第12章无穷级数近年试题 答案
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（A）若，则级数收敛； （B） 若级数收敛，则必有； （C）若级数发散，则必有； （D）以上说法都不对.
四、计算题（每小题8分，共32分） 4、求幂级数在收敛域内的和函数．
解：级数缺少奇次幂的项. 所以原级数的收敛半径为，收敛域为。
在收敛域内， ，. 注：，
六、证明题（7分）
若，且是方程的一个根，为正整数，证明级数发散． 证明：设，连续， 由根的存在性定理，方程存在一个根，由根与系数的关系，另一个根小 于0，所以，，所以 故，而级数发散，由正项级数的比较判别法知级数发散.
1314高数C
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
．
Key： 1
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 下列级数中，条件收敛的是
(A) . (B) . (C) . (D) .
B
五、综合题（每小题11分，共22分） (2) 求幂级数在区间内的和函数，并求级数的和.
解：设，，则， 两边求导得 。
令，令，代入上式，得
1213高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
.
Key： 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
(4) 下列级数中，条件收敛的是
(A) . (B) . (C) . (D) .
C
(5) 若幂级数在点收敛，则它在点
(A) 发散. (B) 条件收敛.
(C) 绝对收敛.
不能确定
Key： ．
解：设当时，，所以当时，绝对收敛.
当时，收敛性无法确定，从而收敛性无法确定.
解法二：设，当时，，所以当时，绝对收敛. 即幂级数在区间内绝 对收敛；从而可知在内绝对收敛，而不是区间内的点，故幂级数在处的
收敛性不能确定．
五、（10分）求幂级数的收敛域,及其在收敛区间内的和函数,并求的
（A）
（A）当时,收敛；
（B） 当时,收敛；
（C） 当时,发散；
（D）当时,发散．
,,
当，即时级数收敛，当，即时,级数发散,所以收敛半径
三、（10分）判别下列级数的敛散性．
1、
2、
解：1.，因为级数收敛，所以原级数收敛.
2. ，所以原级数绝对收敛，其本身也收敛.
四、计算题（每小题10分，共40分）
4、求幂级数的收敛域及和函数，并求的值．
一、填空题（每小题3分，共18分） 6. 函数关于的幂级数展开式为 .
或，
二、选择题（每小题3分，共18分） 2.下列级数中绝对收敛的级数是 [ ]
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
D
五、（8分）求级数的收敛域及和函数.
解：因为，所以收敛半径为1. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.
所以 .…………8分
七、（本题满分5分） 已知级数和都收敛, 试证明：级数收 敛. 证明：，和都收敛，，所以绝对收敛，从而收敛，，由有限个 收敛级数可以逐项相加的性质可知收敛.
0708高数A
3. 幂级数的收敛域为_____
__ .
；
5. 函数关于的幂级数展开式为____
.
， 或，
二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分
当时，级数成为收敛，当时，级数成为收敛，所以收敛域为
(2) 利用逐项求导或逐项积分，求级数的和函数.
解：级数缺少偶次幂的项，
当，即时级数收敛，当，即时,级数发散,所以收敛半径 当时，级数成为发散，当时，级数成为发散，所以收敛域为.
在区间上，设和函数为，则
， ， 所以 .
解法二：级数缺少偶次幂的项， ,
....................6分 .......................8分 注：
1011高数A
...........3分
二、选择题（每小题3分，共15分）
3、是级数收敛的
（）
充分条件 必要条件 充分非必要条件 充要条件
Key ：B
4、若在处收敛，则它在处
（）
发散
条件收敛
绝对收敛
解：令，级数变为，
，收敛半径为1，收敛区间为，即
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为..........2分 令...................6分 ...................8分
0809高数B 一、填空题（每小题3分，共18分）
6、将函数展为的幂级数为
.
， 注：
二、选择题（每小题3分，共15分） 5、对于无穷级数下列结论正确的是（ B ）
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) . D 4. 若收敛，则级数 [ ] (A) 一定收敛； (B ) 一定发散； (C) 绝对收敛； (D) 收 敛性不能确定.
D
如果是正项级数, 则级数不一定收敛.
例如： 级数收敛，级数可能收敛也可能发散．如级数收敛，但级数却 发散；又如级数收敛，级数也收敛．
(1) 设为常数，则为
(A )
A 绝对收敛； B 条件收敛； C 发散；
D 收敛性取
决于的值．
(5) 设幂级数 的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为( B )
； ；；.
五、计算题Ⅱ（每小题8分，共16分）
(1) 求级数的收敛半径，收敛域.
解：级数缺少奇次幂的项，
1分
当，即时级数收敛，
当，即时,级数发散,所以收敛半径
令...................6分 ...................8分
四、解答题（每小题11分，共33分）
2. 判别级数的敛散性，若收敛则说明条件收敛还是绝对收敛. 2、解：
...................6分 ...................11分
1011高数B
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
当，即时级数收敛，当，即时,级数发散,所以收敛半径 当时，级数成为发散，当时，级数成为发散，所以收敛域为.
在区间上，设和函数为，则
，两边求导得
,
， 所以 .
0910高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
5、写出的麦克劳林级数_______.
解：，，
二、选择题（每小题2分，共10分）
5、如果,则幂级数
(A)发散
(B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D) 不能确定
D
解：设，当时，，所以当时，发散. 即幂级数在内发散；从而可知在发
散，而不属于，故幂级数在处的收敛性不能确定．
三、计算题（每小题8分，共40分）
5. 计算级数的收敛域及和函数. 解：令，级数变为，
，收敛半径为1，收敛区间为，即
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为收敛域为..........2分
(D) 不
能确定.
D
解：当时，，所以当时，绝对收敛. 即幂级数在区间内绝对收敛；
而不是区间内的点，故幂级数在处的收敛性不能确定.
三、计算题（每小题8分，共40分） (5) 判定级数的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?
解：设 ，当时，即而发散，所以发散. 由于且则由莱布尼茨定理可知收敛，从而条件收敛。
3. 下列级数中，绝对收敛的级数是 (
).
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) .
六、（9分）求级数的和函数, 并求级数的和.
解:
1分
当时级数收敛，且时,级数发散,所以收敛域为(-1,1).
在收敛域内
3分
5分
===
9分
2分 7分
0809高数A
一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
三、计算题（每小题8分，共40分） (4) 判定级数的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?
解：设 为交错级数，且当时，即而发散，所以发散. 由于且则由莱布尼茨定理可知收敛，从而条件收敛。
(5) 求幂级数的收敛域及和函数. 解：所以收敛半径为.
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则 ， .…………8分
五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 求幂级数的收敛域及和函数. 解 ，收敛半径为1，
又当时，级数为发散，时，级数为收敛， 故级数的收敛域为.
，
1112高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
3. 已知级数的部分和，则=. ，
二、选择题（每小题2分，共10分）
5. 若在处发散，则它在处（ ）
0405高数A 一、选择题（单项选择题，每小题4分，满分40分）。
4.若级数在处收敛,则此级数在处[ ]
绝对收敛； 条件收敛； 发散； 不确定
6.下列级数中，条件收敛的级数是 [
]
A ； B ；C ； D .
二、填空题（本题共5小题，每题4分，满分20分）
4. 函数的麦克劳林级数为__________. 或 五、（满分10分）求幂级数的收敛区间及和函数。
5. 函数关于的幂级数展开式为____
.
，
注：
二、选择题（每题2分，满分10分）
5. 下列级数中，绝对收敛的级数是 (
).
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) .
A
五、（8分）求幂级数的收敛域及和函数。
解：级数缺少奇源自文库幂的项. 所以原级数的收敛半径为，收敛域为。
在收敛域内， ，. 注：，
0910高数A
解：设，
因为，所以收敛半径为1.
又时，级数均发散，故级数的收敛域为，收敛区间为. 在区间上，设和函数为，则 ………………………………3分 …………….3分
...3分
0607高数A
1、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
4. 函数关于的幂级数展开式为____. ， 二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分） 3. 下列级数中，条件收敛的级数是 [ ]
六、（本题满分10分）已知幂级数，求其收敛区间、和函数, 并 求出数项级数的和.
解：因为 所以收敛半径
当时，级数成为，发散；当时，级数为交错级数，收敛 ∴收敛域为.收敛区间为. 设，. 则 ， .…………8分 解法二：因为 所以收敛半径 当时，级数成为，发散；当时，级数为交错级数，收敛 ∴收敛域为.收敛区间为. ，
(B) .
(C) .
(D) .
(5) ． A, D绝对收敛，C发散，B条件收敛.
三、计算题（每小题10分，共40分）
(4) 求幂级数的收敛域及和函数.
(4) 解：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则,…8分 .…………10分
解法二：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分
1213高数A
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
.
Key： 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 若幂级数在点收敛，则它在点
(A) 发散. (B) 条件收敛.
(C) 绝对收敛. (D) 不
能确定.
D
解：幂级数在处收敛，由Abel定理可知，对于适合不等式的一切使该
级数绝对收敛，即幂级数在区间内绝对收敛；而不是区间内的点，故幂 级数在处的收敛性不能确定．
值. 解： ，所以收敛半径为.
又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则,…6分 .…………8分 …………10分 解法二：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，.
1112高数A
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 下列级数中, 条件收敛的是
(A) .
四、计算题（每小题8分，共32分） 4、求幂级数在收敛域内的和函数．
解：级数缺少奇次幂的项. 所以原级数的收敛半径为，收敛域为。
在收敛域内， ，. 注：，
六、证明题（7分）
若，且是方程的一个根，为正整数，证明级数发散． 证明：设，连续， 由根的存在性定理，方程存在一个根，由根与系数的关系，另一个根小 于0，所以，，所以 故，而级数发散，由正项级数的比较判别法知级数发散.
1314高数C
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
．
Key： 1
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 下列级数中，条件收敛的是
(A) . (B) . (C) . (D) .
B
五、综合题（每小题11分，共22分） (2) 求幂级数在区间内的和函数，并求级数的和.
解：设，，则， 两边求导得 。
令，令，代入上式，得
1213高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
.
Key： 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
(4) 下列级数中，条件收敛的是
(A) . (B) . (C) . (D) .
C
(5) 若幂级数在点收敛，则它在点
(A) 发散. (B) 条件收敛.
(C) 绝对收敛.
不能确定
Key： ．
解：设当时，，所以当时，绝对收敛.
当时，收敛性无法确定，从而收敛性无法确定.
解法二：设，当时，，所以当时，绝对收敛. 即幂级数在区间内绝 对收敛；从而可知在内绝对收敛，而不是区间内的点，故幂级数在处的
收敛性不能确定．
五、（10分）求幂级数的收敛域,及其在收敛区间内的和函数,并求的
（A）
（A）当时,收敛；
（B） 当时,收敛；
（C） 当时,发散；
（D）当时,发散．
,,
当，即时级数收敛，当，即时,级数发散,所以收敛半径
三、（10分）判别下列级数的敛散性．
1、
2、
解：1.，因为级数收敛，所以原级数收敛.
2. ，所以原级数绝对收敛，其本身也收敛.
四、计算题（每小题10分，共40分）
4、求幂级数的收敛域及和函数，并求的值．
一、填空题（每小题3分，共18分） 6. 函数关于的幂级数展开式为 .
或，
二、选择题（每小题3分，共18分） 2.下列级数中绝对收敛的级数是 [ ]
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
D
五、（8分）求级数的收敛域及和函数.
解：因为，所以收敛半径为1. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.
所以 .…………8分
七、（本题满分5分） 已知级数和都收敛, 试证明：级数收 敛. 证明：，和都收敛，，所以绝对收敛，从而收敛，，由有限个 收敛级数可以逐项相加的性质可知收敛.
0708高数A
3. 幂级数的收敛域为_____
__ .
；
5. 函数关于的幂级数展开式为____
.
， 或，
二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分
当时，级数成为收敛，当时，级数成为收敛，所以收敛域为
(2) 利用逐项求导或逐项积分，求级数的和函数.
解：级数缺少偶次幂的项，
当，即时级数收敛，当，即时,级数发散,所以收敛半径 当时，级数成为发散，当时，级数成为发散，所以收敛域为.
在区间上，设和函数为，则
， ， 所以 .
解法二：级数缺少偶次幂的项， ,
....................6分 .......................8分 注：
1011高数A
...........3分
二、选择题（每小题3分，共15分）
3、是级数收敛的
（）
充分条件 必要条件 充分非必要条件 充要条件
Key ：B
4、若在处收敛，则它在处
（）
发散
条件收敛
绝对收敛
解：令，级数变为，
，收敛半径为1，收敛区间为，即
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为..........2分 令...................6分 ...................8分
0809高数B 一、填空题（每小题3分，共18分）
6、将函数展为的幂级数为
.
， 注：
二、选择题（每小题3分，共15分） 5、对于无穷级数下列结论正确的是（ B ）
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) . D 4. 若收敛，则级数 [ ] (A) 一定收敛； (B ) 一定发散； (C) 绝对收敛； (D) 收 敛性不能确定.
D
如果是正项级数, 则级数不一定收敛.
例如： 级数收敛，级数可能收敛也可能发散．如级数收敛，但级数却 发散；又如级数收敛，级数也收敛．
(1) 设为常数，则为
(A )
A 绝对收敛； B 条件收敛； C 发散；
D 收敛性取
决于的值．
(5) 设幂级数 的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为( B )
； ；；.
五、计算题Ⅱ（每小题8分，共16分）
(1) 求级数的收敛半径，收敛域.
解：级数缺少奇次幂的项，
1分
当，即时级数收敛，
当，即时,级数发散,所以收敛半径
令...................6分 ...................8分
四、解答题（每小题11分，共33分）
2. 判别级数的敛散性，若收敛则说明条件收敛还是绝对收敛. 2、解：
...................6分 ...................11分
1011高数B
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
当，即时级数收敛，当，即时,级数发散,所以收敛半径 当时，级数成为发散，当时，级数成为发散，所以收敛域为.
在区间上，设和函数为，则
，两边求导得
,
， 所以 .
0910高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
5、写出的麦克劳林级数_______.
解：，，
二、选择题（每小题2分，共10分）
5、如果,则幂级数
(A)发散
(B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D) 不能确定
D
解：设，当时，，所以当时，发散. 即幂级数在内发散；从而可知在发
散，而不属于，故幂级数在处的收敛性不能确定．
三、计算题（每小题8分，共40分）
5. 计算级数的收敛域及和函数. 解：令，级数变为，
，收敛半径为1，收敛区间为，即
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为收敛域为..........2分
(D) 不
能确定.
D
解：当时，，所以当时，绝对收敛. 即幂级数在区间内绝对收敛；
而不是区间内的点，故幂级数在处的收敛性不能确定.
三、计算题（每小题8分，共40分） (5) 判定级数的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?
解：设 ，当时，即而发散，所以发散. 由于且则由莱布尼茨定理可知收敛，从而条件收敛。
3. 下列级数中，绝对收敛的级数是 (
).
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) .
六、（9分）求级数的和函数, 并求级数的和.
解:
1分
当时级数收敛，且时,级数发散,所以收敛域为(-1,1).
在收敛域内
3分
5分
===
9分
2分 7分
0809高数A
一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
三、计算题（每小题8分，共40分） (4) 判定级数的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?
解：设 为交错级数，且当时，即而发散，所以发散. 由于且则由莱布尼茨定理可知收敛，从而条件收敛。
(5) 求幂级数的收敛域及和函数. 解：所以收敛半径为.
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则 ， .…………8分
五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 求幂级数的收敛域及和函数. 解 ，收敛半径为1，
又当时，级数为发散，时，级数为收敛， 故级数的收敛域为.
，
1112高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
3. 已知级数的部分和，则=. ，
二、选择题（每小题2分，共10分）
5. 若在处发散，则它在处（ ）
0405高数A 一、选择题（单项选择题，每小题4分，满分40分）。
4.若级数在处收敛,则此级数在处[ ]
绝对收敛； 条件收敛； 发散； 不确定
6.下列级数中，条件收敛的级数是 [
]
A ； B ；C ； D .
二、填空题（本题共5小题，每题4分，满分20分）
4. 函数的麦克劳林级数为__________. 或 五、（满分10分）求幂级数的收敛区间及和函数。
5. 函数关于的幂级数展开式为____
.
，
注：
二、选择题（每题2分，满分10分）
5. 下列级数中，绝对收敛的级数是 (
).
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) .
A
五、（8分）求幂级数的收敛域及和函数。
解：级数缺少奇源自文库幂的项. 所以原级数的收敛半径为，收敛域为。
在收敛域内， ，. 注：，
0910高数A
解：设，
因为，所以收敛半径为1.
又时，级数均发散，故级数的收敛域为，收敛区间为. 在区间上，设和函数为，则 ………………………………3分 …………….3分
...3分
0607高数A
1、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
4. 函数关于的幂级数展开式为____. ， 二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分） 3. 下列级数中，条件收敛的级数是 [ ]
六、（本题满分10分）已知幂级数，求其收敛区间、和函数, 并 求出数项级数的和.
解：因为 所以收敛半径
当时，级数成为，发散；当时，级数为交错级数，收敛 ∴收敛域为.收敛区间为. 设，. 则 ， .…………8分 解法二：因为 所以收敛半径 当时，级数成为，发散；当时，级数为交错级数，收敛 ∴收敛域为.收敛区间为. ，
(B) .
(C) .
(D) .
(5) ． A, D绝对收敛，C发散，B条件收敛.
三、计算题（每小题10分，共40分）
(4) 求幂级数的收敛域及和函数.
(4) 解：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则,…8分 .…………10分
解法二：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分
1213高数A
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
.
Key： 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 若幂级数在点收敛，则它在点
(A) 发散. (B) 条件收敛.
(C) 绝对收敛. (D) 不
能确定.
D
解：幂级数在处收敛，由Abel定理可知，对于适合不等式的一切使该
级数绝对收敛，即幂级数在区间内绝对收敛；而不是区间内的点，故幂 级数在处的收敛性不能确定．
值. 解： ，所以收敛半径为.
又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则,…6分 .…………8分 …………10分 解法二：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，.
1112高数A
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 下列级数中, 条件收敛的是
(A) .