似于抛物线n 和立方抛物线.
III 2HI KI 0
高斯曲率的几何意义
定理 曲面上P点邻近的区域 的球面表示是 *
当 接近曲面上以知点P时，面积 * 与面积
之比，接近曲面在P点的高斯曲率的绝对值。即
证明：
KP
lim P
* 的面积 的面积
的面积 ru rv dudv
*的面积 nu nv dudv
等式右边的积分区域 为曲纹坐标 u, v 的
同样可考虑它的第一基本形式，即第 三基本形式
曲面的球面表示的第一基本形式称为曲面的第三基 本形式记为
III e du2 2 fdudv g dv.2
e nu nu , f nu nv,g nv nv e、f 、g叫做曲面的第三基本量.
注：第三基本形式也是不变量
高斯曲率、平均曲率及曲面的三个基本形式满 足下述线性关系：
nv ru nv rv
rv ru rv rv
即 LN M 2 (EG F 2 ), 有 LN M 2 K,
EG F 2
所以 nu nv K (ru rv ).
所以 nu nv K ru rv 代入得
*的面积 K ru rv dudv
应用二重积分的中值定理,就有
说明 dn在切平面上，于是dn dr r.
将等式两边点乘 r, 并且注意 dn r 0（共轭性）
以及 dr r 0 (正交性），得到 ( r)2 0,
因此 0,
由此 dn dr.
再把等式两边点乘 dr,得dr dn dr2,
由此得 k.
再证定理的后半部分：
设方向 (d) 满足 dn dr,
由韦达定理有
k1
k2
Ln M 2 EG F 2
k1
k2
(LG 2MF NE) （EG F 2）
曲面的高斯曲率、平均曲率
设 k1、k2 为曲面上一点的两个主曲率,则它们的乘
积称为曲面在这一点的高斯曲率,通常以K表示.它们
的平均数称为曲面在这一点的平均曲率,通常以 H
表示.
K
k1 k2
LN M 2 EG F 2
N G
设方向d与与第一主方向（u线δ v=0）的夹角为θ
cos
Edu u F (du v dv u) Gdv v
.
Edu2 2Fdudv Gdv2 E u2 2F u v G v2
cos
Edu u
.
Edu2 Gdv2 E u2
cos2 Edu2 ,sin2 Gdv2
Edu2 Gdv2
变化区域,而 u, v 同时为这两个积分中的
参数.由于向量积 ru rv和nu nv
分别是曲面与球面的法向量,且因对应法线互相平行,
nu nv (ru ru ).
两边点乘向量 ru rv 有 (nu nv)(ru rv) (ru rv)(ru rv).
由拉格朗日等式有 nu ru nu rv ru ru ru rv ,
现在只要证明它是主方向．假设方向 ( ) 垂直(d) 等式 dn dr的两边点乘 r，得dn r 0,
这表示方向 (d)和( )是共轭的.
因此 (d)和( ) 不仅正交，而且共轭，所以它们 都是主方向． 命题５曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要
条件是 F M 0.
证明：F 0是由于坐标网是正交的，M 0是由于它们共轭。
主方向的判别定理(罗德里格(Rodrigues)定理) 如果方向 (d) (du : dv) 是主方向,则
dn dr,
其中 kn , kn 是曲面沿方向 (d) 的法曲率.
反之,如果对于方向 (d) 有
则 dn dr,
(d)是主方向，且=-kn, kn是沿方向（d）的法曲率.
证明:设
( )是垂直于(d)的另一主方向.由n n 1,两边微分得n dn 0.
Edu2 Gdv2
kn
L E
Edu 2 Edu2 Gdv2
N G
Gdv2 Edu2 Gdv2
k1 cos2 k2 sin2
欧拉公式:曲面一点处沿方向的法曲率，与该 点处的两个主曲率有以下关系
kn k1 cos2 k2 sin2
定理 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有 方向的法曲率的最大值和最小值。
*的面积 KQ ru rv dudv KQ ( 的面积),
其中 KQ 表示高斯曲率在区域 中某一内点的 Q 值.
现在让区域 趋于点P，这时点Q也趋于P，于是上式得
*的面积
lim
P
的面积
lim P
KQ
lim
QP
KQ
KQ
P.
由此得到曲面 P点的高斯曲率杂绝对值的几何意义
是单位球面上的区域 * 的面积与曲面上的对应区
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的 主曲率。由于主方向即曲率线方向，所以主曲率也 即沿曲率线方向的法曲率。
取坐标网为曲率线网，这时沿方向 (d) 的法曲率为
kn
Ldu 2 Edu 2
Ndv2 Gdv2
沿u线v线的主曲率分别为
k1
L E
, k2
n
k2
k1 o
k2
k1
3.8 高斯曲率的几何意义
曲面的球面表示：曲面Σ上每一点都有单位法向 量n，把所有点的法向量n都平移到原点，此时n 的轨迹是一个球心在原点半半径为1的球面（或 部分）我们曲面上点与球面上点的这种对应称为 曲面的球面表示（高斯映射）。
n n(u,v)(u, v) D 是一个新的曲面S
域 的面积之比值,当 趋于P时的极限.
H
1 2 (k1
k2)
LG 2MF NE 2(EG F 2)
每一点的平均曲率为零的曲面称为极小曲面
例 对于给定曲面，若曲面上每一点处的平均曲率H=0， 则该曲面称为极小曲面．可以证明，以空间闭曲线为 边界的曲面域中，面积最小的曲面是极小曲面，即平 均曲率为0的曲面．极小曲面的实际模型是将空间中 弯曲成闭曲线的铅丝浸入肥皂溶液中，取出时所得的 皂膜曲面．
3.5曲面的主方向和曲率线
曲面上一点P的两个方向,如果它们既正交又共轭,则 称为曲面在P点的主方向.
设 (d )和( ) 是P点的主方向,则有
Edu u F (du v dv u) Gdv v 0
Ldu u M (du v dv u) Ndv v 0 即 (Edu Fdv) u (Fdu Gdv) v 0 (Ldu Mdv) u (Mdu Ndv) v 0 由方程组有非零解得主方向满足关系式
证明:设方向d与与第一主方向（u线δ v=0）的夹 角为θ
不妨设k1k2 ,由kn k1 cos2 k2 sin2 k2 kn (k2 k1) cos2 0, k2 kn
同理kn k1,k1 kn k2
下面给出主曲率的计算公式
由罗德里格定理dn=λdr,有
nudu nvdv kN (rudu rvdv) runudu runvdv kN (rurudu rurvdv) rvnudu rvnvdv kN (rvrudu rvrvdv) (L EkN )du (M FkN )dv 0 (M FkN )du (N GkN )dv 0