第八章相关与回归分析Correlation and Regression Analysis
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2
S y 1 r yx
——估计标准误与相关系 数的关系式
估计标准误案例
月份
1 2 3 4 5 6 合计
x
2 3 4 3 4 5 21
y
73 72 71 73 69 68 426
Yc=77.37 -1.82x
73.73 71.91 70.09 71.91 70.09 68.27
2 yy c yy c
18.5
3.0 8.1 16.3 12.3 6.2 6.6 16.8 110.8
64
1 16 49 36 9 9 49 294
342.25
9.00 65.61 265.69 151.29 38.44 43.56 282.24 1465.00
148.0
3.0 32.4 114.1 73.8 18.6 19.8 117.6 654.9
0 .975 元
2
y 73 72 71 73 69 68 30
2 2 2 2 2 2
公式8、1
r x y
2 xy
r
n x x n y y
2 2 2 2
n xy x y
n xy x y x y x r b b 2 a b 2 y n x x n n
第三节、回归分析
• 一、相关分析与回归分析的关系 • 二、回归直线方程的确定
• yc=a+bx
• 三、回归系数与相关系数的关系
• r=b×σx÷σy
• 四、估计标准误差
• 1、作用：判断回归方程代表性大小 • 2、计算
» （1）一般公式； » （2）简化公式
• 五、多元线性回归方程
S y 1 r yx
——估计标准误与相关系 数的关系式
估计标准误案例
月份
1 2 3 4 5 6 合计
x
2 3 4 3 4 5 21
y
73 72 71 73 69 68 426
Yc=77.37 -1.82x
73.73 71.91 70.09 71.91 70.09 68.27
2 yy c yy c
18.5
3.0 8.1 16.3 12.3 6.2 6.6 16.8 110.8
64
1 16 49 36 9 9 49 294
342.25
9.00 65.61 265.69 151.29 38.44 43.56 282.24 1465.00
148.0
3.0 32.4 114.1 73.8 18.6 19.8 117.6 654.9
0 .975 元
2
y 73 72 71 73 69 68 30
2 2 2 2 2 2
公式8、1
r x y
2 xy
r
n x x n y y
2 2 2 2
n xy x y
n xy x y x y x r b b 2 a b 2 y n x x n n
第三节、回归分析
• 一、相关分析与回归分析的关系 • 二、回归直线方程的确定
• yc=a+bx
• 三、回归系数与相关系数的关系
• r=b×σx÷σy
• 四、估计标准误差
• 1、作用：判断回归方程代表性大小 • 2、计算
» （1）一般公式； » （2）简化公式
• 五、多元线性回归方程
相关与回归分析CorrelationandRegression
相关系数计算表
可支配收入 （千元）x
18 25 45 60 62 75 88 92 98 99 662
消费支出 （千元）y
15 20 30 40 42 53 60 65 78 70 473
x2
Y2
xy
324 625 2025 3600 3844 5625 7744 8464 9801 9604 57656
按变量多少划分
单相关：一个变量对另一个变量的相关关系，称 为单相关。
复相关：当所研究的是一个变量对两个或两个以 上其他变量的相关关系时，称为复相关。如某种 商品的需求与其价格水平及人们收入水平之间的 相关关系就是一种复相关。
三、相关分析的内容
• （一）确定现象之间有无相关关系以及相关关 系的表现形式。
教学内容
• 1.相关与回归分析的 基本概念
• 2.简单线性相关与回 归分析
第一节 相关分析
函数关系与相关关系 相关关系的种类 相关分析与回归分析 相关表和相关图
年龄 脂肪
23 9．5
27
39
41
45
49
50
17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2
年龄 53
54 名5师6 出5高7 徒58 60
r=0 说明什么？
注意事项
①r值很小，说明X与Y之间没有线性相 关关系，但并不意味着X与Y之间没有 其它关系，如很强的非线性关系。
②直线相关系数一般只适用与测定变量 间的线性相关关系，若要衡量非线性相 关时，一般应采用相关指数R。
2. 相关系数的计算
• 积差法公式：
r
• 简捷公式：
(x x)( y y) (x x)2 ( y y)2
8.第八章 相关与回归分析
rXY
特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样 本的观测值计算出来的，是对总体相关系数的估计，它 是个随机变量。
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 若 表明X与Y 为正相关; 若 表明X与Y 为负相关。 当 时，表明X与Y完全线性相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； 若r=-1，称X与Y完全负相关。
三、回归系数的估计
u是随机变量其分布性质不确定，必须作某些 假定，其估计才有良好性质，其检验才可进行。 估计的原则是使参数估计值“尽可能地接近” 总体参数真实值。
简单线性回归的基本假定
假定1：零均值假定。 假定2：同方差假定。 假定3：无自相关假定。
假定4：随机扰动
假定5：正态性假定
相关系数的检验方法
给定显著性水平 ， 查自由度为 n-2 的临界值 若 ，表明相关系数 r 在统计上是显著 的，应否定 而接受 的假设； 反之，若 ，应接受 的假设。
二、总体回归函数与样本回归函数
1、若干基本概念
● Y的条件分布: Y在X取某固定值条件下的分布。 ●对于X的每一个取值，都有Y的条件期望与之对应，在 坐标图上 Y的条件期望的点随X而变化的轨迹所形成的 直线或曲线，称为回归线。 ●如果把Y的条件期望 表示为X的某种函 数： , 这个函数称为回归函数。 ●如果其函数形式是只有一个自变量的线性函数, 如 , 称为简单线性回归函数。
0
10 X
20
30
二、相关关系的类型
● 从涉及的变量数量看 简单相关 多重相关（复相关） ● 从变量相关关系的表现形式看 线性相关——散布图接近一条直线(左图) 非线性相关——散布图接近一条曲线(右图)
特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样 本的观测值计算出来的，是对总体相关系数的估计，它 是个随机变量。
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 若 表明X与Y 为正相关; 若 表明X与Y 为负相关。 当 时，表明X与Y完全线性相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； 若r=-1，称X与Y完全负相关。
三、回归系数的估计
u是随机变量其分布性质不确定，必须作某些 假定，其估计才有良好性质，其检验才可进行。 估计的原则是使参数估计值“尽可能地接近” 总体参数真实值。
简单线性回归的基本假定
假定1：零均值假定。 假定2：同方差假定。 假定3：无自相关假定。
假定4：随机扰动
假定5：正态性假定
相关系数的检验方法
给定显著性水平 ， 查自由度为 n-2 的临界值 若 ，表明相关系数 r 在统计上是显著 的，应否定 而接受 的假设； 反之，若 ，应接受 的假设。
二、总体回归函数与样本回归函数
1、若干基本概念
● Y的条件分布: Y在X取某固定值条件下的分布。 ●对于X的每一个取值，都有Y的条件期望与之对应，在 坐标图上 Y的条件期望的点随X而变化的轨迹所形成的 直线或曲线，称为回归线。 ●如果把Y的条件期望 表示为X的某种函 数： , 这个函数称为回归函数。 ●如果其函数形式是只有一个自变量的线性函数, 如 , 称为简单线性回归函数。
0
10 X
20
30
二、相关关系的类型
● 从涉及的变量数量看 简单相关 多重相关（复相关） ● 从变量相关关系的表现形式看 线性相关——散布图接近一条直线(左图) 非线性相关——散布图接近一条曲线(右图)
相关分析与回归分析方案
Y增加，但增加幅度不明显。 强负相关关系，其特点是X增加，导致Y明显减少，说
明X是影响Y的主要因素
相关分析 与
回归分析
弱负相关关系，其特点是变量X增加，导致Y减少，但 减少幅度不明显，说明X是Y的影响因素，但不是唯一 因素。
非线性相关关系，其特点是X、Y之间没有明显的线性 关系，却存在着某种非线性关系，说明X仍是影响Y的 因素。
3、具体判断相关是否显著,要看显著性水平
相关分析 与
回归分析
相关系数的计算
样本的相关系数一般用r表示，总体的相关系数一般用p表 示。
对于不同类型的变量，相关系数的计算公式不同。在相关 分析中，常用的相关系数有： Pearson简单相关系数：对定距连续变量的数据进行计算。 如测度收入和储蓄，身高和体重。 Spearman等级相关系数：用于度量定序变量间的线性相关 关系。如军队教员的军衔与职称。 Kendall r相关系数：用非参数检验方法来度量定序变量间 的线性相关关系。计算基于数据的秩。
（1）
最小二乘估计就是寻找参数β0 、β1、… βp的估计值β̂0 、β ̂ 1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过求极值原理（偏导为零） 和解方程组，可求得估计值，SPSS将自动完成。
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归方程的拟合优度检验（相关系数检验） 一元线性回归的拟合优度检验采用R2统计量，称为判定 系数或决定系数，数学定义为
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归系数的显著性检验（t检验）
多元线性回归方程的回归系数显著性检验的零假设是βi=0， 检验采用t统计量，其数学定义为：
ti
ˆi ˆ
明X是影响Y的主要因素
相关分析 与
回归分析
弱负相关关系，其特点是变量X增加，导致Y减少，但 减少幅度不明显，说明X是Y的影响因素，但不是唯一 因素。
非线性相关关系，其特点是X、Y之间没有明显的线性 关系，却存在着某种非线性关系，说明X仍是影响Y的 因素。
3、具体判断相关是否显著,要看显著性水平
相关分析 与
回归分析
相关系数的计算
样本的相关系数一般用r表示，总体的相关系数一般用p表 示。
对于不同类型的变量，相关系数的计算公式不同。在相关 分析中，常用的相关系数有： Pearson简单相关系数：对定距连续变量的数据进行计算。 如测度收入和储蓄，身高和体重。 Spearman等级相关系数：用于度量定序变量间的线性相关 关系。如军队教员的军衔与职称。 Kendall r相关系数：用非参数检验方法来度量定序变量间 的线性相关关系。计算基于数据的秩。
（1）
最小二乘估计就是寻找参数β0 、β1、… βp的估计值β̂0 、β ̂ 1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过求极值原理（偏导为零） 和解方程组，可求得估计值，SPSS将自动完成。
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归方程的拟合优度检验（相关系数检验） 一元线性回归的拟合优度检验采用R2统计量，称为判定 系数或决定系数，数学定义为
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归系数的显著性检验（t检验）
多元线性回归方程的回归系数显著性检验的零假设是βi=0， 检验采用t统计量，其数学定义为：
ti
ˆi ˆ
第八章相关与回归分析Correlation and Regression Analysis
Chap 08-8
相关系数
总体相关系数（ population correlation coefficient） ρ 是反映两变量之间线性相关程度的 一种特征值，表现为一个常数。
Cov (X,Y) Var (X) Var ( Y)
样本相关系数（ sample correlation coefficient） r 是 总体相关系数的一致估计量，是根据样本观测 值计算的，反映样本观测值线性相关程度的指标。
它是不可直接观测的。而样本回归函数中的ｅt是yt与样本回归
线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后， 可以计算出ｅt的具体数值。
Chap 00，即对所有的t总有E(ut)=0
假定2：误差项的方差为常数，即对所有的t总有 Var(ut)=E(ut2)=
t 1 2 t t
残差
Chap 08-20
样本回归函数和总体回归函数的区别
总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数据 拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。 总体回归模型中的β 1和β 2是未知的参数，表现为常数。而样本 回归函数中 ˆ 2 是随机变量，其具体数值随所抽取的样本 ˆ 1 的和 观测值不同而变动。 总体回归模型中的ut是yt与未知的总体回归线之间的纵向距离，
第四节 相关分析和回归分析
客观世界是普遍联系的统一整体，事物之间存在着相 互依存、相互制约、相互影响的关系。市场活动中 的许多现象也不例外，也都有其产生的原因，都要 受一定因素的制约，都是一定原因的必然结果。通 过不同事物“量”的变化可以观察并测量出事物之 间的相互关系、密切程度、因果关系、交互效应等。 在市场调查中，量表分析应用模式主要指通过对不 同因子之间的发展变化而揭示出因子之间关系结果 的方式。量表分析主要包括以下几种分析：回归分 析、聚类分析、判别分析、因子分析、相关分析、 可靠性分析等。
第八章 相关与回归分析-一元线性回归
11
12
1、散点图
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0 0
100
200
300
400
贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14
12
10
8 6
4
2
0 0
10
20
30
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图不来自贷款不良贷款14
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30
累计应收贷款
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14
2
本章主要内容
➢ 相关分析
• 相关关系度量 • 相关关系显著性检验
➢ 一元线性回归分析
• 一元线性回归模型 • 参数的最小二乘估计 • 回归直线的拟合优度 • 显著性检验
➢ 利用回归方程进行预测
➢ 残差分析
3
第一节 直线相关分析 一、变量间的关系
函数关系
相关关系
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可 表示为 y = px (p 为单价)
儿子与父亲的身高关系：Y=33.73+0.516X(英寸)
24
一、概述——什么是回归分析（Regression ）？
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从
影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影 响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来 预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预 测或控制的精确程度
12
1、散点图
不良贷款
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贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
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贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图不来自贷款不良贷款14
12
10
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0 0
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累计应收贷款
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14
2
本章主要内容
➢ 相关分析
• 相关关系度量 • 相关关系显著性检验
➢ 一元线性回归分析
• 一元线性回归模型 • 参数的最小二乘估计 • 回归直线的拟合优度 • 显著性检验
➢ 利用回归方程进行预测
➢ 残差分析
3
第一节 直线相关分析 一、变量间的关系
函数关系
相关关系
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可 表示为 y = px (p 为单价)
儿子与父亲的身高关系：Y=33.73+0.516X(英寸)
24
一、概述——什么是回归分析（Regression ）？
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从
影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影 响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来 预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预 测或控制的精确程度
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n xt yt xt yt
83142 73 321
2 2 [8713 (73) ][8 14111 (321) ]
50
40
30
0.886
20
10
0 0 2 4 6 8 10 12 14
树干的直径, x
r = 0.886 → 表明 x 和 y 具有高度线 性相关关系。
Chap 08-12
2
假定3：误差项之间不存在序列相关关系，其协方差为零； 假定4：自变量是给定的变量，与随机误差项线性无关；
假定5：随机误差项服从正态分布；
Chap 08-22
最小二乘估计
在根据样本数据确定样本回归方程时，总是希望 y 的 估计值 尽可能地接近其实际观测值，即残差 et 的总 量越小越好。由于 et 有正有负，简单的代数和会相互 抵消，因此为了数学上便于处理，我们采用残差平方 和作为衡量总偏差的尺度。 所谓最小二乘法，就是根据这一思路，通过使残差平 方和最小来估计回归系数的方法。
Excel 输出结果
Excel 相关分析的输出结果 工具 / 数据分析 / 相关系数
树的高度 树的高度 树干的直径 1 0.886231 树干的直径 1
树的高度与树干的直径 的相关系数
Chap 08-13
相关系数的特点
r的取值在-1与1之间； 当ｒ＝０时，Ｘ与Ｙ的样本观测值之间没有线性关系； 在大多数情况下，０＜｜ｒ｜＜１，即Ｘ与Ｙ的样本 观测值之间存在着一定的线性关系，当ｒ＞０时，Ｘ 与Ｙ为正相关，当ｒ＜０时，Ｘ与Ｙ为负相关。 如果｜ｒ｜＝１，则表明Ｘ与Ｙ完全线性相关，当ｒ ＝１时，称为完全正相关，而ｒ＝－１时，称为完全 负相关。 ｒ是对变量之间线性相关关系的度量。ｒ＝０只是表 明两个变量之间不存在线性关系，但它并不意味着Ｘ 与Ｙ之间不存在其他类型的关系。
(自由度为 n – 2 ）
Chap 08-16
单相关系数的显著性检验
是否可以根据5％的显著性水平认为树的高 度与树干的直径之间存在一定程度的线性相 关关系？
H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0 (无线性相关关系) (确实存在线性相关关系)
=0.05 , df = 8 - 2 = 6
t
r 1 r2 n2
从变量相关关系的表现形式看：线性相关和非线性相关 从变量相关关系变化的方向看：正相关和负相关 从变量相关的程度看：完全相关（函数关系）、不完全相 关、不相关
Chap 08-5
相关分析与回归分析
联系：有共同的研究对象，在具体应用时，常常
必须互相补充； 区别：研究目的和方法上有明显区别； 局限性：定性分析与定量分析相结合；
变量之间的函数关系和相关关系在一定条件下可以相互转化。 客观现象的函数关系可以用数学分析的方法去研究，而研究客观现 象的相关关系必须借助于统计学中的相关与回归分析方法。
Chap 08-4
相关关系的类型
从相关关系涉及的变量数量看：单相关和复相关
一个变量对另一变量的相关关系，称为单相关； 一个变量对两个以上变量的相关关系时，称为复相关；
X 和 Y 的关系用线性函数来描述 Y 的变化被认为是由于 X 的变化引起的
Chap 08-19
样本回归线和样本回归模型
样本回归直线是根据样本数据拟合的，是总体回归 线的一个估计。
估计的 (或拟 合的) y 值 回归截距的估 计值 回归斜率的估计 值 自变量
样本回归线 （样本回归方程）
ˆ ˆx ˆt y 1 2 t 样本回归函数 ˆ ˆ （样本回归模型） y x e
相关分析是用一个指标(相关系数r)来表明现象间依存 关系的密切程度。 回归分析是用数学模型近似表达变量间的平均变化关系。
Chap 08-6
相关分析与回归分析
相关分析可以不必确定变量中哪个是自变量，哪个是因
变量，其所涉及的变量都是随机变量。
回归分析必须事先确定具有相关关系的变量中哪个为自 变量，哪个为因变量。一般地说，回归分析中因变量是 随机的，而把自变量作为研究时给定的非随机变量。
ˆ y ˆx 1 2
以上就是总体回归系数的最小二乘估计量。
Chap 08-24
最小二乘估计量的性质
最小二乘估计量是随着样本的不同而不同的随机变量；
在满足标准假定的情况下，回归参数的最小二乘估计 量是无偏的，即
ˆ ˆ E ， E 1 1 2 2
最小二乘估计量是因变量 Y 的线性组合； 数学上还可以证明，在所有的线性无偏估计中，回归 系数的最小二乘估计量的方差最小，同时随着样本容 量的增大，其方差会不断缩小； 综上所述，在标准的假定条件下，最小二乘估计量是 最佳线性无偏估计量和一致估计量。
第四节 相关分析和回归分析
客观世界是普遍联系的统一整体，事物之间存在着相 互依存、相互制约、相互影响的关系。市场活动中 的许多现象也不例外，也都有其产生的原因，都要 受一定因素的制约，都是一定原因的必然结果。通 过不同事物“量”的变化可以观察并测量出事物之 间的相互关系、密切程度、因果关系、交互效应等。 在市场调查中，量表分析应用模式主要指通过对不 同因子之间的发展变化而揭示出因子之间关系结果 的方式。量表分析主要包括以下几种分析：回归分 析、聚类分析、判别分析、因子分析、相关分析、 可靠性分析等。
其中: r = 样本相关系数 n = 样本容量
n x y x y t t t t
Chap 08-10
样本相关系数计算的例子
树的 高度 y 35 树干的 直径 x 8 xy 280 y2 1225 x2 64
49
27 33 60 21 45 51 y=321
9
7 6 13 7 11 12 x=73
Chap 08-27
回归系数的估计
n x x y ty t t t ˆ 2 2 2 n x x t t 10 5085975 17150 2865 0 .10977 2 10 30983750 17150
ˆ ˆx y 1 2
ˆ y 98.24833 0.10977 x t t
Chap 08-25
最小二乘估计量的解释
ˆ 1 是当 x 等于 0 时 y 的平均估计值；
ˆ 2 是 x 每变化一个单位，因变量 y 平均
变化的量。
Chap 08-26
一元线性回归模型的例子
一家房地产公司的经理想知道该公司住房的售价
和住房面积（单位：平方尺） 之间的关系。
为此他抽取了一个包含10套住房的随机样本。 因变量 (y) = 住房的售价 （单位：$1000） 自变量 (x) = 住房的面积 （单位：平方尺）
Chap -28
2865 10 0 . 10977 17150 10 98 . 248
Excel 输出结果
回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 0.76211 0.58082 0.52842
Chap 08-14
相关系数的图示
y y y
x
r = -1
y
r = -0.6
y
x
x
r=0
r = +0.3
x
r = +1
x
Chap 08-15
单相关系数的显著性检验
假设 H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0
检验统计量
(无线性相关关系) (确实存在线性相关关系)
t
r 1 r n2
2
4.68 2 1 0 .886 82
Chap 08-17
0.886
回归分析 Regression Analysis
回归分析
研究一个变量如何随着其他变量的变化而变化； 用一个称为回归模型的数学方程来描述因变量与自变量 之间的变化关系，再通过控制或给定自变量的数值来估 计或预测因变量可能的数值。
441
189 198 780 147 495 612 xy=3142
2401
729 1089 3600 441 2025 2601 y2=14111
81
49 36 169 49 121 144 x2=713
Chap 08-11
样本相关系数计算的例子
树的高度, y
70 60
r
2 2 [n( x ) ( x ) ][n( y ) ( y ) t t t t ] 2 2
Chap 08-2
1 相关与回归的基本概念
1.1 1.2 1.3 变量间的相互关系 相关关系的类型 相关分析与回归分析
Chap 08-3
变量间的相互关系
确定性的函数关系：当一个或者几个变量取一定的值时， 另一个变量有确定值与之相对应；例如销售收入与销售量 之间的关系、路程与速度之间的关系； 不确定性的相关关系：当一个或几个相互联系的变量取一 定数值时，与之相对应的另一个变量的值虽然不确定，但 它仍按照某种规律在一定的范围内变化；
被解释变量、因变量（Dependent variable）:被视为 随着自变量而变化的变量，是我们想要加以解释的变 量。 解释变量、自变量（Independent variable）:被视为主 动变化的变量 ，用于解释被解释变量。
Chap 08-18
一元（简单）线性回归模型
只有一个自变量, X
Chap 08-9
样本相关系数
样本相关系数:
( x x )( y y ) r [ ( x x ) ][ ( y y )]