流体力学讲义8-4

(B)
(D)-(C)后对y积分：
x uU
0


e
u dy

vU
e
u

0

dU dx
e
0 U e
0

u d y
u y

0
边界条件： y=0：u=0，v=0；y=， u U e , 积分式中
v U e u
0
u y
， u 0
(2) 动量积分方程的求解步骤
第一步：选定边界层内的速度分布函数
f
y f
，可用多项式近似，如：

n0
N
a
n
n
,

y
1
第二步：应用合理的边界条件确定速度分布函数中的系数： （1）壁面上：
y 0: u 0,
u
2
y
2 y0

1 dp
dx
边界层理论
x
V 5x R ex
0 .9 9
5

表面摩擦应力
w
0 .3 3 2 R ex
V
2
C
f

w
1 2
V
2

0 .6 6 4 R ex
摩擦阻力
D

L 0
wdx
0 .6 6 4 R eL
V L
2
CD
w
1 2
V L
2

1 .3 2 8 R eL
§8.6
y
0

u y
， u 0
y
y0
w
可得积分式：
dx
d
0
u U e u d y
dU e dx
U
0

e
u dy
w
§8.6
d dx
边界层理论
w

0
u U e u d y
dU e dx
2
H

dU e dx

w U e
2
称为Karman动量积分关系式或动量积分方程。
§8.6
d 2 dx
边界层理论
w U e
2
2、卡门动量积分关系式的求解
1 dU e U e dx
1 2 2
w
1
u y
y0

0
u 1 dy Ue u u 1 dy Ue Ue

0
U e u d y
1
2

0
0
u 1 dy Ue

u u 1 dy Ue Ue
U dx
d
2 e
2 Ue

dU e dx
1
w
引进形状因子 H 1 / 2 ：
d2 dx

2
Ue
最后一个是零压强梯度条件，它们可写作：
f 0 0 , f 0 0 , f 1 1 , f 1 0
§8.6
由此可得：
a 1 2
边界层理论
dp
（复习）
3、边界层积分方程求解举例---（ dx 0 平板边界层）
, b 0, c 3 2 , d 0
u x
u x

v y
0
( A ) u B
u
2
x

uv y
U
dU
e
e

u
2
dx
y
e
2
(C )
u
v
u y
U
dU
e
e


( A) U e
2
uU e x
u
2

U ev y
u
dU dx
(D )
dx
y
2
f
Ue u Ue f
x, y
x, y
u x
y
2

y 0:
y :
u v 0
u Ue x
m
速度剖面具有相似性 自变量：2 方程：偏微分 1 常微分
U e Cx
§8.6
2、Blasius解
U e V co n st
0
p x u
2
v
u y
为抛物型；
边界层内的压强由外流场给 定：
y
2
p y
0
2、边界条件
p x


1 2
U e x
2 1 2

p0 p0
*
y 0 :
u v 0
p
*
x
U e
* *
y
边界层理论
x
V




V x f

u V f

f f
v
1 2

V x
2 f f f 0 f 0 f 0 0 f 1
2

0
u u 1 dy Ue Ue
边界层的能量损失厚度 3
3

0
2 u u 1 2 dy Ue Ue
§8.6
1、相似性解的概念
u x
u
边界层理论
四、半无限长平板定常层流边界层的Blasius解
v y
v
u

0
u y Ue dU e dx u
速度分布？
（1）分析:
u U

y f
2

0
动量积分关系式中含有 H , 和
w 三个未知( 或
1, 2
)， w
但都和边界层内的速度分布有关, 若给定边界层内的速度分布， 积分方程只是变量 的常微分方程，很容易求解。
§8.6
边界层理论
u U

（复习）
4、实验验证及其局限性
边界层理论
1942年 Nikuradse风洞实验 零攻角平板边界层
平板前缘不成立 有限长平板后缘不成立 无穷远条件
郭永怀
CD
R eL 100
4 .1 2 R eL
1 .3 2 8 R eL
8.6 边界层理论 五. Karman动量积分关系式
1、 动量积分关系式推导-----平壁面为例 ，Ue=Ue(x)
*2
x
y :
u Ue
*
p x
U e
*
dUe dx
*
*
§8.6
边界层方程（有量纲形式）
u x
u u x
边界层理论

v y
0
u y dU
e
v
U
e

u
2
dx
y
2
y 0 :
y :
u v 0
u U
e
x
说明： 平板定常绕流的边界层方程，非定常情况： 有曲率的情况：

u U
f
3 2

1 2

3
（3） x 和 w 的确定 选定 f 函数并不意味着速度剖面完全确定了，需要确定 x 将速度剖面函数代入 1 ， 2 的定义

U e dU e


2

dx
（2）边界层外缘速度：
y :
u U e x,
u y
u
2
u
n
y
2
y
n
0
最重要的是：壁面条件和外缘渐近条件中的低阶导数项。 第三步：
3 4
将速度剖面函数代入定义式，求出由参数表示的厚度和壁面应力表达式； 第四步：
代入动量积分关系式，积分求出由参数表示的速度剖面函数，壁面应力等。
§8.6
边界层理论
（复习）
普朗特（1904）观察发现 贴近物面的薄层内流体流速很慢 薄层外与理想流体位势理论一致
边界层理论
§8.6
1、基本思想
边界层理论
（复习）
一、普朗特的边界层模型
将大雷诺数绕流分为两个区域 内流区： 紧贴壁面非常薄的一层，称为“边界层” 粘性力与惯性力同等重要，不能忽略 外流区： 边界层以外的整个流场 理想流体（无旋流动）
平板外无粘势流是均匀流，有
积分方程可简化为
d 2 dx

u
w U e
2
（1）设速度分布为：
U
f ,

y

选取函数 f，使之尽可能和真实速度剖面相吻合，令
f

n0
N
an
n
（2）确定N+1个系数 a
n
，以三次多项式为例：令多项式满足最主要的
(N+1)= 4个边界条件，
修正位势流的内 边界，外推物面 后，重新求解理 想流体位势流场
§8.6
边界层理论
二、粘性不可压缩流体二维定常层流边界层方程
y
V
u
外区流动尺度

L V
x
x
内区流动尺度 流向 L 法向

1 R eL
u x
u

v y
0


u u u v 2 2 x y x y x
当 1 时， 令 将

2
1

2
u u 2 2 y x
2 2
，
2u 可略。假设 2 x
u u x v u y
2
R e o ( 1)
2
，
2 2

1
，得 x方向运动方程的近似式为:
2

p x
二次多项式如何 ？
§8.6
f a
边界层理论
dp
（复习）
3、边界层积分方程求解举例---（dx 0 平板边界层）
3
b
2
c d
必须满足边界条件：
u
y
U ,
u y
y
0,
u
y0
0,
u y
2 y0
2
0
前两个方程是边界层外缘的渐近条件；第三个是壁面无滑移条件；
2
, y y / y / L
u x v y 0

u x
u

v y
0
u 1 p
2 2
u u u v 2 2 x y x y x v v u v 2 2 x y y y x
边界层理论
（复习）
4、 内外区耦合求解的步骤
以无粘流解内边界 流动参数为边界层 方程的外边界条件 解边界层方程
p ( x ,0 ) p
0


1 2
u e x ,0
2
p x p ( x , 0)

内、外场迭代求 解，直至满足衔 接条件。
以新的无粘流解内 边界参数作为边界层 方程的外边界条件 再次求解边界层方程
2 2
u
1 p
L
v v u v 2 2 x y y y x
2 2
v
v
1 p
§8.6
1、边界层方程的导出: u U u ( x , y ) ,v 无量纲量
x x x/L
*
边界层理论
U v ( x, y ) , p U p ( x, y )
厚度？衔接？
§8.6
2、边界层厚度的估计
x
x R ex
边界层理论
3、有粘、无粘流动的衔接方法

外流解 Euler方程 全流场速度压力 提供内流边界条件

边界层内流动解 边界层方程 壁面摩阻、厚度 修正外流解的物形
大雷诺数 粘性流体绕流
§8.6
理想流边界条件 求解绕流位势流 方程，得到 全场无粘流解
§8.6
边界层理论
3、边界层积分方程求解举例---（ dp 0 平板边界层） dx
零压力梯度半无限长平板层流边界层的计算
y
V
u
x
x
求：边界层厚度 x 和摩擦阻力系数 C x
f
§8.6
边界层理论
du e dx 0 ，即
dp dx 0
（复习）
3、边界层积分方程求解举例---（ dp 0 平板边界层） dx
§8.6
三、边界层厚度的定义
边界层理论
y
Ue
边界层的名义厚度
y : u 0 .9 9U e
u
误差较大 边界层的排挤厚度（位移厚度） 1
y
Ue
0 .9 9 U e

1

0
u 1 dy Ue
u
U e 1
Ue
1
§8.6
Hale Waihona Puke Baidu
边界层理论
边界层的动量损失厚度 2
§8.6
边界层内速度分布
u V f
边界层理论
3、不可压平板边界层的特性

v V
Rex
1 2
f f
:
u V v 0 .8 6 5V R e x
-1 / 2
§8.6
边界层厚度
4 .9 2 5
u V
2 2
2 2 ~ ~ ~ u u ~ p 1 ~ u 1 ~ u ~ u v 2 2 2 ~ x ~ y ~ x R e ~ x ~ y
v
v
1 p
2 2 ~ ~ ~ ~ v v 1 ~ p ~ v 1 ~ v u v 2 2 2 ~ x ~ y ~ y R e ~ x ~ y

u y
Re
Re
1
代入Y 向动量方程后得:
p o y

§8.6
无量纲边界层方程
R e 1
边界层理论
边界层的厚度反比于雷诺数 的平方根； 只有法向粘性扩散，方程变
Re 1
2
u x
u u x

v y