《同角三角函数的基本关系式》课堂实录

《同角三角函数的基本关系式》课堂实录
师：在前面我们学习了三角函数的定义，包括代数定义和几何定义也就是三角函数线，今天我们将用已经学习过的这个知识来推导“同角三角函数的基本关系式”，看看同一个角α的正弦、余弦和正切，即αsin 、αcos 和αtan 它们之间有什么关系。

（板书课题：同角三角函数的基本关系式）
环节一、展示学习目标，指引自学方向：
（投影教学目标，课代表朗读，并布置自学任务：5分钟学完课文。

）
（师在学生看书的第3分钟时展示问题，激发学生思考。

）
环节二、探求新知
师：好！我们请XXX 同学谈一谈你的发现。

生1：我根据三角函数的定义：x y r x r y ===αααtan ,cos ,sin 发现：αααcos sin tan = 并且也能用三角函数线验证。

（生1在黑板上画单位圆，讲验证方法，师适当补充。

） （师板书：1、弦切关系：α
ααcos sin tan =） 生2：老师，这个知识在初中时学过了！
师：哦！对，学习注意知识的前后联系，很好！那么你有新的发现吗？
生2：我发现1c o s s i n 22=+αα，因为由定义22
2222
c o s ,s i n r x r y ==αα，而1c o s s i n 222
222222222
2=++=+=+=+y x y x r y x r x r y αα。

生3：老师，我知道1cos sin 2
2=+αα的另一个验证方法——勾股定理。

（生3急忙上黑板，在生1作图的基础上比划。

）
（师板书：2、平方关系：1cos sin 22=+αα）
师：你们能做的这么完美非常棒！可见大家都是经过了认真的思考了！那么老师要问你们几个深奥的问题了！请听好！1cos sin 22=+βα成立吗？为什么？
生4：不成立！因为βα、不是同一个角。

师追问生4：那么14cos 4sin 22=+++）（）（απ
απ
成立吗？
生4:继续回答：成立！因为角都是
απ+4，是同角。

师继续问：是不是说1cos sin 22=+（）（）
都成立，只要（ ）里的角相同？ 生4和其他学生：就是这个意思！ 师：α
ααcos sin tan =关系中也这个意思，不管α取任何值，也不管它是个表达式，只要角相同就行，对吗？
（学生答“对”，师手指停在αcos 上，等待；马上有机灵的学生反应过来。

）
生5：不对，分母αcos 不能为0，即Z k k ∈+≠,2ππ
α。

师：对喽！还是你们厉害，这个陷阱藏这么隐蔽都能找出来，要知道αtan 的定义域问题是很多老师出题的拿手好戏！
环节三、新知应用
师：下面我们对这两个关系进行实用性的检验，请用它们解决以下问题。

板书：例1.已知3sin 5
α=-,是第四象限角且α，求cos ,tan αα的值。

学生思考2分钟后生6上前写解题过程。

（大致同教材，较长！）没有学生修改了。

师：过程有点长了，占了半个黑板！我都没地方写了，（略显为难，主要看向生6）咱们把这个过程缩减一下吧？
由1cos sin 22=+αα知，αα2
2sin 1cos -=，开方得αα2sin 1cos -±=（*）因此此题的解法为：4
3cos sin tan 54531sin 1cos 2
2-===⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=∴αααααα是第四象限角
解 学生赞叹数学的简洁美！
接下来老师依次给出以下变形练习，以巩固知识。

变式练习1、已知12
5cos =
α,是第四象限角且α，求αsin 、αtan 的值。

变式练习2、已知125cos =α，求αsin 、αtan 的值。

板书例2.已知3tan =α，求ααcos ,sin 的值。

学生解：由3tan =α知ααcos 3sin =且角α是第一、三象限角，代入平方关系1cos sin 22=+αα得4
1cos 2=α，再根据角的象限分类讨论可得解。

师再次引导学生化简步骤，先引证()1cos tan 122=+αα从而得到αα2tan 11cos +±
=（**），达到简化的目的。

学生再次感受到数学的简洁美！
师把推导出的实用公式（*）和（**）整理到黑板上。

环节四、小结提升
1、同角三角函数的基本关系式：弦切关系α
ααcos sin tan =和平方关系1cos sin 22=+αα中 sin ,cos ,tan ααα三者知一求二.
2、知值求值问题的两个进化公式：αα2sin 1cos -±=（或αα2cos 1sin -±=）和αα2tan 11
cos +±=、ααα2tan 1tan tan +±=。

3、“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角的关系式都成立。

与角的表达式无关；2.三角函数值的符号由角所在的象限决定。

课后反思：本课内容涉及复习旧知推出新知再在应用中提升知识，量大充实，知识应用中训
练的思想方法多，并且学生在学习过程中很愉快且有明显的成就感。

基本达到了高效的目的。

但是，教师表扬学生的技巧还不熟练，组织教学还不能做到照顾到每个学生，有时课堂会被几个反应快的学生带着走。