完整版三角形角平分线中线高线证明题

合集下载

三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用(解析版)

专题01三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用【解题策略】三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,对我们以后深入研究三角形的一些特征有很大帮助,因此,我们需要从不同的角度认识这三种线段.在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.题型01三角形的高在求线段长中的应用【典例分析】【例1-1】（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，90,8,10,ACB AC AB CD ∠=°==是斜边的高，则CD =（）A ．3B ．4.2C ．4.8D ．5【答案】C 【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出BC ，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键．【详解】解：∵90,8,10ACB AC AB ∠=°==，∴6BC ，∵CD 是斜边的高， ∴1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴8610CD ×=， ∴48 4.810CD ==；故选C【例1-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，5AB =，4AC =，3BC =，则点C 到AB 边距离为．【答案】125/225/2.4 【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，由三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=°， ∴ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，1122ABC S AC BC AB h ∴=⋅=⋅ ，即345h ×=，125h ∴=，故答案为：125．【例1-3】（22-23八年级上·河南·阶段练习）如图，在ABC 中，8AC =，4BC =，高3BD =．(1)作出BC 边上的高AE ；(2)求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)6AE =【分析】（1）过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E 即可；（2）利用等积法求得AE 的长度即可．【详解】（1）解：如图，过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E ，∴线段AE 即为BC 边上的高，（2）解：∵11S 22ABC BC AE AC BD =⋅=⋅ ，8AC =，4BC =，3BD =， ∴1148322AE ×=××， ∴6AE =．【点睛】本题考查了作三角形的高及求高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，CD 是斜边的高，则CD 的长为（）A ．245B ．125C ．5D ．10【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．先根据勾股定理求出10AB =，然后根据三角形面积进行计算即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，∴10AB =， ∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴6824105AC BC CD AB ．故选：A【变式1-2】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，6,5,4AB AD BC ===，则CE 的长为．【答案】103/133【分析】本题考查了三角形的面积计算，根据1122ABC S AB CE BC AD =×=× ，即可求解．【详解】解：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥， ∴1122ABC S AB CE BC AD =×=× ， ∵6,5,4AB AD BC ===， ∴1164522CE ××=××， ∴103CE =．故答案为：103【变式1-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在ABC 中，AD 为边BC 上的高，连接AE ．(1)当AE 为边BC 上的中线时，若6AD =，ABC 的面积为24，求CE 的长；(2)当AE 为BAC ∠的平分线时，若66C ∠=°，36B ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】(1)4CE =(2)15DAE ∠=°【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识．（1）先根据三角形面积公式计算出8BC =，然后根据AE 为边BC 上的中线得到CE 的长；（2）先根据三角形内角和定理计算出78BAC ∠=°，再利用角平分线的定义得到39CAE ∠=°，接着计算出CAD ∠，然后计算CAE CAD ∠−∠即可．【详解】（1） AD 为边BC 上的高，ABC 的面积为24，1242BC AD ∴⋅=， 22486BC ×∴==， AE 为边BC 上的中线，142CE BC ∴==；（2） 66C ∠=°，36B ∠=°，∴180180663678BAC C B °−°°°°∠=∠−∠=−−=，∴AE 为BAC ∠的平分线， ∴1392CAE BAC ∠=∠=°，90ADC ∠=°，66C ∠=°， ∴906624CAD ∠°°=°=−，∴392415DAE CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°题型02三角形的高在求角的度数中的应用【典例分析】【例2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC∠交AC 边于E ，60BAC ∠=°，22ABE ∠=°，则DAC ∠的大小是（）A ．10°B ．12°C ．14°D ．16°【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据角平分线的定义可得2ABC ABE ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAC BAC BAD ∠=∠−∠计算即可得解．【详解】解：BE 平分ABC ∠，222244ABC ABE ∴∠=∠=×°=°，AD 是BC 边上的高，90904446BAD ABC ∴∠=°−∠=°−°=°，604614DAC BAC BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：C【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知ABC 中，50A ∠=°，AB ，AC 边上的高所在的直线交于H ，则BHC ∠=度．【答案】130°或50°【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分ABC 是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．分两种情况考虑：①ABC 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出90ADB ∠=°，90BEC ∠=°，然后根据直角三角形两锐角互余求出ABD ∠的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②ABC 是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出BHC A ∠=∠即可．【详解】解：①如图1，ABC 是锐角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90ADB ∴∠=°，90BEC ∠=°，在ABD △中，50A ∠=° ，905040ABD ∴∠=°−°=°，4090130BHC ABD BEC ∴∠=∠+∠=°+°=°；②ABC 是钝角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90A ACE ∴∠+∠=°，90BHC ∠+∠=°，ACE HCD ∠=∠ ， 50BHC A ∴∠=∠=°，综上所述，BHC ∠的度数是130°或50°，故答案为：130°或50°【例2-3】（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，在ABC 中，50ABC ∠=°，CE 为AB 边上的高，AF 与CE 交于点G ．若80∠=°AFC ，求AGC ∠的度数．【答案】120°【分析】由高的定义可得90BEC ∠=°，由三角形内角和可得BCE ∠的度数，再根据三角形内角和可得出CGF ∠的度数，由平角的定义可得出AGC ∠的度数．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键【详解】解：CE 是AB 边上的高，90BEC ∴∠=°，在ABC 中，50ABC ∠=°， 18040BCE ABC BEC ∴∠=°−∠−∠=°，80AFC ∠=° ，18060CGF AFC BCE ∴∠=°−∠−∠=°，180120AGC CGF ∴∠=°−∠=°【变式演练】【变式2-1】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图，在ABC 中，5525B C AD ∠=°∠=°，，是BC 边的高，AE 平分BAC ∠，则DAE ∠的度数为（）A ．12.5°B ．15°C ．17.5°D ．20°【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据AE 平分BAC ∠求出BAE ∠的度数，根据AD BC ⊥求出BAD ∠的度数，由DAE BAE BAD ∠=∠−∠即可得出结论．【详解】在ABC 中，55B ∠=°，25C ∠=°，1805525100BAC ∴∠=°−°−°=°．AE 平分BAC ∠，1502BAE BAC ∴°∠=∠=． AD 是边BC 上的高，90ADB ∴∠=°，90905535BAD B ∴∠=°−∠=°−°=°，503515DAE BAE BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：B【变式2-2】（22-23）八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且38B ∠=°，74C ∠=°，则DAE ∠= ．【答案】18°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质定理，利用三角形内角和定理求出68BAC ∠=°，利用角平分线的性质得出34EAC ∠=°，再利用三角形内角和定理求出16DAC ∠=°，进一步即可求出DAE ∠．【详解】解：∵38B ∠=°，74C ∠=°∴18068BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是BAC ∠的平分线， ∴1342EAC BAC ∠=∠=°， ∵AD 是ABC 的高，∴90ADC ∠=°， ∴18016DAC C ADC ∠=°−∠−∠=°，∴341618DAE EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°，故答案为：18°【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC °∠=，70C ∠=°．(1)求EAD ∠的度数；(2)求BOA ∠的度数．【答案】(1)10°(2)125°【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由角平分线的定义得30CAE BAE ∠=∠=°，结合直角三角形的两个锐角互余，得20CAD ∠=°，即可作答．（2）先由角平分线的定义得55OAB OBA +=°∠∠，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答．【详解】（1）解：∵AE 是BAC ∠的平分线，60BAC ∠=° ∴30CAE BAE ∠=∠=° ∵AD 是高，70C ∠=°∴在Rt ACD △中，20CAD ∠=° ∴302010EAD CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°（2）解：∵AE BF 、是角平分线 ∴11 110552()2OAB OBA CAB CBA ∠+∠=∠+∠=×°=° ∴180125()BOAOAB OBA ∠=°−∠+∠=° 题型03三角形的高在求相关线段的比值中的应用【典例分析】【例3-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，,AE CD 是ABC 的高，5,3AE CD ==，则AB BC=（）A ．53B ．45C ．35D ．25【答案】A【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法列出比例式，进行求解即可．【详解】解：∵,AE CD 是ABC 的高， ∴1122ABC AB B S CD C AE ⋅=⋅= ，∴53AB AE BC CD ==；故选：A【例3-2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 相交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F .若5AB =，4BC =，6AC =，则CE ：AD ：BF 的值为 .【答案】12:15:10【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：BF AC ⊥，再根据三角形的面积公式，可得5432ABCS AD CE BF === ，进而即可得到答案．【详解】解：在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ， BF AC ∴⊥，5AB = ，4BC =，6AC =，∴1122ABC S BC AD AB CE BF =⋅=⋅=⋅ ， ∴5432ABCS AD CE BF === ， CE ∴：AD ：BF =12:15:10，故答案是：12:15:10【例3-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 与CE 是ABC 的高．(1)若7cm,10cm,8cm AB BC CE ===，求AD ； (2)若2,3,AB BC ABC ==△的高AD 与CE 的比是多少？【答案】(1)28cm 5(2)12【分析】（1）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，即可求解；（2）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ 求解即可．【详解】（1）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴1178=1022AD ××××， ∴285AD cm =；（2）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴112=422CE AD ××××， ∴12AD CE =．【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键【变式演练】【变式3-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）在ABC 中，高2,4AD CE ==．则边:AB BC 是（） A ．1:2 B ．2:1 C ．3:1 D ．1:3【答案】A【分析】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，2,4AD CE ==， ∴42AB BC =， ∴:2:41:2AB BC==，故选：A ．【变式3-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在ABC 中，2AB =，4BC =，ABC 的高AD 与CE的比是．【答案】1:2【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△，即可求解．【详解】解：∵11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△ ∴2142AD AB CE BC ===，故答案为：1:2【变式3-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，AD 是ABC 的中线，DE AC DF AB ⊥⊥，，E ，F 分别是垂足．已知2AB AC =，求DE 与DF 的长度之比．【答案】2:1【分析】根据三角形面积法进行求解即可．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线， ∴ABD ACD S S ， ∵DE AC DF AB ⊥⊥，，∴1122ABD ACD S AB DF S AC DE =⋅=⋅△△，， ∴1122AB DF AC DE ⋅=⋅， ∵2AB AC =， ∴2:1DE ABDF AC==．【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键题型04三角形的高在求相关线段和的问题中的应用【典例分析】【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC ∆中，2ABAC ==，P 是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若1ABC S ∆=，则PE PF +值为（）A ．1B ．1.2C ．1.5D ．2【答案】A【分析】连接AP ，则ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+，依据Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，代入计算即可得到1PE PF +=．【详解】解：如图所示，连接AP ，则ABCACP ABP S S S ∆∆∆=+，∵PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ， ∴Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，又∵1ABC S ∆=，2ABAC ==， ∴111=+22AC PF AB PE ××，即111=2+222PF PE ××××，∴1PE PF +=，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算【例4-2】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰ABC 中，4ABAC ==，30BAC ∠=°，D 是BC 上任意一点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF +=．【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．作BH AC ⊥于H ，利用含30度的直角三角形的性质得到122BH AB ==，根据ABCABD ACD S S S =+ ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，列出等式，由此即可解决问题．【详解】解：过B 作BH AC ⊥于H ，30BAC ∠=° ，122BH AB ∴==， ∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，ABCABD ACD S S S =+ ， ∴111222AC BH AB DE AC DF ⋅=⋅+⋅，则111444222BH DE DF ×⋅=×⋅+×⋅，则2BH DE DF =+=，故答案为：2【例4-3】（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在ABC 中，2ABAC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ．若6ABC S = ，求PE PF +的长．【答案】6PE PF +=【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅ ，结合已知条件，即可求得PE PF +的值．【详解】解：如图，连接AP ，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅ ， 2AB AC == ，6ABC S = ，∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅6PE PF =+=【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）Rt ABC △中，90C ∠=°，D 是BC 上一点，连接AD ，过B 、C 两点分别作直线AD 的垂线，垂足为E 、F ，若8BC =，6AC =，9AD =，则BE CF +的值是（）A ．6B ．163C ．8D ．203【答案】B【分析】本题考查三角形的面积，根据两种不同三角形的面积：12ABCS AC BC =⋅ ，ABCABD ACD S S S =+ ，建立等式是解决问题的关键．【详解】解：∵90C ∠=°，8BC =，6AC =， ∴11682422ABC AC B S C ⋅=××==，又∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，9AD =，∴ABC ABD ACD S S S =+ 即：()111924222AD BE AD CF BE CF ⋅+⋅=××+= ∴163BE CF +=，故选：B ．【变式4-2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在ABC 中，5ABAC ==，F 是BC 边上任意一点，过F 作FD AB ⊥于D ，FE AC ⊥于E ，若10ABC S =△，则FE FD +=．【答案】4【分析】连接AF ，根据ABC ABF ACF S S S =+ ，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键．【详解】解：连接AF ，如图：则10ABF A ABC CF S S S =+= △△， 12ABFS AB FD =×△，12ACF S AC FE =×△， ∴111022AC FE AB FD ×+×=，∵5ABAC ==， ∴551022FE FD +=， ∴4FE FD += 故答案为：4题型05三角形的中线在求线段长中的应用【典例分析】【例5-1】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，ABC 中，159AB BC ==，，BD 是AC 边上的中线，若ABD △的周长为35，则BCD △的周长是（）A ．20B ．29C ．26D ．28【答案】B【分析】本题考查了中线的意义，根据BD 是AC 边上的中线，得到AD CD =，根据ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，计算周长的差，得到()()1596AB BD AD BC BD CD BC ++−++=−=−=，结合ABD △的周长为35，计算35629−=即可．【详解】∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD CD =，∵ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，∴()()1596AB BD AD BC BD CD AB BC ++−++=−=−=， ∵ABD △的周长为35， ∴BCD △的周长为35629−=, 故选B【例5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，已知5cm AD =，6cm CE =，则ABC 的面积为．【答案】230cm【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据中线的定义求出212BC CE cm ＝＝，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：AE 是ABC 的中线，6cm CE =，212cm BC CE ∴，AD 是ABC 的高，∴2130cm 2ABC S AD BC，故答案为：230cm【例5-3】（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知ABC ，AD 是BC 边上的中线，且4AC =，若ABD △的周长比ACD 的周长大5，求AB 的长．【答案】9AB =【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到BD CD =，根据三角形的周长公式计算得到答案．【详解】解：如图，∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD CD =，∵ABD △的周长比ACD 的周长大5，∴()()5AB BD AD AC AD CD ++−++=， ∴5AB AC −=， ∵4AC =， ∴9AB =【变式演练】【变式5-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是中线，若3AD =，6ABC S = ，则BE 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出4BC =，根据AE 是中线即可求解．【详解】解：∵162ABC S BC AD =××=，3AD =， ∴4BC = ∵AE 是中线， ∴122BE BC == 故选：B【变式5-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在ABC 中，AD 为BC 边的中线．若ABD △与ADC △的周长差为3,8AB =，则AC = ．【答案】5或11AD 为BC 边上的中线，得BD CD =，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键．【详解】解：①当AB AC >时，∵ABD △与ADC △的周长差为3，∴()3AB BD AD AC CD AD ++−++=， ∵AD 为BC 边上的中线，∴BD CD =，∴()3AB BD AD AC CD AD AB AC ++−++=−=，∵8AB =，∴835AC =−=,②当AC AB >时，同理可得3AC AB −=，则8311AC =+= 故答案为：5或11【变式5-3】（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在ABC 中()AB BC >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，求AC 和AB 的长．【答案】40AC =，25AB =【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①50AC CD +=，②35AC CD +=，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程．【详解】解：设BDCD x ==，则24AC BC x ==， BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，AB BC >，①当50AC CD +=，35AB BD +=时， 450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==×=，10BD CD ==，35351025AB BD ∴=−=−=，2520AB BC ∴=>=，满足条件；20254540BC AB AC +=+=>= ，满足三边关系，40AC ∴=，25AB =；②当35AC CD +=，50AB BD +=时， 435x x +=，解得：7x =，44728AC x ∴==×=，7BD CD ∴==，5050743AB BD =−=−=，28144243AC BC AB +=+=<= ，∴不满足三角形的三边关系，∴不合题意，舍去，综上：40AC =，25AB =题型06三角形的中线与高在证明线段相等中的应用【典例分析】【例6】如图，ABC ∆中，AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，且40ABC S ∆=，CM AD ⊥于M ．（1）ABD S ∆= ；（2）若5AE =，求CM 的长；（3）若BN AD ⊥交AD 的延长线于N ，求证：CM BN =．【分析】（1）根据三角形中线的性质得出面积即可；（2）根据三角形面积公式得出CM 即可；（3）根据三角形面积公式进行证明解答．【解答】（1）解：AD 为中线，且40ABC S ∆=，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==×=，故答案为：20；（2）解：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，40ABC S ∆=， ∴111024AEC ACD ABC S S S ∆∆===，12AECS AE CM ∆=⋅， ∴15102CM ×⋅=， 4CM ∴=；（3）证明：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点， ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==， 12ABDS AD BN ∆=⋅，12ACD S AD CM ∆=⋅， ∴1122AD BN AD CM ⋅=⋅， CM BN ∴=．【点评】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答．题型07三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用【典例分析】【例7-1】（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，在ABC 中，DE BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若36FG DE ==，，则EB DC +的值为（）A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线，平行线的性质可得EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则BE EG DC DF ==，，根据EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−，计算求解即可．【详解】解：∵BG CF 、是ABC ∠和ACB ∠的平分线，∴ABG CBG ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵DE BC ∥，∴EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴BE EGDC DF ==，， ∴9EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−=，故选：C【例7-2】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的角平分线分别交ED 于点G ，F ，若4BE =，6CD =，3FG =．则ED 的长为．【答案】7【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证EBG 和DFC 是等腰三角形，从而可得4EB EG ==，6DC DF ==，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，ABG CBG ∴∠=∠，ACF BCF ∠=∠，ED BC ∥，EGB CBG ∴∠=∠，DFC BCF ∠=∠，ABG EGB ∴∠=∠，ACF DFC ∠=∠，4EB EG ∴==，6DC DF ==，3FG = ，4637DE EG DF FG ∴=+−=+−=，故答案为：7【例7-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．(1)求证：DE BC ∥；(2)若65A ∠=°，45AED ∠=°，求EBC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)35°【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，由等边对等角可得DBE DEB ∠=∠，从而得出CBE DEB ∠=∠，即可得证；（2）由平行线的性质可得45ACB AED ∠=∠=°，由三角形内角和定理得出70ABC ∠=°，最后由角平分线的定义计算即可得出答案．【详解】（1）证明：BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，DB DE = ，DBE DEB ∴∠=∠，CBE DEB ∴∠=∠，DE BC ∴∥；（2）解：DE BC ∥，45ACB AED ∴∠=∠=°，18070ABC ACB A ∴∠=°−∠−∠=°，BE 平分ABC ∠，11703522EBC ABC ∴∠=∠=×°=°．【变式演练】【变式7-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若37FG ED ==，，则EB DC +的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线、平行线的性质可得EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则EB EG DF DC ==，，根据EB CD ED FG +=+，计算求解即可．【详解】解：∵BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∴ABG GBC ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵ED BC ∥，∴EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴EB EGDF DC ==，， ∴10EB CD EG DF EG FG DG ED FG +=+=++=+=．故选：B【变式7-2】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为．【答案】9【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得MBE MEB NEC ECN ∠=∠∠=∠，，由等角对等边得出BM ME EN CN ==，，再由MN BM CN =+，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键．【详解】解：ABC ACB ∠∠ 、的平分线相交于点E ，MBE EBC ECN ECB ∴∠=∠∠=∠，，MN BC ，EBC MEB NEC ECB ∴∠=∠∠=∠，，MBE MEB NEC ECN ∴∠=∠∠=∠，，BM ME EN CN ∴==，，MN ME EN ∴=+，即MNBM CN =+， 9BM CN += ，9MN ∴=，故答案为：9【变式7-3】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点，若40ADE ∠=°，求证：DE AB ∥．【答案】见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出80BAC ∠=°，由角平分线的定义得出1402BAD BAC ∠=∠=°，从而得出40ADE BAD ∠=∠=°，即可得证．【详解】证明：∵在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，∴180465480BAC ∠=°−°−°=°． ∵AD 平分BAC ∠， ∴1402BAD BAC ∠=∠=°． ∵40ADE BAD ∠=∠=°． ∴DE AB ∥题型08三角形的角平分线与高再求角的度数中的应用【典例分析】【例8-1】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，70B ∠=°，34C ∠=°，则DAE ∠=（）A ．18°B ．34°C ．20°D ．38°【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题．利用垂直求得9056DACC ∠=°−∠=°是正确解答本题的关键．在ABC 中，根据三角形内角和定理得到BAC ∠的度数，进而求出DAC ∠的度数，在直角ACD 中根据三角形内角和定理得到DAC ∠的度数，则DAE ∠的度数就可以求出．【详解】解：在ABC 中，70B ∠=°，34C ∠=°，∴18076BACB C ∠=°−∠−∠=°，又∵AE 平分BAC ∠， ∴1382EAC BAC ∠=∠=°，在直角ACD 中，9056DACC ∠=°−∠=°， ∴18DAE DAC EAC ∠=∠−∠=°．故选：A【例8-2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,若60,16B DAE ∠=°∠=°,则C ∠= ．【答案】28?/28度【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论．先由AD 是高与=60B ∠°求得BAD ∠，再求得BAE ∠，再由角平分线AE 推得BAC ∠，最后由三角形的内角和求得C ∠的度数．【详解】∵AD 是高，∴90ADB ∠=°， ∵=60B ∠°，∴9030BADB °∠=−∠=°． ∵16DAE ∠=°， ∴46BAE BAD DAE =+=°∠∠∠． ∵AE 是角平分线，∴46CAEBAE ==°∠∠， ∴92BAC BAE CAE =+=°∠∠∠，在ABC 中，180180609228CB BAC =°−−=°−°−°=°∠∠∠．故答案为：28°【例8-3】（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，70C ∠=°，60ABC ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】5°【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的角平分线等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理求出50BAC ∠=°，再根据直角三角形的性质可得30BAD ∠=°，然后根据角平分线的定义可得1252BAE BAC ∠=∠=°，最后根据DAE BAD BAE ∠=∠−∠求解即可得．【详解】解：∵在ABC 中，70C ∠=°，60ABC ∠=°， ∴18050BACC ABC ∠=°−∠−∠=°， ∵在ABC 中，AD 是高，即AD BC ⊥，∴9030BADABC ∠=°−∠=°， ∵在ABC 中，AE 是角平分线，即AE 是BAC ∠的角平分线，∴1252BAE BAC ∠=∠=°， ∴5DAE BAD BAE ∠=∠−∠=°【变式演练】【变式8-1】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线．若60BAC ∠=°，70C ∠=°，则EAD ∠的大小为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由AD 是高，70C ∠=°，可得20CAD ∠=°，再由AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°，从而得30CAE ∠=°，进而可求EAD ∠的度数．【详解】解：AD 是ABC 的高，70C ∠=°，90ADC ∴∠=°，18020CAD ADC C ∴∠=°−∠−∠=°，AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°， 1302CAE BAC ∴∠=∠=°， 10EAD CAE CAD ∴∠=∠−∠=°．故选：B【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，角平分线AE ，BF 相交于点O ，30BAE ∠=°，20DAC ∠=°，则AOB ∠ 的度数是．【答案】125°【分析】本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的含义，先计算70C ∠=°，60BAC ∠=°，50ABC ∠=°，25ABO ∠=°，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：AD 是ABC 的高，90ADC ∴∠= ，180ADC C CAD ∠+∠+∠=° ，20DAC ∠=°，180902070C ∴∠=°−°−°=°，∵AE 平分BAC ∠，30BAE ∠=°， ∴60BAC ∠=°， 180ABC C CAB ∠+∠+∠°= ，180706050ABC ∴∠=°−°−°=°，BF 分别平分ABC ∠， ∴1252ABO ABC ∠=∠=°， 180ABO BAO AOB ∠+∠+∠= ，1802530125AOB °°°°∴∠=−−=．故答案为：125°【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的角平分线，若38B ∠=°，70C ∠=°．求AEC ∠和DAE ∠的度数．【答案】74AEC ∠=°，16DAE ∠=° 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得BAC ∠的度数，根据角平分线定义求出EAC ∠的度数，在Rt ADC 中，可求得DAC ∠的度数，最后根据角的和差关系求解即可．【详解】∵38B ∠=°，70C ∠=°，∴18072BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是角平分线，∴1362EAC BAC ∠=∠=°． ∵AD 是高，70C ∠=°， ∴9020DAC C ∠=°−∠=°， ∴362016EAD EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°， 901674AEC ∠=°−°=°。

三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok

三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok1.在三角形ABC中，角A为30°，角B为70°，CE为角ACB的平分线，CD垂直于AB于点D，DF垂直于CE于点F。

1) 证明角BCD等于角ECD。

2) 找出所有与角B相等的角。

2.在三角形ABC中，AD为中线，BE为三角形ABD的中线。

1) 已知角ABE为15°，角BAD为35°，求角BED的度数。

2) 在三角形BED中，作BD边上的高。

3) 若三角形ABC的面积为60，BD为5，求点E到BC边的距离。

3.在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，已知三角形ABD和三角形ADC的周长之差为4（其中AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长度。

4.在三角形ABC中，角A为20°，CD为角BCA的平分线，DE为CA边上的高，已知角EDA等于角CDB，求角B的度数。

5.在三角形ABC中，AD⊥BC，AE为角BAC的平分线，已知角B为30°，角C为70°。

1) 求角EAD的度数。

2) 若角B小于角C，是否有2倍角EAD等于角C减去角B？请说明理由。

6.在三角形ABC中，AD为高，AE为角平分线，已知角B为20°，角C为60°，求角CAD和角DAE的度数。

7.在三角形ABC中。

1) 若角A为60°，AB和AC边上的高CE和BD交于点O，求角BOC的度数。

2) 若角A为钝角，AB和AC边上的高CE和BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量角BAC加上角BOC的度数，再用已学过的数学知识加以说明。

3) 由(1)和(2)可以得到，无论角A为锐角还是钝角，总有角BAC加上角BOC等于180°。

8.在三角形ABC中，已知角ABC为60°，角ACB为50°，BE为AC上的高，CF为AB上的高，H为BE和CF的交点，求角ABE、角ACF和角BHC的度数。

9.1.4三角形的高、中线、角平分线--习题课

2．如图，在△ABC 中，BD=CD，∠ABE=∠CBE，BE 交 AD 于 F。 (1)AD 是△ ABC 的中线， ED 是△BCE 的中线； (2)BE 是△ ABC 的角平分线， BF 是△ABD 的角平分线。 3．从三角形的一个顶点出发，能将三角形分成面积相等的两部分的是三角形的 A.角平分线 B.高线 ( A ) D.不能确定
A
D
E O
B
பைடு நூலகம்
C
2、如图：已知CO,BO为△ABC的外角平分线，试讨论∠BOC与∠A的关系。
A
C B
D O
E
3、如图，已知BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACE 的角平分线，试讨论∠A与∠O的关系。
A O
B
C
E
1．在下列画图中，分别画出了△ABC 中 BC 边上的高 AD，其中正确的是( B )
9.如图(1)，在△ABC中，AE平分∠BAC(∠C>∠B)， F为AE上一点，且FD⊥BC于D． (1)试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系． (2)如图(2)，当点F在AE的延长线上时，其余条件都不变，判断你在(1)中推导的结论是否还成立?
7．如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线交于点 F，过点 F 作 DE∥BC 交 AB， AC 于 D，E 两点，证明：DE=BD+CE.
8.如图，在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC 边上的中线BD将△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC的各边长。
A
D B C
三角形的高、中线和角平分线
习题课
一、三线合一
当三角形为等腰三角形的时候，底边上的中线，高，角平分线完全重合！即，三条线合为一条，简称三线合一。

解三角形中的高、中线、角平分线问题

三角形中的高、中线、角平分线问题正弦定理：CcB b A a sin sin sin == 余弦定理：)3(cos 2)2(cos 2)1(cos 2222222222Cab b a c Bac c a b Abc c b a -+=-+=-+= 思考1：正弦定理和余弦定理可以互推吗？ ①正弦定理⇒余弦定理设R CcB b A a 2sin sin sin === 则C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===222222222222222222222222222222222222sin 4)cos sin cos (sin 4]cos cos sin sin 2cos sin cos [sin 4]cos cos sin sin 2)sin 1(sin )sin 1([sin 4)]sin sin 2cos cos sin sin 2sin [sin 4)]sin sin cos (cos sin sin 2sin [sin 4)]cos(sin sin 2sin [sin 4)cos sin sin 2sin (sin 4cos sin sin 8sin 4sin 4cos 2a A R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R C B C B C B C B R C B C B C B R A C B C B R A C B R C R B R A bc c b ==+=++=+-+-=-++=-++=+++=-+=-+=-+∴同理B ac c a b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+= 故“正弦定理⇒余弦定理”成立 ②余弦定理⇒正弦定理由（1）+（2）得B ca A bc c b a b a cos 2cos 2222222--++=+ 即B a A b c cos cos +=代入（3）得C ab b a B a A b cos 2)cos cos (222-+=+⇒C ab b a B A ab B a A b cos 2cos cos 2cos cos 222222-+=++ ⇒0)cos cos (cos 2)cos 1()cos 1(2222=+--+-C B A ab B a A b ⇒0)]cos(cos [cos 2sin sin 2222=+--+B A B A ab B a A b ⇒0sin sin 2sin sin 2222=-+B A ab B a A b⇒0)sin sin (2=-B a A b ⇒B a A b sin sin =⇒BbA a sin sin =同理C c A a sin sin =；BbC c sin sin =故“余弦定理⇒正弦定理”成立思考2：三角形的边和高有何关系？如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，h a 、h b 、h c 分别为a 、b 、c 三边上的高。

三角形的高、中线、与角平分线专题练习(含答案解析)--八年级数学上册

三角形的高、中线、与角平分线专题练习（含答案解析）--八年级数学上册一、基础题训练1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）3．下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③4．三角形的三条中线的交点的位置为（）A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上5．下列说法错误的是（）A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为cm．7．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．二、中档题训练8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=．9．大家都知道，三角形的三条高（所在的直线）、三条角平分线、三条中线都会交于一点，那么三角形的三条交点不一定在三角形的内部．10．三角形的：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④11．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE 的周长的差．12．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE==．（2）∠BAD==．（3）∠AFB==．（4）S△AEC=．三、综合题训练13．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．14．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD 和∠ECD的度数．答案解析1.选D2．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．3．选B4.选A5．【考点】三角形的角平分线、中线和高【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线、角平分线、高的概念可知．【解答】解：A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确．故选A．【点评】注意三角形的中线、角平分线、高的概念．以及三角形的中线、角平分线、高的交点的位置．6．已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm．7.68．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【专题】几何图形问题．【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=30°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．故答案为50°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=10°是正确解答本题的关键．9.高10.B11．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长﹣△ABE 的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC﹣AB，易求其值．12．（1）BE=CE=BC．（2）∠BAD=∠DAC=∠BAC．（3）∠AFB=∠AFC=90°．（4）S△AEC=3．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．13．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．14、【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】由CD⊥AB与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数。

三角形的中线、角平分线、高线

B 三角形的中线、角平分线、高线例1、已知在△ABC 中，CE 、BD 分别是AB 、AC 边上的中线，若AE=2，AD=3，且△ABC 的周长为15，求BC 的长.练习：△ABC 的周长为18，BE 、CF 分别为AC 、AB 边上的中线，BE 、CF 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点D ，且AF=3cm ，AE=2cm ，求AB 、AC 、BD 的长。

例2、如图，AD 是△ABC 的中线，AB=6cm ，AC=5cm ，求△ABD 和△ADC 的周长的差。

练习：1、如图，BD 是△ABC 的中线，△ABD 和△BDC 的周长的差为3cm ，AB 的长为13cm ，求BC 的长。

2、如图，△ABC 中，AB=AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，求△ABC 各边的长。

3、已知等腰三角形的周长为25，AB AC ，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，求等腰三角形各边的长。

EDO C BAB CB 第15题图B4、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线把该三角形的周长分为15cm 和6cm 两部分，求这个等腰三角形各边的长。

5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，求这个三角形的底边长。

例3、如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ACD 的中线，已知DE=2，（1）求BD 、BE 、BC 的长；（2）若△ACE 面积为4，求△ACD 、△ABC 的面积。

练习：1、如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，DE 是△ACD 的边AC 上的中线，若4ABCS∆=，则ADES∆=__________________；2、如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，DE=2AE ，且224ABCcm S ∆=，则ABE S ∆=__________；3、如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别在三边上，E 为AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，2BD DC =，3GECS∆=，4GDC S ∆=，则ABC ∆的面积是_____________；4、如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆中线，（1）15,35ABE BAD ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数；（2）在BED ∆中作BD 边上的高；（3）图1OC B AE图3OFCB AE 图2O D CB AB若ABC ∆的面积为60，5BD =，求点E 到BC例4、（1）如图，在△ABC 中，BD 平分∠AB C ，∠A=38°，∠C=72°,则∠ADB= . （2）如图，△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=40°，∠DAE=80°,则∠ACD=______（3）如图，△ABC 中，BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠BOC=130°，则∠A=______ 例5、如图，△AB C 中，∠A=40°，（1）如图1，当∠ACB 、∠ABC 的平分线交于点O 时，则∠BOC= ；（2）如图2，当∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的外角平分线交于点O 时，则∠BOC= ；（3）如图3，当∠ABC 的外角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点O 时，则∠BOC=例6、如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，过点D 作DE //AC 交AB 于点E ，作DF //AB 交AC 于点F ，若12∠=∠，则①AD 是ABC ∆的角平分线吗？（写出证明过程）②若33AF AE ==，，你能求出四边形AEDF 的周长吗？DCBAE DC B AEDOCB A第23题图B练习：如图，在ABC ∆中，CD 是高，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AC 上，且EF AB ⊥，12∠=∠，①试判断DG 与BC 的位置关系？并说明理由。

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March三角形的角平分线、中线和高1．已知，△ABC中，AD是BC边上的高，∠CAD=33°，则∠ACB= °．2．△ABC中，AD，CE是BC，AB边上的高，AD，CE相交于P，∠B=50°，则∠APC的度数是．3．△ABC中，∠B的外角平分线的与∠C外角平分线相交于点P，且∠BPC=80°，则∠BAP的度数为．4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ACB平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB= ．5．如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3，△ABD的周长和△ACD的周长相差．6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（填“锐角三角形”，“直角三角形”，“钝角三角形”）7．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=46°，∠C=72°，则∠EAD=°．8．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是a cm．则AE+CD+BF= cm．9．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D．则∠ECD=．10．角平分线一定垂直于底边．11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD=°．12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC=．13．如图六，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示；（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．（在上图中直接画）14．在△ABC中，AC=3cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长比△ADC的周长大2cm，则BA= cm．15．△ABC中，∠A等于80度，则内角∠B、∠C的平分线相交所成的锐角为°．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE=度．17．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．18．如图，在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，并相交于点D，EG，FG分别是∠AEB和∠AFC的角平分线，并相交于点G，如果∠A=40°，那么∠CDB=；∠G=．19．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=6cm，AC=4cm，则△ABD和△ACD周长之差为．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，D为AB中点，CE⊥AB，则∠DCE=度．21．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的（填直线、射线、线段）22．如图所示，BD是△ABC的中线，AD=2，AB+BC=5，则△ABC的周长是．23．三角形一边上的中线把原三角形分成两个相等的三角形．24．如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若CE=9cm ，则BC= cm ．25．点D 是△ABC 中BC 边上的中点，若AB=3，AC=4，则△ABD 与△ACD 的周长之差为．26．如图，AC 、BD 相交于O ，BE 、CE 分别平分∠ABD、∠ACD，且交于E ，若∠A=60°，∠D=40°，则∠E= ．27．如图，根据图形填空：（1）AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠ =∠ =21∠ ．（2）（2）AE 是△ABC 中线，则 = =21 . （3）AF 是△ABC 的高，则∠ =∠ =90°．28．如图，AD⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形有个．29．如图所示：30．（1）在△ABC 中，BC 边上的高是；31．（2）在△AEC中，AE边上的高是．32．我们都晓得，三角形的高是比较活泼的，它会出现在三角形的内部，也会出现在三角形的外部，然而，当它与三角形一边相会时，你可能找不到它了，今天就请你猜一猜，如果三角形的高与一边重合了，那么这是什么三角形呢？答：三角形．31．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是三角形．32．如图，在△ABC中，AD、CE是边BC、AB上的高，若∠B=70°，∠CAD=30°，则∠BCE=，∠ECA=．33．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：（1）∠BAC=2；（2）BC=2 ；（3）=90°．34．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠E=β1；∠EBD、∠ECD的平分线交于F，∠F=β2；如此下去，∠FBD、∠FCD的平分线的交角为β3；…若∠A=40°，∠D=32°，则β4为度．35．如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是，AB 边上的高是；在△BCE 中，BE 边上的高是；EC 边上的高是；在△ACD 中，AC 边上的高是； CD 边上的高是．36．在△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．37．如图，在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB 于点D ．则图中共有个直角三角形．38．已知：如图，在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，如果∠A 2=m°，那么∠A= °（用含m 的代数式表示）．39．如图，△ABC 的∠B 的外角的平分线与∠C 的外角的平分线交于点P ，连接AP ．若∠BPC=50°，则∠PAC= 度．40．已知△ABC 中，∠A=α．在图（1）中∠B、∠C 的角平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C=90°+ 21α；在图（2）中，设∠B、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= ；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于O1、O2，…，O n-1，如图（3），则∠BO n-1C= （用含n和α的代数式表示）．41．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=115°，则∠A=°．42．如图，已知△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，AD、AE分别是三角形的高和角平分线，则∠CAD=°，∠DAE=°．43．如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012= ．44．如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE=．45．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，且∠A=40°，则∠BOC=．46．在△ABC中，∠A=80°，I是∠B，∠C的角平分线的交点，则∠BIC=°．47．如果三角形的三条高的交点落在一个顶点上，那么它的形状是．48．如图所示，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是 cm．49．如图，∠ACB是直角，CD是中线，CD=2.5，BC=3，则AC= ．50．BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为 cm．。

三角形的高、中线、角平分线

证明：由题意知 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC. ∵S△ABD＝12AD·BN，S△ACD＝12AD·CM， ∴12AD·BN＝12AD·CM. ∴BN＝CM.
8．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD的长；
∴∠D＋∠DEG＋∠B＋∠BCH＝∠F＋∠ACH＋∠F＋∠AEG. ∴∠D＋∠B＝2∠F. ∵∠B∶∠D∶∠F＝4∶6∶x，∴x＝5.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分 ∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE的度数．
解：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°.
解：能．
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C.
∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)． ∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°.
∴∠B＋∠BAD＝90°. ∴∠BAD＝90°－∠B.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B) ＝12(∠B－∠C)． ∵∠B－∠C＝40°，∴∠DAE＝12×40°＝20°.
9．如图，BE，CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为 ∠BED的平分线．
(1)图中共有____6____个“8字形”；
(2)若∠B∶∠D∶∠F＝4∶6∶x，求x的值．解：∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD， ∴∠DEG＝∠AEG，∠ACH＝∠BCH. ∵在△DGE和△FGC中，∠DGE＝∠FGC， ∴∠D＋∠DEG＝∠F＋∠ACH. ∵在△BHC和△FHE中，∠BHC＝∠FHE， ∴∠B＋∠BCH＝∠F＋∠AEG.

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题1. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若BD=DC，求证：∠B=∠C。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

根据等边三角形的性质可知∠B=∠C。

2. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。

由于∠BAD=30°，所以x=30°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

又由等边三角形的性质可知∠B=∠C，即∠B=∠C=75°。

3. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAD=80°，求∠ABC的度数。

【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。

由于∠BAD=80°，所以x=80°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$又由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，则∠ADB=∠ADC=180°-2x=20°。

再由三角形内角和为180°可知∠B+∠ADC=180°，即y+20°=180°，解得y=160°。

所以∠ABC=∠ACB=160°。

4. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠B=70°,∠C=50°，求∠BAD的度数。

三角形的高、中线与角平分线(分层作业)(解析版)docx

11.1.2三角形的高、中线与角平分线夯实基础篇一、单选题：（每题3分，共18分）1．在△AB C中，画边BC上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查三角形高的画法，解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点．中，BC边上的高为（）2．如图，在ABCA．BD B．CF C．AE D．BF【解析】【分析】根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．【详解】根据三角形的高的定义，在△AB C中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．故选：C．【点睛】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．3．下列叙述中错误的一项是（）．A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．【答案】C【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断．【详解】A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，正确；C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确【点睛】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．4．已知，AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【答案】D【解析】【分析】根据等面积法即可求解．【详解】解：∵AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，∴1122AC BD AE BC，即68489.655AE BCACBDcm．故选D．【点睛】本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．5．如图，在△AB C中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）6．如图，AD，AE，AF分别是ABCA ．2BC CDB ．12BAE BAC C ．90AFBD ．AE CE 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A ．∵AD 是ABC 的中线∴2BC CD ，故选项正确，不符合题意；B ．∵AE 是ABC 的角平分线∴12BAE BAC 故选项正确，不符合题意；C ．∵AF 分别是ABC 的高，∴90AFB故选项正确，不符合题意；D ．AE CE 不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．二、填空题：（每题3分，共15分）7．如图，90CBD E F ，则线段______是ABC 中BC 边上的高．【答案】AE【解析】【分析】根据三角形高线的定义判断即可；【详解】∵AE BC ，∴ABC 中BC 边上的高是AE ．故答案是AE ．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．8．如图，△AB C 中，AD 是BC 上的中线，BE 是△AB D 中AD 边的中线，若△ABC 的面积是24，AE ＝3，则点B 到直线AD 的距离为________．【答案】4【解析】【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE 的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．【详解】∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，24ABC S ，∴1122ABD ABC S S ．∵BE 是△AB D 中AD 边上的中线，∴162ABE ABD S S ．设点B 到直线AD 的距离为h ，则162ABE S AE h，即1362h ，∴h =4．即点B 到直线AD 的距离为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一9．如图，在△AB C 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．【答案】5【解析】【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD 的长，再由中线的定义可得CD =BD ，从而得解．【详解】解：∵S △ABD =15，AE 是BC 边上的高，∴12BD •AE =15，则12×6BD =15，解得：BD =5，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD =BD =5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD 的长．10．如图，在三角形ABC 中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，3AB ，4AC ，5BC ，则AD ______．【答案】2.4【解析】【分析】根据面积相等可列式1122AB AC BC AD ，代入相关数据求解即可．【详解】解：∵AB AC ，AD BC ，∴1122AB AC BC AD ∵3AB ，4AC ，5BC ，∴12 2.45AB AC AD BC 故答案諀：2.4【点睛】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．11．已知ABC 中，30cm AC ，中线AD 把ABC 分成两个三角形，这两个三角形的周长差是12cm ，则AB 的长是__________．【答案】42cm 或18cm【解析】【分析】先根据三角形中线的定义可得BD =CD ，再求出AD 把△ABC 周长分为的两部分的差等于|AB -AC |，然后分AB ＞AC ，AB ＜AC 两种情况分别列式计算即可得解．【详解】∵AD 是△AB C 中线，∴BD =C D ．∵AD 是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm ，∴如果AB ＞AC ，那么AB -AC =12cm ，即AB -30=12cm∴AB =42cm ；如果AB ＜AC ，那么AC -AB =12cm ，即30-AB =12cmAB =18cm ．综上所述：AB 的长为42cm 或18cm ．故答案为：42cm 或18cm ．【点睛】考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．三、解答题：（每题8分，共40分）12．如图，BD 和CE 是△ABC 的中线，AE =3cm ，CD =2cm ，若△ABC 周长为15cm ，求BC 边的长．【答案】5cm【解析】【分析】根据中线定义可得AB ，AC ，根据△ABC 周长公式即可求解．【详解】∵BD 和CE 是△ABC 的中线，∴2236AB AE cm ，2224AC CD cm ，∵△ABC 周长为15cm ，即15AB AC BC cm ，∴1515645BC AB AC cm ．【点睛】本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB 和AC 的长．13．如图，△ABC 的周长是21cm ，AB ＝AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，求AB ，B C ．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】【分析】由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．【详解】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝12AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点睛】本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）找出线段AC的中点E，然后连接B E，再过点C向AB所在的直线作垂线，垂足为D 即可；（3）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．(1)如图所示，三角形A′B′C′就是所要求做的图形；(2)如图所示，三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)S △ABC ＝1144822AB CD ．故△ABC 的面积是8．【点睛】本题考查作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图，已知AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，90BAC ．(1)求AD 的长度；(2)求ABE △的面积．【答案】(1)36cm 5(2)227cm 【解析】【分析】（1）利用等面积法，根据1122ABC S AB AC BC AD ，代值求解即可；（2）根据已知条件和（1）中求出的AD 长，利用三角形面积公式得出12ABE S BE AD ，代值求解即可．(1)解：在ABC 中，90BAC ，AD 是边BC 上的高，∵9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，根据1122ABC S AB AC BC AD 可得91236155cm AB AC AD BC ；(2)解：在ABC 中，BE 是边BC 上的中线，且15cm BC ，1152m 2c BE BC ，在ABE 中，AD 是边BE 上的高，且由（1）知5cm 36AD ，2111536272225cm ABE S BE AD ．【点睛】本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键．16．请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC //ED ，BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AE D ．求证：BD ∥EF ．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．能力提升篇一、单选题：（每题3分，共9分）1．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．10C．7或11D．7或10【答案】C【解析】【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①152122yxyy＝＝或②122152yxyy＝＝解方程组①得118xy＝＝，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得710 xy＝＝，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．2．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=43x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=3 2，x=3 10．则四边形PDCE的面积为x+y=7 10．故选B．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比3．如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG 的面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】A【解析】【分析】首先根据点E 是AD 的中点，可知ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ，再根据点D 是BC 的中点，可得BDE CDE S S V ，即可得164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S S V V V V ，然后根据点F ，G 是BE ，CE 的中点，得132AEF ABE S S V V ，132AEG ACE S S V V ，可知FG 是△CBE 的中位线，可得134EFG BCE S SV V ，即可得出答案．【详解】∵点E 是AD 的中点，∴ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ．∵点D 是BC 的中点，∴BDE CDE S S V ，∴164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S SV V V V ．∵点F ，G 是BE ，CE 的中点，∴132AEF ABE S S V V ，13AEG ACE S S V V ，∴FG 是△CBE 的中位线，∴134EFG BCES S V V ，∴+=9AFG AEF AEG EFG S S S S V V V V ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形的面积转化为求三个小三角形的面积是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共9分）4．如图，在ABC 中，2AB AC ，P 是BC 边上的任意一点，PE AB 于点E ，PF AC于点F .若2ABC S ，则PE PF ______．【答案】2【解析】【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF，结合已知条件，即可求得PE PF 的值．【详解】解：如图，连接AP ∵PE AB 于点E ，PF AC 于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF 2AB AC ∵，2ABC S 1122AB PE AC PF 2PE PF 2【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．5．如图，在 AB C 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且 ABC 的面积等于24cm 2，则阴影部分图形面积等于_____cm 2【答案】6【解析】【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【详解】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，而高相等，∴S△BEF=12S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，∴S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=24cm2，∴S△BEF=6cm2，即阴影部分的面积为6cm2．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．6．在ABC 中，90B ，8AB cm ，6BC cm ，点D 是AB 的中点，点P 从A 点出发，沿线段AD 以每秒2cm 的速度运动到B ．当点P 的运动时间t ____________秒时，PCD 的面积为26cm ．【答案】1或3【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AD 上时，当点P 在DB 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】∵8AB cm ，点D 是AB 的中点，∴AD =BD =4cm ，当点P 在AD 上时，AP =2t ，∴PD =4-2t∵PCD 的面积为26cm ，∴12PD ×BC =6，即 142662t 解得t =1s ，当点P 在BD 上时，AP =2t ，∴DP =2t -4，∵PCD 的面积为26cm ，∴12DP ×BC =6，即 124662t ，解得t =3s ，综上，当点P 运动时间t 1或3秒时，PCD 的面积为26cm ．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．三、解答题：（9分）7．如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ．(1)若70,40 ，求DCE 的度数；(2)试用、的代数式表示DCE 的度数_________．【答案】(1)15DCE (2)2【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE ．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1)解：∵70BAC ，40B180()180704070ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1352ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9020ACD BAC ，352015DCE ACE ACD ．(2)解：∵BAC ，B180()180ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1118090222ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9090ACD BAC ， 909022DCE ACE ACD．【点睛】思维拓展篇1.阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC 中AB AC ，BD 是ABC 的高，P 是BC 边上一点，PM 、PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M 、N ．求证：BD PM PN ．阳阳发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ，即111222AC BD AB PM AC PN ．由AB AC ，可得BD PM PN ．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD 、PM 、PN 之间的数量关系是：BD PN PM ．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．ABC APC S S ∵________，1122AC BD AC ________12AB ________．AB AC ∵，BD PN PM ．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC 中，AB AC BC ，BD 是ABC 的高．P 是ABC 所在平面上一点，PM 、PN 、PQ 分别与直线AB 、AC 、BC 垂直，垂足分别为点M 、N 、Q ．①如图3，若点P 在ABC 的内部，猜想BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系并写出推理过程．②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ，证明见解析②BD ＝PM ＋PQ −PN ．【解析】【分析】（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC 得出12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，由AB ＝AC ＝BC ，即可得出BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ，得出12AC •BD ＝12AB •PM ＋1 2BC•PQ−12AC•PN，由于AB＝AC＝BC，即可证得BD＝PM＋PQ−PN．【详解】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC＝S△APC−S△APB，∴12AC•BD＝12AC•PN−12AB•PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN−PM．故答案为：S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC∴12AC•BD＝12AC•PN＋12AB•PM＋12BC•PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ−PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△AP C．∴12AC•BD＝12AB•PM＋12BC•PQ−12AC•PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ−PN．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．。

专题(6)三角形的“角平分线”“中线”和“高线”教师版

高三第二轮专题复习专题（6）——三角形的“角平分线”、“中线”和“高线”类型1、三角形的内角平分线问题例1、如图，在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍.（1）求sin sin B C；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.答案：（1）12；（2）1. 变式1、已知AD 为ABC ∆内角A 的角平分线，03,5,120AB AC BAC ==∠=，求AD 的长度.答案：158.变式2、在ABC ∆中，2,1AB AC ==,角A 的平分线1AD =，求ABC ∆的面积S .类型2、三角形的中线问题例2、在ABC ∆中，2,3,AB AC BC ==边上的中线2AD =，求ABC ∆的面积S .答案：4. 变式：在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知函数()sin(2)6f x x π=-满足：对于任意,()()x R f x f A ∈≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 长的取值范围．解（1）由题意，∵对于任意,()()x R f x f A ∈≤恒成立， ∴()sin(2)6f x x π=-的最大值为()f A ，当()f x 取得最大值时，22,62x k k Z πππ-=+∈，即,3x k k ππ=+∈Z ， ∴,3A k k ππ=+∈Z ，又∵A 是三角形的内角，即0A π<<，∴3A π=．（2）∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆中，2232cos 4AM AM AMB c +-∠=， ①在ACM ∆中，2232cos 4AM AM AMC b +-∠=， ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得 222324b c AM +=-．由余弦定理222222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-=， ∵2222032b c b c bc +<+-=≤，∴2236b c <+≤，∴23944AM <≤32AM <≤ 类型3、三角形的高线例3、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin a A =. （1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠的值.答案：（1）3π；（2. 变式：已知ABC ∆的一个内角为0120，并且三边长构成公差为4的等差数列，求ABC ∆的面积.答案：类型4、四边形问题例4、在平面四边形ABCD 中，075,2A B C BC ====，求AB 的取值范围.答案：.变式：在平面四边形ABCD 中，内角A C 与互补，1,3,2AB BC CD DA ====.（1）求角C 和边BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.答案：（1）,3C BD π∠==（2）。

三角形的高、中线与角平分线专题(含答案)

11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1.以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线; ②三角形的三条高所在直线相交于一点; ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点; ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分; ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．A.5个B.4个C.3个D.2个2.如图所示，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()A.BA=2BFB.∠ACE=12∠ACBC.AE=BED.CD⊥AB3.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是()A. B. C. D.4.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为三角形“高”的线段有()A.1条B.2条C.3条D.5条5.若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A.AB=BCB.BD=DCC.AD平分BCD.BC=2DC6.如图，△ABC中AB边上的高线是()A.线段DAB.线段CAC.线段CDD.线段BD7.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是()A.AE=CEB.∠ADC=90∘C.∠CAD=∠CBED.∠ACB=2∠ACF8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm2，则S△BEF等于()A.2cm2B.1cm2C.12cm2D.14cm29.如果AD是△ABC的中线，那么下列结论： ①BD=12CB; ②AB=AC; ③S△ABD=S△ACD.其中一定成立的有()A.3个B.2个C.1个D.0个10.如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为()A.10B.8C.6D.511.填空：(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2，BD=，AE=12．(2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠，∠3=12，∠ACB=2．12.如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E.已知AE=5，DE=2，CD=95，则AB的长为．13.若AD是△ABC的高，∠BAD=70∘，∠CAD=20∘，则∠BAC的度数为．14.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//BC，交AC于点E.若∠AED=50°，则∠D的度数为______．15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．(1)分别写出△ABC各条边上的高；(2)CF是哪几个三角形的高？16.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE//AC交AB于点E，若∠EDA=∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．17.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多少？(提示：利用三角形的面积公式．)18.如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90∘.试求：(1)AD的长;(2)△ABE的面积;(3)△ACE与△ABE的周长的差．19.如图，AD是△ABC的角平分线．DE // AC，DE交AB于点E，DF // AB，DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系？为什么？20.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中BC边上的高AD;(2)画出△ABC中AC边上的中线BE;(3)直接写出△ABE的面积为．11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】AF或BFCDAC∠2∠ABC∠4或∠ACF12.【答案】9213.【答案】90∘或50∘14.【答案】25°15.【答案】解：(1)由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；(2)∵CF⊥AB，垂足为点F，∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．16.【答案】解：∵DE//AC，∴∠ADE=∠CAD，∵∠EDA=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．17.【答案】解：∵AD和CE分别是△ABC边BC和边AB上的高，∴S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，即2AD=CE，．18.【答案】解：(1)∵∠BAC=90∘，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅AC BC=6×810=4.8(cm)，即AD的长为4.8cm．(2)∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90∘，AB=6cm，AC=8cm，∴S△ABC=12AB⋅AC=12×6×8=24(cm2).又∵AE是△ABC的中线，∴BE=EC，∴12BE⋅AD=12EC⋅AD，即S△ABE=S△AEC，∴S△ABE=12S△ABC=12(cm2)，∴△ABE的面积是12cm2．(3)∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=AC+AE+CE−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE与△ABE的周长的差是2cm．19.【答案】解：∠1=∠2．理由如下：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC.因为DE//AC，所以∠DAC=∠1.因为DF//AB，所以∠DAB=∠2．所以∠1=∠2．20.【答案】解：(1)如图所示，线段AD即为所求．(2)如图所示，线段BE即为所求．(3)4．。

(完整版)三角形三条中线、高、角平分线相交于一点的证明

过点O 做ΔABC 三边的垂线OM 、OR 、ON∵BN 、CM 是ΔABC 的角平分线∴OM=OR=ON∴点O 在∠BAC 的角平分线上∴三角形的三条角平分线相交于一点证明三条高线重合求证：P 、Q 、O 三点重合证明：如图，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽ △ACF∴AFAE AC AB = 即AB ·AF = AC ·AE又∵AD ⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC ，△AFP ∽ △ADB∴AC AQ AD AE =，ABAP AD AF = 即AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP∵AB ·AF = AC ·AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP∴AD ·AQ = AD ·AP∴AQ = AP∵点Q 、P 都在线段AD 上∴点Q 、P 重合∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE 与CF 也交于此点∴点Q 、P 、O 重合。

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE .证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。

∵OG=OB∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD‖CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF‖AG ∵AD‖CG，CF‖AG∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分∴AE=CE 命题得证。