山东省聊城市三十里铺中学高三数学文测试题含解析

山东省聊城市三十里铺中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A．B．C． D．
参考答案：
D
2. 已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（）
A．6 B．0 C．2 D．
参考答案：
3. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的
分别为675,125，则输出的
A．0 B．25
C．50
D．75
参考答案：
B
4. 已知函数，则函数（）的零点个数不可
能（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
5. 函数y=log a（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】先画y=log a x，然后将y=log a x的图象向左平移1个单位得y=log a（x+1），再保留y=log a （x+1）图象在y轴的右边的图象，y轴左边的图象与之对称即得到函数y﹣log a（|x|+1）（a＞1）的大致图象．
【解答】解：先画y=log a x，
然后将y=log a x的图象向左平移1个单位得y=log a（x+1），
再保留y=log a（x+1）图象在y轴的右边的图象，
y轴左边的图象与之对称即得到函数y﹣log a（|x|+1）（a＞1）的大致图象．
故选B．
6. 已知数列{a n}满足a2=102，a n+1﹣a n=4n，（n∈N*），则数列的最小值是( )
A．25 B．26 C．27 D．28
参考答案：
B
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用累加法可求得a n，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形．
【解答】解：由a n+1﹣a n=4n得，
a3﹣a2=8，a4﹣a3=12，a5﹣a4=16，…，a n﹣a n﹣1=4（n﹣1），
以上各式相加得，a n﹣a2=，所以a n=102+（n﹣2）（2n+2）（n≥2），
而a2﹣a1=4，所以a1=a2﹣4=98，适合上式，
故a n=102+（n﹣2）（2n+2）（n∈N*），
=﹣2=26，
当且仅当即n=7时取等号，
所以数列的最小值是26，
故选B．
【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力．
7. 一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
B 【分析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．
【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半，
且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，
所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，
即最大水面高度为，故选B.
【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
8. 函数的图象关于（）
A．原点对
称 B．轴对称
C．直线对称 D．直线
对称
参考答案：
A
考点：三角函数的图象和性质的运用.
9. 若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）
A．a＜B．＜a＜C．a＞1 D．＜a＜或a＞1
参考答案：
D
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】先把0变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，
∴log a（3a﹣1）＞log a1，
当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a ＞0，∴a＞1；
当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a ＜，∴＜a ＜ 综上可知a 的取值是a ＞1或＜a ＜． 故选D ． 10. 命题
:函数
（
且
）的图像恒过点
；
命题：函数有两个零点.
则下列说法正确的是 A. “或”是真命题 B. “且”是真命题
C.
为假命题 D.
为真命题
参考答案：
A 因为函数
恒过定点（0,1），所以函数
恒过定点（0，-1），因此命题
为
假命题；由得：
，所以函数有两个零点，因此命题为真
命题，所以“
或”是真命题，“
且”是假命题，
为真命题，
为假命题，因此选A 。

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知 ，定义。

经计算…，照此规律，则
_______.
参考答案：
略
12. 设x ，y 满足约束条件
，则
的最小值为
．
参考答案：
-3
画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点(－1,1)处取得最小值为－3.
13. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的
规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分
（1寸=10分）．
135.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 寸．
参考答案：
82
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设晷影长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1=130.0，a 13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设晷影长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1=130.0，a 13=14.8， 则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6． ∴a 6=130.0﹣9.6×5=82.0．
∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸． 故答案为：82．
14. 已知函数
，无论t 去何值，函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上总
是不单调，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
[2，+∞）
【考点】3F ：函数单调性的性质．
【专题】33 ：函数思想；49 ：综合法；51
：函数的性质及应用．
【分析】首先分析f （x ）=x 3
﹣x ，其单调区间．然后根据无论t 取何值，函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调，判断f （x ）=（2a ﹣1）x+3a ﹣4的单调性，求出a 的取值范围即可． 【解答】解：∵y=﹣x 2
+3x 的图象开口向下， ∴y=﹣x 2+3x 总存在一个单调减区间， 要使f （x ）在R 上总是不单调，
只需令y=（2a ﹣4）x+2a ﹣3不是减函数即可． 故而2a ﹣4≥0，即a≥2． 故答案为：[2，+∞）．
15. （5分）（2015?枣庄校级模拟）设、是平面直角坐标系（坐标原点为O ）内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且
，
，则△OAB 的面积等于 ．
参考答案：
5
【考点】： 向量在几何中的应用；数量积表示两个向量的夹角．
【专题】： 计算题．
【分析】： 确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，利用三角形的面积公式，即可得到结论． 解：由题意，
=（﹣2，1），
=（4，3）
∴|
|=
，|
|=5
∴cos∠AOB=
=﹣
∴sin∠AOB=
∴△OAB 的面积等于×
×5×
=5
故答案为：5
【点评】： 本题考查三角形面积的计算，解题的关键是确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，属于中档题．
16. 设满足条件，则的最小值
参考答案： 略
17. 函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ）为单函数，例如，函数f （x ）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题： ①函数f （x ）=x 2（x∈R）是单函数； ②指数函数f （x ）=2x （x∈R）是单函数；
③若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f（x 2）； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；
⑤若f （x ）为单函数，则函数f （x ）在定义域上具有单调性． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
参考答案：
②③④
【考点】进行简单的合情推理．
【专题】综合题；推理和证明．
【分析】利用单函数的定义当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，分别对五个命题进行判断，可以得出正确结论．
【解答】解：①对于函数f（x）=x2，由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1=﹣x2或x1=x2，所以①不是单函数，①错误；
②对于函数f（x）=2x，由f（x1）=f（x2）得，∴x1=x2，所以②是单函数，②正确；
③对于f（x）为单函数，则f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，逆否命题是x1≠x2时，有f（x1）≠f
（x2），所以③是正确的；
④若函数f（x）是单调函数，则满足f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，所以④是单函数，④正确；
⑤存在函数是单函数，但函数f（x）在定义域上不具有单调性，故⑤不正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用单函数的定义是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosA，cosB），=（a，2c﹣b），且∥．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．
参考答案：
【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】解三角形．
【分析】（I）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sinA的值即可得到三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（I）∵向量=（cosA，cos B），=（a，2c﹣b），且∥，
∴acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，
利用正弦定理化简得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0，
∴sinAcosB+cosAsinB﹣2sinCcosA=0，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=，
又0＜A＜π，则A=；
（II）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：16=b2+c2﹣bc≥bc，即bc≤16，
当且仅当b=c=4时，上式取等号，
∴S△ABC=bcsinA≤4，
则△ABC面积的最大值为4．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19.
（12分）已知函数的图象在x=2处的切线互相平行.
（1）求t的值.
（2）设恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
解析：（1）解：………………………..2分∵函数的图象在x=2处的切线互相平行，
∴
∴
∴t=6 …………………………………………………………………………………..4分（2）∵t=6，
∴
=………………………………………………..…………6分令
∵
∴当
∴是单调减函数，在是单调增函数………………………………..8分∴
∴当
∵当………………………………….10分∴满足条件的a的值满足下列不等式组：
①或②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②，得
综上所述，满足条件的a的取值范围是…………………………………12分20. (本小题满分12分) 已知函数
（1）若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围（2）设函数在[0，1]上的最小值为，求的解析式及时
实数m的值.
参考答案：
21. 为了解本校学生课外阅读情况，某校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。

下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。

（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，（须在答题卷上画出2×2列联表）并据此判断是否有
99%
的把握认为“读书迷”与性别有关？
（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率。

附：
（1）
……………2分
22. （满分10分）《选修4-5：不等式选讲》
已知函数
．
（I ）证明：
≤
≤3； （II ）求不等式≥
的解集．
参考答案：
解：（I ）
当
所以
………………5分
（II ）由（I ）可知，
当的解集为空集；
当；
当.
综上，不等式…………10分。