高中数学 每日一题(6月5日6月11日)文 新人教A版选修12

6月5日复数的分类
高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆
（1）若复数为实数，则实数的值为
A ．B．1 C ．或1 D ．或3 （2）设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数等于
A ．B．0 C．1 D．2
（3）已知复数
1i
3i
a
z
+
=
-
是纯虚数，其中
i为虚数单位，a∈R，则z的虚部为
A．1B．1
-C．i D．i-
【参考答案】（1）B；（2）B；（3）A．
【试题解析】（1）由题意可得：且，解得．故选B．
（2）因为为纯虚数，所以，故选B．
（3）因为
1i(3)(31)i
3i10
a a a
z
+-++
==
-
是纯虚数，所以30
a
-=，所以i
z=，故z的虚部为1，故选A．【解题必备】复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部应满足的方程（组）即可．需要注意的是：讨论一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部都是有意义的，如分母不能为零、真数大于零等．
1．已知t∈R，若复数
1i
1i
t
z
-
=
+
（i为虚数单位）为实数，则|3i|
t
+=
A．2B．4C．6D．8
2．已知复数22
ln(22)(318)i
z m m m m
=--++-，①若z是实数，则实数m=______________；②若z是纯虚数，则实数m=______________．
3．已知复数14i
z a
=-，
2
86i
z=+，若1
2
z
z为纯虚数，则实数
a=______________，复数
1
z的平方根为______________．
1．A 【解析】因为
1i(1i)(1i)(1)1i
1i(1i)(1i
(
)2
)
t t t t
z
-----+
===
++-
为实数，所以1
t=-，则
|3i ||3i |t +=-2=
．故选A ．
2．3或6- 1- 【解析】若z 是实数，则23180m m +-=且2220m m -->，解得3m =或6m =-； 若z 是纯虚数，则2
ln 20()2m m --=且23180m m +-≠，解得1m =-．
【名师点睛】复数在高考中是必考题，主要考查复数的概念、复数的几何意义、复数的四则运算法则，其中最基础的是复数的分类：i(,)z a b a b =+∈R ，①若z 是实数，则0b =；②若z 是虚数，则0b ≠；③z 是纯虚数，则0a =且0b ≠．求解此类问题时，只要把z 化为标准形式：i(,)a b a b +∈R ，然后按上述分类讨论即可．
3．3 2i -或2i -+ 【解析】由题可得
124i (4i)(86i)26(316)i 86i (86i)(86i)2550z a a a a z ----+===-++-，因为1
2
z z 为纯虚数，所以260a -=且3160a +≠，解得3a =，故134i z =-．设复数1z 的平方根为
i(,)a b a b +∈R ，则221(i)(i)2i 34i a b a b a b ab z ++=-+==-，所以223a b -=且24ab =-，解
得2
1a b =⎧⎨
=-⎩或21
a b =-⎧⎨=⎩，故复数1z 的平方根为2i -或2i -+．
6月6日 复数相等的充要条件
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且2(14)i 45i b a +-=+，则a b -的值为 A ．1 B ．1- C ．3
D ．3-
（2）已知，其中是实数，是虚数单位，则
A ．0
B ．2
C ．2
D ．无法求解
（3）已知a ，b ∈R ，2i 1=-，则“1a b ==”是“2
22i
(i)1i
a b ++=-”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【参考答案】（1）D ；（2）C ；（3）A ． 【试题解析】（1）因为，所以根据复数相等的概念可得：
且
，解
得
，
，所以
．故选D ．
（2）根据实部与实部相等、虚部与虚部相等，可得1
x x y
=⎧⎨=⎩，所以
，那么，
故选C ．
（3）22222
1022i (i)2i ()2i 11i 22a a b a b a b ab b ab =⎧-=⎧+=+⇔=-+⇔⇔⎨⎨=-=⎩⎩
或11a b =-⎧⎨=-⎩，因此“1a b ==”
是“2
(i)2i a b +=”的充分不必要条件，故选A ．
【解题必备】（1）复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程（组）来求未知数的值．
（2）复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求参数．解题时，将两个复数分别分离实部与虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解． 1．已知
i
i 1i
a b =++，a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|i |a b -= A ．1
B ．
12
C 2
D 2
2．若
1i
1i i
m n +=+，m ，n ∈R ，i 是虚数单位，则mn 的值为______________． 3．若a 为实数，且
，则
______________．
1．D 【解析】由
i i 1i a b =++可得i (1i)(i)()()i a b a b a b =++=-++，则01
a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1
2a b ==，所以2211112
|i ||
i |()()22222
a b -=-=+-=
，故选D ． 2．1- 【解析】因为
1i
1i i m n +=+，所以1i 1i 11
m m n mn n =⎧-=+⇒⇒=-⎨
=-⎩，故填1-． 3．2 【解析】由可得
，即
，则
，故
填．
6月7日 复数的几何意义
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆
（1i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（2）已知复数z 满足(2i)2i z +=-(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（3(i 为虚数单位)，则复数(3)i z a a =+-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ．
【试题解析】（1）所以复数3i
i 1
-+的共轭复数为12i +，对应的点(1,2)位于第一象限．故选A ．
（2D ．
（3）所以2020a a -=⎧⎨+≠⎩
，解得2a =，则(3)i 2i z a a =+-=-，对应的点(2,1)-位于第四象限．故选D ．
【解题必备】复数与复平面内的点之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点（有序实数对）． 复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
1．已知i 是虚数单位，23i z =-，则31
z z
-在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(2,1)A -，(,3)B a ．
（1a =______________；
（2）复数12z z z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，则a =______________．
1．B 【解析】31z z -=3(23i)1(512i)(23i)1(479i)(23i)121123i
23i 23i 1313
----------+===
++，所以z 在复平面内对应的点为121123
(,)1313
-
，位于第二象限．故选B ． 2．B 【解析】因为201822017i i (1i)11i 1i 1i (1i)(1i)22z --====-++++-，所以z 在复平面内对应的点为
11
(,)22
-，位于第二象限．故选B ．
3．3-或1- 9- 【解析】（1）由复数的几何意义可得12i z =-+，23i z a =+，故
12||z z -=22|22i |(2)(2)5a a ---=--+-=，解得3a =-或1a =-．
（2）12(2i)(3i)(23)(6)i z z z a a a =⋅=-+⋅+=--+-，因为复数12z z z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，所以点(23,6)a a ---在直线y x =-上，即6(23)a a -=---，解得9a =-．
6月8日 复数的四则运算
高考频度：★★★★★ 难易程度：★★☆☆☆
（1）已知i 为虚数单位，则复数12i
i
+的虚部是 A ．1
B ．i
C ．1-
D ．i -
（2）复数
2
i(3i)
=-
A ．
13i
5-
B ．
13i
5
+ C ．
3i
5
+ D ．
3i
5
- （3）已知i 是虚数单位，若(1i)13i z +=+，则z = A ．2i +
B ．2i -
C ．1i -+
D ．1i --
【参考答案】（1）C ；（2）A ；（3）B ． 【试题解析】（1）复数
2i i 12i (12i)i 2i 2i 1
++-+===--，其虚部为1-，故选C ． （2）
222(13i)13i
i(3i)13i (13i)(13i)5
--===-++-，故选A ．
（3B ． 【解题必备】（1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算；复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算，注意要把i 的幂化成最简形式．
（2）复数的四则运算法则与实数的运算法则类似，需要注意的是i 的整数次幂的运算具有周期性，周期为4，即41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i
1()n
n =∈*N ；4414243i i i i 0()n n n n n ++++++=∈*N ．
1．设复数z 满足(1i)2i z +=，i 是虚数单位，则||z =
A
B ．2
C ．1
D
2
A
B C
D
3．已知复数1i z b =+，其中b 为正实数，i 为虚数单位，若2
(2)z -z =___________，ω=___________，||ω=___________．
1．A 【解析】因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)
z -=
==+++-，所以||2z =，故选A ． 2．D 【解析】2222
13i 13i 13i (13i)123i 3i 13
i 2444(3i)323i i 223i 2(13i)(13i)
-----+=====--⨯+++++-，故选D ． 3．1i +
31i 55+ 105
【解析】因为222
(2)(1i)12i z b b b -=-+=--为纯虚数，所以210b -=且20b -≠，解得1b =或1b =-（舍去），所以1i z =+，1i (1i)(2i)31
i 2i 2i 555
z ω++-=
===+++，所以223110
||()()555
ω=
+=
．
6月9日框图
高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆
（1）如图所示是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中应依次填入
A．整理数据、求函数关系式B．画散点图、进行模型修改
C．画散点图、求函数关系式D．整理数据、进行模型修改
（2）某公司的组织结构图如下图所示，则开发部的直接领导是______________．
【参考答案】（1）C；（2）总经理．
【试题解析】（1）用函数拟合解决实际问题的流程图的基本步骤是：收集数据、画散点图、选择函数模型、求函数关系式、检验（符合实际的可用来解决实际问题，不合理的应重新选择函数模型），故矩形框中应依次填入：画散点图、求函数关系式，故选C．
（2）从题设中提供的组织结构图可以看出开发部的直接领导是总经理，答案应填总经理．
【解题必备】《课程标准》对本节的要求是：通过具体实例，进一步认识程序框图，了解工序流程图；能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．高考对本节内容的考查重点是程序框图的读图问题，一般不对工序流程图和实际问题的流程图进行考查．
1．下列框图能正确反映人教A版《必修1》中指数幂的推广过程的是
A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
2．某公司的组织结构图如下图所示，则信息部被____________直接领导．
3．把两条直线的位置关系依次填入下图中的M、N、E、F中，正确的顺序为____________．（填序号）
①平行；②垂直；③相交；④斜交．
1．A 【解析】先学习整数指数幂，再扩展到有理数幂，最后扩展到无理数指数幂，故选A．
2．总工程师【解析】根据给定的组织结构图，可知信息部从属于总工程师，故填总工程师．
3．①③②④或①③④②【解析】平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交，所以依次填入图中的M、N、E、F中，正确的顺序为①③②④或①③④②．
6月10日 周六培优测试 测试时间：20分钟 满分：50分
一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知i 为虚数单位，则复数 A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3
D ．7-，3i
2．已知i 为虚数单位，(1i)1i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．i B ．i - C ．2i
D ．2i -
3．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数2i
1i
a -+为纯虚数，则实数a = A ．2- B ．0 C ．1
D ．2
4z 的共轭复数，i z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将正确的答案填在题中的横线上． 5．若实数x ，y 满足3(23)i 5i x y x y -++=+，i 为虚数单位，则2x y -=_______________．
6z 的共轭复数，i 为虚数单位，若2
(1i)12i z -⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点为_______________．
7．已知i _______________．
三、解答题：本大题共2小题，共15分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 8．（本小题满分8分）
已知虚数z 满足25|10|||z z +=+．
（1）求||z；
（2）是否存在实数m，使得z m
m z
+为实数，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）若(12i)z
-在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z．
9．（本小题满分7分）
目前某省高考科目分为文科和理科，文科包括：语文、文科数学、英语、文科综合（政治、历史、地理）；
理科包括：语文、理科数学、英语、理科综合（物理、化学、生物）．请画出该省高考科目结构图．
1．A 【解析】因为37i i(37i)
73i i 1
z ++=
==--，所以z 的实部与虚部分别为7，3-，故选A ． 2．B 【解析】由题可得2
1i (1i)i 1i (1i)(1i)
z ++=
==--+，所以复数z 的共轭复数为i -，故选B ． 3．D 【解析】
2i (2i)(1i)2(2)i 22i 1i (1i)(1i)222a a a a a a -----+-+===-++-，因为2i
1i
a -+为纯虚数，所以202a -=且2
02
a +-≠，解得2a =，故选D ． 4．B 43i (43i)(12i)211i 12i (12i)(12i)55z ---=
==--++-，则211
i 55
z =-+211
,(5)5
-，位于第二象限，故选B ． 5．4 【解析】因为实数x ，y 满足3(23)i 5i x y x y -++=+，所以35
231x y x y -=⎧⎨+=⎩
，解得21x y =⎧⎨=-⎩，所以
2x y -4=，故填4．
6
．
1
(1,)
2
-- 【解析】因为复数
z
满足
2(1i)12i
z -⋅=+，所以
22
12i 12i (12i)i 2i (1i)2i 2i 2z +++-+=
====---11i 2-+，1
1i 2
z =--，故在复平面内复数z 对应的点为1(1,)2--，故填1(1,)2
--．
7．2i 556
-+ 【解析】由题意可得
2017(12i)212i i i i i i 12i 12i (12i)(12i i i )5555i 6++=+=+=-++=-+---+．故填2i 55
6
-+． 8．（1）||5z =；（2）存在，5m =±；（3）10310
i 22
z =-或10310i 22z =-+． 【解析】设i(,z x y x y =+∈R 且0)y ≠，
（1）因为25|10|||z z +=+，即252i |||10i |x y x y ++=++， 所以2
2
2
2
(25)4(10)x y x y ++=++，化简得2
2
25x y +=， 所以22||5z x y =
+=．（2分）
（2）由题易得2222()()i z m x mx y my m z m x y m x y
+=++-++， 因为z m
m z
+为实数，所以220y my m x y -=+， 又0y ≠且2
2
25x y +=，所以1025
m
m -=，解得5m =±． 故存在实数5m =±，使得
z m
m z
+为实数．（5分） （3）易得(12i)(12i)(i)(2)(2)i z x y x y y x -=-+=++-，
因为(12i)z -在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，所以22x y y x +=-，即3y x =-，
由22253x y y x ⎧+=⎨=-⎩，解得102
3102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或10
2
3
102
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故复数10310
i 22
z =
-或10310i 22z =-+．（8分） 9．【解析】该省高考科目结构图如下图所示：
（7分）
6月11日周日培优测试
测试时间：20分钟满分：50分
一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知复数
2
i(3i)
z=
-
，i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设i
A．1B
C D．2
3．已知复数
2
1i
z=
-+
，i为虚数单位，则下列说法正确的是
A．||2
z=B．z的虚部为i-C．z对应的点位于复平面的第三象限D．2
z z⋅=
4i为虚数单位，则复数z的虚部为
A B
C D
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将正确的答案填在题中的横线上．
5．设i为虚数单位，a∈R，若复数
2i
a+是纯虚数，则实数a=_______________．
6．已知n∈R，i n=_______________．
7．若复数z满足||2
z=，i_______________．三、解答题：本大题共2小题，共15分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．（本小题满分7分）
已知复数z满足(13i)(1i)4
z=-+--，i为虚数单位．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若i z a ω=+，且复数ω的模不大于复数z 的模，求实数a 的取值范围．
9．（本小题满分8分） 已知z 为复数，32i z ++和i 为虚数单位． （1）求复数z ；
（2）若复数2
(i)z m -在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．
1．D 【解析】222(13i)26i 13
i i(3i)13i (13i)(13i)1055
z --=
====--++-，易得复数z 在复平面内对应的点位
于第四象限，故选D ．
2．A 【解析】21i (1i)i 1i (1i)(1i)z --===-++-，所以||1z =，故选A ．（或|1i |2
||1|1i |2
z -===+） 3．D 【解析】复数22(1i)
1i 1i (1i)(1i)
z --=
==---+-+--，故||2z =z 的虚部为1-，z 对应的点位于第二象限，(1i)(1i)2z z =---+=⋅，故选D ． 4．D 【解析】由题意可得i(13i)3i 31i 13i (13i)(i 1013i)1010z -+=
===+++-，则复数z 的虚部为110
．故选D ． 5．1 【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a ++=+=-+--+，若复数2i 1i
a +-是纯虚数，则10a -=，即1a =．故填1．
6．12 【解析】由题可得
11i 111i i 1i (1i)(1i)222n -==-=-++-，根据复数相等的充要条件，可知1
2
n =． 7．[0,4] 【解析】设(i ,)z a b a b =+∈R 222a b +=，即224a b +=，可知点,()Z a b 的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|13i |z ++表示点,()Z a b 到点(1,3)--的距离，因为(1,3)--在||2z =这个圆上，所以距离的最小是0，最大是直径4，故|13i |z ++的取值范围是[0,4]． 8．（1）z =24i --；（2）[8,0]-．
【解析】（1）因为1i 3i 3424i z =-+++-=-+，所以复数z 的共轭复数z =24i --．（3分） （2）由（1）知24i z =-+，所以22(2)42||5z -==+，
因为24i i 2(4)i a a ω=-++=-++，所以224(4)208||a a a ω=++=++，（5分） 因为复数ω的模不大于复数z 220825a a ++
即(8)0a a +≤，解得80a -≤≤，故实数a 的取值范围为[8,0]-．（7分）
9．（1）12i z =-；（2）(,3)-∞-． 【解析】（1）设复数i(,)z a b a b =+∈R ，
由题意可得32i (3)(2)i z a b ++=+++∈R ，所以20b +=，即2-=b ．（2分）
，所以20a b +=， 结合2-=b ，可得12
=-=b a ，所以12i z =-．（4分）
（2）2
2
2
(i)[1(2)i]1(2)2(2)i z m m m m -=-+=-+-+，（5分） 因为2(i)z m -在复平面内对应的点位于第二象限，
所以21(2)02(2)0
m m ⎧-+<⎨-+>⎩，解得3m <-，所以实数m 的取值范围为(,3)-∞-．（8分）。