第12章无穷级数近年试题 答案
《无穷级数》练习题参考答案
无穷级数P127-练习1判别下列级数的敛散性：1．312ln n nn∞=∑；【解】321454ln ln lim lim 01→∞→∞==n n nnnnn，而级数5141∞=∑n n收敛（54p =的p -级数），则由正项级数的极限形式的比较判别法知312ln n nn∞=∑收敛.2．21sin2n n n π∞=∑．【解】因为22sin 22ππ≤n n n n ，由于2112(1)12lim lim 122n n n n nnn un u p p ++®¥®¥+==<，故由正项级数的比值判别法知级数212π∞=∑n n n 收敛.再由正项级数的比较判别法知21sin2nn n π∞=∑收敛，且为绝对收敛.P128-练习2设常数0,a >试判别级数1(1)(1cos nn a n ∞=−−∑是条件收敛还是绝对收敛．（1992）【解】2111(1)(1cos )(1cos )2sin 2nn n n a a a n n n ∞∞∞===−−=−=∑∑∑，因为正项级数212n a n ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑收敛，而22sin 22a a n n ⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠，所以正项级数211(1cos 2sin 2n n a a n n ∞∞==−=∑∑收敛，从而级数1(1)(1cos )nn an ∞=−−∑绝对收敛.P129-练习3设正项级数1n n a ∞=∑收敛，且常数(0,)2πλ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ∞=−∑（）．（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与λ有关【解】因正项级数1nn a∞=∑收敛，所以21nn a∞=∑也收敛.又22tan lim lim tan ,0nn n n n a n n a n ll l l ®¥®¥==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知21(1)(tan n n n n a n λ∞=−∑是绝对收敛的.选（A ）P130-练习4设级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数1nn c∞=∑收敛．【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤⇒≤−≤−,故级数11(),()nn nn n n ba ca ∞∞==−−∑∑均为正项级数.因为级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ba ∞=−∑收敛，由正项级数的比较判别法知1()n n n c a ∞=−∑收敛，又由于级数()11()n nn n n n c ac a ∞∞===+−∑∑，则由性质知级数1n n c ∞=∑收敛．P133-练习5求幂级数121(1)21n n n x n -¥=--å的收敛域及和函数．（2010）【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]−；当()1,1x ∈−时，设11221111(1)(1)()()2121n n n n n n S x x x x xS x n n --¥¥-==--===--åå，其中12111(1)()21n n n S x xn -¥-=-=-å，而1211221200011(1)1()(1)arctan 211n xx x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -¥¥---==¢æöæö-÷÷çç÷==-==÷çç÷÷ç÷ç-+èøèøååòòò，故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==-。
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n ∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。
3.求幂级数0nn ∞=的收敛区间。
4.证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。
注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。
5.在区间(1,1)-求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。
6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。
7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。
8.设40tan n n a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛。
9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。
10.已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。
无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n nn n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sin n n 收敛。
2）)(1~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知 ∑∞=+1)11ln(n n 发散。
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章无穷级数练习题含答案第十二章无穷级数练习1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?12.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？（？1）n？1n？1n1；[n？]3n2??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。
4.证明系列？N1n！NNX何时|x |？当e是绝对收敛时，当| x |？E.1n）处的散度单调增加，而limxn？En??nn注：数列xn?(1?5.找出区间（？1,1）中的幂级数n?1xn?1n的和函数。
6.找到这个系列吗？N21（n？1）和22 n。
一7.设a1?2,an?1?12(an?1an)（n?1,2,?）证明1）利曼存在；2）连续剧？（n？Anan？1？1）收敛。
n?18.设定一个？？40? ntanxdx1）求?n?11n(an?an?2)的值；2）验证：对于任何常数？？0系列？N1安？汇聚19.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问a?1?是否收敛？并说明理N1.N1n拜拜。
1211??11?xlndx。
10.已知1?2?2[参见教材246页]，计算??1?x3580x。
二无穷级数例题选解1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1解决方案：1）？sin1n2和N11n收敛，由比较审敛法知2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。
)~ 1n（n？？）和N1.1n散度，由比较审敛法的极限形式知联合国？1un？N1ln（1？1n）散度。
n3）??lim?nlim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?nlim，NN1n！Ennn？？知识收敛比1n1n!n2收敛。
14）?? 林恩？？un4？2n？1.2n？1.N林N3n？29 3n？2.2n？1.2n？1.汇聚1.从根值收敛法，我们可以知道3n？2.N1.2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？N1（？1）n？1n1；[n？]3n?n?12??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，N1人？？林？|联合国？1 | | un | n？1n13.知道进展情况吗？（？1）n？1.N32n绝对收敛，n1[n?]条件收敛。
无穷级数单元测试题
第十二章 无穷级数单元测试题一、判断题1、。
收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u 〔 〕 2、假设正项级数∑∞=1n nu 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。
〔 〕 3、假设正项级数∑∞=1n n u 发散，则。
1lim 1>=+∞→r u u nn n 〔 〕 4、假设∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则nn n v u ∑∞=1绝对收敛。
〔 〕 5、假设幂级数n n n x a )23(1-∑∞=在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。
〔 〕 6、已知nn n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。
〔 〕 7、n n n x a ∑∞=1和nn n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞=+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。
〔 〕8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数...!2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。
〔 〕 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。
〔 〕10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，n a 〔n=0,1,2,...〕, n b 〔n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则必有)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。
〔 〕 二、选择题1、以下级数中不收敛的是〔 〕 A ∑∞=+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n2、以下级数中，收敛的是〔 〕 A ∑∞=--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ．3、判断∑∞=+1111n n n 的收敛性，以下说法正确的选项是〔 〕A 因为 011>+n ，所以此级数收敛B 因为01lim 11=+∞→n n n ，所以此级数收敛 C 因为nn n 1111>+，所以此级数发散。
高等数学习题册 第十二章 参考答案
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
第十二章-无穷级数(整理解答)
第十二章 无穷级数一. 常数级数的审敛，常数级数的性质收敛：12.3下列级数中收敛的是( )； A ．()∑∞=-+11n n n B ．∑∞=+111n nC ．nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+123 D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n12(1)n =≥≥+，所以()∑∞=-+11n n n 发散；∑∞=+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n 发散，因此选C 。
12.7 下列级数中收敛的是( ) A.∑∞=+1121n n B.∑∞=+113n n nC.)1|(|1001<∑∞=q q n nD.∑∞=-1132n n n 解：121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1lim 313n n n →∞=+，∑∞=+113n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q qn n发散；213n =<，∑∞=-1132n n n 收敛，所以选D 。
12.11 下列级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1311n n解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散；212(1)12lim 122n n nn n +→∞+=<，∑∞=122n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞=+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1311n n 发散。
所以选B 。
12.15 下列正项级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n解：1lim 212n n n →∞=-，∑∞=-112n n n发散；112n =<，∑∞=12n n n 收敛；)11ln(1∑∞=+n n 发散；12(2)(1)lim 212(1)n n n n n n n +→∞++=>+；∑∞=+1)1(2n n n n 发散。
第十二章无穷级数自测题(含答案)
第十一章练习题一、 填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（ ）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（ ）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（ ）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（ ）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（ ）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．二、 单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。
2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．A.∑∞=+1121n n ； Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-； Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （ ）A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（ ）．Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。
无穷级数题(含答案)
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ， 级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ， 原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18， （1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；
无穷级数单元测试题答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案一、判断题1、对；2、对；3、错；4、对；5、对；6、对；7、对；8、错；9、错；10、错 二、选择题1、A2、A3、D4、C5、D6、C7、C8、B 三、填空题1、2ln2、收敛3、54、π33--，ππ1248+-，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=--±±==,...3,1,21,...4,2,0,21)(k k k S ππ四、计算题1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞=--1131arcsin)1(n n n解：这是一个交错级数，1arcsin31arcsin13lim13n n u n n n→∞==，所以n u 发散。
又由莱布尼茨判别法得 111arcsinarcsin 33(1)n n u u n n +=>=+ 并且1lim lim arcsin 03n n n u n→∞→∞==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n解：lim lim()[lim()]1011n nn n n n n n u n n→∞→∞→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。
(3))0,(,31211>++++++b a ba b a b a 解：另设级数1()n v n a b =+ 1111111(1)()23n n n v n a b a b n ∞∞====+++++++∑∑上式为1a b+与一个调和级数相乘，故发散 又11()n n u v na b n a b =>=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。
(4) ++++++nn 134232 解：1lim lim10n n n n u n→∞→∞+==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1） ++++753753x x x x解：设357()357x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得24621()11f x x x x x '=++++=- （这是公比21q x =<的几何级数）积分，得201()()1xxf x f x dx dx x '==-⎰⎰=0111()211x dx x x +-+⎰=11ln 21xx+-即 ++++753753x x x x =11ln 21x x +-（2）+⋅+⋅+⋅433221432x x x 解：设234()122334x x x f x =+++⋅⋅⋅ （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得23()123nx x x x f x n'=+++++再逐项求导，得21()1n f x x x x -''=++++ 积分一次，得001()()ln(1)1xxf x f x dx dx x x'''===---⎰⎰ 再积分一次，得00()()ln(1)(1)x xf x f x dx x d x '==---⎰⎰= 0(1)ln(1)(1)ln(1)x x x x d x -----⎰ = 0(1)ln(1)(1)xx x d x ----⎰ = (1)ln(1)x x x --+即+⋅+⋅+⋅433221432x x x =(1)ln(1)x x x --+ （3） +++13951392x x x 解：设5913()5913x x x f x =+++ （补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得448124()1x f x x x x x '=+++=-（这是公比41q x =<的几何级数）积分，得401()()(1)1xxf x f x dx dx x '==---⎰⎰ = 220111()211x x dx x x -++-+⎰= 111ln arctan 412x x x x ++--即59135913x x x +++ =111lnarctan 412x x x x ++-- 3、将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径 （1）⎰+xt dt41 解：411t +是级数481441(1)n n t t t ---+-+-+ 之和 所以481444001(1(1))1x x n n dt t t t dt t--=-+-+-++⎰⎰ =1591343111(1)591343n n x x x x x n ----+-+++- 收敛半径141limlim 143n n n n a n R a n →∞→∞++===- （2）)1ln(2x x ++ 解：2222121[ln(1)](1)1211x x x x xxx'++=+=++++所以122221ln(1)(1)1xxx x dx x dx x-++==++⎰⎰=2222011111(1)(1)(1)122222[1()()]22!!x n n x x x dx n --------+-++++⎰ =357212131352(2)!(1)()232452467(!)(21)2n n x x x n x x n n +⋅⋅⋅-+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 收敛半径为1R =（3）x arcsin 解：1222arcsin (1)1xxdx x x dx x -==--⎰⎰=242011111(1)(1)(1)122222[1()]22!!x n n x x x dx n --------+++++-+⎰=357212131352(2)!()232452467(!)(21)2n x x x n x x n n +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+收敛半径为1R = （arcsin ,1y x x =≤） （4） x e x -3 解：因为 21112!!x n e x x x n =+++++ ， 所以2111()()()2!!x n e x x x n -=+-+-++-+=2111()2!!n x x x n -+++-+因此3()x f x x e -==3211(1())2!!n x x x x n -+++-+=345311()2!!n x x x x n +-+++-+=3(1)!n n n x n ∞+=-∑ (,)x ∈-∞+∞4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解：（1）先求正弦级数，，将()f x 奇周期延拓 0n a =，只有n b ， 02()sin n b f x nxdx ππ=⎰=2()sin x nxdx πππ-⎰=22sin sin nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=0022cos (cos )nx xd nx n n πππ-+⎰=0022(cos 1)[cos cos ]nx x nx nxdx n n πππ--+-⎰=222[(1)1](1)n n n n n---+-=所以()f x 展开成正弦级数为 111()sin 2sin n n n f x b nx nx n∞∞====∑∑在端点0x =时，级数之和不能代表原函数，x π=时，级数之和能够代表原函数，所以(0,]x π∈（2）再求余弦函数，将()f x 偶周期延拓 0n b =，只有0a ，n a 2000221()[]2a x dx x x ππππππ=-=-⎰=π 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰=2()cos x nxdx πππ-⎰=22cos cos nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=00221sin (sin )nx xd nx n n πππ-⎰ =22(cos 1)n n ππ--=22[1(1)]n nπ--=20,24,21(21)n mn m m π=⎧⎪⎨=-⎪-⎩所以()f x 展开成余弦级数为01()cos 2n n a f x a nx ∞==+=∑2141cos(21)2(21)n m x m ππ∞=+--∑，[0,]x π∈。
新1第十二章 无穷级数答案
第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1．写出下列级数的一般项：(1)⋅⋅⋅++++6141211； 解：2n1u n =(2)⋅⋅⋅+⋅++533x x x x ； 解：()!!12n xu 2n n +=2．求下列级数的和：*(1) 1n ∞=∑解：111nn k S ===-=+-∑故2- 1lim =∞→n n S(2)23111555+++ 解：5151-151-1n⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S 故41lim =∞→nn S3．判定下列级数的敛散性： (1)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=+-=∑∑==15115151)151451(1545111n k k k k S nk nk n51lim =∞→n n S 故原级数收敛.(2) ()23133222213333nn n--+-++- 解： ()1-n 11-32nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛为公比为32-=q 的等比级数,且1<q , 故原级数收敛.第二节 常数项级数的审敛法1．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)1πsin3n n ∞=∑；解： sin3lim 13n n nππ→∞= ， 而13n n π∞=∑收敛，故原级数收敛.(2)n ∞=；解： n 321u n<，而∑∞=1231n n收敛，故原级数收敛.(3)()1121nn ∞=-∑解：1nln21-2lim n 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n 而∑∞=1nln2n 发散，故原级数发散。
2．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ∑∞=132n nn ；解：2n n u 3n =，∞=∞→n n u lim ，故原级数发散。
(2)1!31nn n ∞=+∑； 解：()()()3113131lim lim 1n n 1=+++=+∞→+∞→n u u n nn n ，故厡级数收敛.3．用根值判别法判别级数的敛散性： 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；解：()5n 5lim>13n 13n n →∞==+，故厡级数发散.4．判定级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ ； 解：n 1111u 12n n n⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ ， 而()()n 1n 2211111111u -u 1--<02n n 1n n 1n n 1n 1+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ 又()0dxx 11n 1lim n 1n 1211lim u lim n 1n =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰∞→∞→∞→n n n故厡级数条件收敛第六节 傅里叶级数1. 填空题（1）⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,,0,)(2)(πππx a x a x f x f 周期函数，且是以设 则其傅里叶级数在处收敛于 0（2）)(,)(2)(2ππππ<<-+=x x x x f x f 周期函数，且是以设若)(x f 的傅里叶级数具有的形式，∑∞=++10)sin cos (21n n n nx b nx a a.______32________,32_320ππ==b a 则傅里叶系数2. 写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π, π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)（2）()()cosππ2=-≤≤xf x x解：因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续， 故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]*3.将函数f(x)展开为傅里叶级数：()()πππ42x f x x =--<<解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)。
第12章无穷级数近年试题 答案
一、填空题（每小题2分，共10分）(5) 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛半径为 ．Key ： 11lim n n n a R a →∞+=11lim lim 111n n n n n n →∞→∞+===+二、选择题（每小题2分，共10分） (5) 下列级数中，条件收敛的是(A) 1(1)nn n ∞=-∑.(B) 1n n ∞= (C) 21(1)nn n ∞=-∑. (D)1(1)1n n nn ∞=-+∑. B五、综合题（每小题11分，共22分）(2) 求幂级数211(1)21n n n xn ∞-=--∑在区间)1,1(-内的和函数)(x S ，并求级数1(1)(21)3nnn n ∞=--∑的和. 解：设12112)1()(-∞=∑--=n n n x n x S ，)1,1(-∈x ，则(0)0S =，211(1)()21n n n S x x n ∞-=-=-∑两边求导得 222111)1()(x x x S n n n +-=-='-∞=∑。
x dx x S x S xarctan 11)0()(02-=+-=⎰令21(1)()21n n n xS x x n ∞=-=-∑21(1)()21n nn x n ∞=-=-∑，令213x =，x =代入上式，得1(1)113)(a r c ).(21)318nnn n ∞=-=-=--∑一、填空题（每小题2分，共10分） (5) 幂级数∑∞=12n nnx n 的收敛半径为 . Key ： 21lim n n n a R a →∞+=122lim lim 2112n n n n n nn n →∞→∞+===++二、选择题（每小题2分，共10分） (4) 下列级数中，条件收敛的是(A) ∑∞=--121)1(n nn n . (B)∑∞=-12)1(n n n . (C) ∑∞=-1)1(n n n . (D)∑∞=-12)1(n n n .C(5) 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 点收敛，则它在2-=x 点(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 不能确定. D解：当2x =时，∑∞=0n nn xa ，所以当2x <时，nn n a t∞=∑绝对收敛. 即幂级数0n n n a x ∞=∑在区间(2,2)-内绝对收敛；而2x =-不是区间(2,2)-内的点，故幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处的收敛性不能确定.三、计算题（每小题8分，共40分）(5) 判定级数∑∞=+-1)11ln()1(n n n 的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?解：设 1=(1)ln(1)n n u n -+，当n →∞时，11ln(1)~n u n n +＝，即1ln(1)lim 1.1n n n→∞+=而11n n∞=∑发散，所以1nn u∞=∑发散.由于11ln(1)ln(1)1n n +>++，且1lim ln(1)0,n n →∞+=则由莱布尼茨定理可知∑∞=1n n u 收敛，从而∑∞=+-1)11ln()1(n nn条件收敛。
高数(同济第六版)下册 无穷级数习题精选
解
∞
n →∞
lim
( n +1)! 2n +1
n! 2n
n→∞
n =1
n! 2n
发散。
7. Σ sin n 2
n =1
解
∞
lim sin n 2 不存在，所以 Σ sin n 2 发散。
n →∞ n =1
n
∞
8. Σ ( ( −1n) + 1 ) n
∞
1 n n =1 2
为等比级数，且公比
1 2
< 1 ，所以 Σ
∞
1
n
n =1 2
收敛。因此由比
较判别法 Σ tan 21n 收敛。
n =1
∞
∞
7. 解
n =1 (ln n )
Σ
nln n
n
ln n ln 2 n
lim
n→∞ n→∞
∞
n
nln n (ln n )n n (ln n ) n
ln n
= lim
an +1 an
= 3⋅
tan
π 2 n +1 tan πn 2
，
lim n → ∞
a n +1 an
= 3 ⋅ lim n → ∞
tan
π
π
2n +1 tan πn 2
= 3 ⋅ lim n → ∞
2 n +1 π 2n
=3 >1。 2
π 故由正项级数的比值审敛法可知级数 ∑ 3n ⋅ tan 2 n 是发散的。 n =1
∞
n =1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：因为 所以收敛半径
当时，级数成为，发散；当时，级数为交错级数，收敛 ∴收敛域为.收敛区间为. 设，. 则 ， .…………8分 解法二：因为 所以收敛半径 当时，级数成为，发散；当时，级数为交错级数，收敛 ∴收敛域为.收敛区间为. ，
3. 下列级数中，绝对收敛的级数是 (
).
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) .
六、（9分）求级数的和函数, 并求级数的和.
解:
1分
当时级数收敛，且时,级数发散,所以收敛域为(-1,1).
在收敛域内
3分
5分
===
9分
2分 7分
0809高数A
一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
解：令，级数变为，
，收敛半径为1，收敛区间为，即
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为..........2分 令...................6分 ...................8分
0809高数B 一、填空题（每小题3分，共18分）
6、将函数展为的幂级数为
.
， 注：
二、选择题（每小题3分，共15分） 5、对于无穷级数下列结论正确的是（ B ）
令...................6分 ...................8分
四、解答题（每小题11分，共33分）
2. 判别级数的敛散性，若收敛则说明条件收敛还是绝对收敛. 2、解：
...................6分 ...................11分
1011高数B
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
....................6分 .......................8分 注：
1011高数A
...........3分
二、选择题（每小题3分，共15分）
3、是级数收敛的
（）
充分条件 必要条件 充分非必要条件 充要条件
Key ：B
4、若在处收敛，则它在处
（）
发散
条件收敛
绝对收敛
值. 解： ，所以收敛半径为.
又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则,…6分 .…………8分 …………10分 解法二：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，.
1112高数A
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 下列级数中, 条件收敛的是
(A) .
令，令，代入上式，得
1213高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
.
Key： 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
(4) 下列级数中，条件收敛的是
(A) . (B) . (C) . (D) .
C
(5) 若幂级数在点收敛，则它在点
(A) 发散. (B) 条件收敛.
(C) 绝对收敛.
(B) .
(C) .
(D) .
(5) ． A, D绝对收敛，C发散，B条件收敛.
三、计算题（每小题10分，共40分）
(4) 求幂级数的收敛域及和函数.
(4) 解：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则,…8分 .…………10分
解法二：，所以收敛半径为. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为. ………4分
五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 求幂级数的收敛域及和函数. 解 ，收敛半径为1，
又当时，级数为发散，时，级数为收敛， 故级数的收敛域为.
，
1112高数B
一、填空题（每小题2分，共10分）
3. 已知级数的部分和，则=. ，
二、选择题（每小题2分，共10分）
5. 若在处发散，则它在处（ ）
0405高数A 一、选择题（单项选择题，每小题4分，满分40分）。
4.若级数在处收敛,则此级数在处[ ]
绝对收敛； 条件收敛； 发散； 不确定
6.下列级数中，条件收敛的级数是 [
]
A ； B ；C ； D .
二、填空题（本题共5小题，每题4分，满分20分）
4. 函数的麦克劳林级数为__________. 或 五、（满分10分）求幂级数的收敛区间及和函数。
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) . D 4. 若收敛，则级数 [ ] (A) 一定收敛； (B ) 一定发散； (C) 绝对收敛； (D) 收 敛性不能确定.
D
如果是正项级数, 则级数不一定收敛.
例如： 级数收敛，级数可能收敛也可能发散．如级数收敛，但级数却 发散；又如级数收敛，级数也收敛．
不能确定
Key： ．
解：设当时，，所以当时，绝对收敛.
当时，收敛性无法确定，从而收敛性无法确定.
解法二：设，当时，，所以当时，绝对收敛. 即幂级数在区间内绝 对收敛；从而可知在内绝对收敛，而不是区间内的点，故幂级数在处的
收敛性不能确定．
五、（10分）求幂级数的收敛域,及其在收敛区间内的和函数,并求的
解：设，
因为，所以收敛半径为1.
又时，级数均发散，故级数的收敛域为，收敛区间为. 在区间上，设和函数为，则 ………………………………3分 …………….3分
...3分
0607高数A
1、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
4. 函数关于的幂级数展开式为____. ， 二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分） 3. 下列级数中，条件收敛的级数是 [ ]
1314高数C
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
．
Key： 1
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 下列级数中，条件收敛的是
(A) . (B) . (C) . (D) .
B
五、综合题（每小题11分，共22分） (2) 求幂级数在区间内的和函数，并求级数的和.
解：设，，则， 两边求导得 。
(1) 设为常数，则为
(A )
A 绝对收敛； B 条件收敛； C 发散；
D 收敛性取
决于的值．
(5) 设幂级数 的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为( B )
； ；；.
五、计算题Ⅱ（每小题8分，共16分）
(1) 求级数的收敛半径，收敛域.
解：级数缺少奇次幂的项，
1分
当，即时级数收敛，
当，即时,级数发散,所以收敛半径
三、计算题（每小题8分，共40分） (4) 判定级数的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?
解：设 为交错级数，且当时，即而发散，所以发散. 由于且则由莱布尼茨定理可知收敛，从而条件收敛。
(5) 求幂级数的收敛域及和函数. 解：所以收敛半径为.
又时，级数发散，时，级数发散，故级数的收敛域为. ………4分 设，. 则 ， .…………8分
(D) 不
能确定.
D
解：当时，，所以当时，绝对收敛. 即幂级数在区间内绝对收敛；
而不是区间内的点，故幂级数在处的收敛性不能确定.
三、计算题（每小题8分，共40分） (5) 判定级数的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛?
解：设 ，当时，即而发散，所以发散. 由于且则由莱布尼茨定理可知收敛，从而条件收敛。
（A）若，则级数收敛； （B） 若级数收敛，则必有； （C）若级数发散，则必有； （D）以上说法都不对.
四、计算题（每小题8分，共32分） 4、求幂级数在收敛域内的和函数．
解：级数缺少奇次幂的项. 所以原级数的收敛半径为，收敛域为。
在收敛域内， ，. 注：，
六、证明题（7分）
若，且是方程的一个根，为正整数，证明级数发散． 证明：设，连续， 由根的存在性定理，方程存在一个根，由根与系数的关系，另一个根小 于0，所以，，所以 故，而级数发散，由正项级数的比较判别法知级数发散.
一、填空题（每小题3分，共18分） 6. 函数关于的幂级数展开式为 .
或，
二、选择题（每小题3分，共18分） 2.下列级数中绝对收敛的级数是 [ ]
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
D
五、（8分）求级数的收敛域及和函数.
解：因为，所以收敛半径为1. 又时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.
5. 函数关于的幂级数展开式为____
.
，
注：
二、选择题（每题2分，满分10分）
5. 下列级数中，绝对收敛的级数是 (
).
(A) ； (B ) ； (C) ； (D) .
A
五、（8分）求幂级数的收敛域及和函数。
解：级数缺少奇次幂的项. 所以原级数的收敛半径为，收敛域为。
在收敛域内， ，. 注：，
0910高数A
1213高数A
一、填空题（每小题2分，共10分）
(5) 幂级数的收敛半径为
.
Key： 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
(5) 若幂级数在点收敛，则它在点
(A) 发散. (B) 条件收敛.
(C) 绝对收敛. (D) 不
能确定.
D
解：幂级数在处收敛，由Abel定理可知，对于适合不等式的一切使该
级数绝对收敛，即幂级数在区间内绝对收敛；而不是区间内的点，故幂 级数在处的收敛性不能确定．
所以 .…………8分
七、（本题满分5分） 已知级数和都收敛, 试证明：级数收 敛. 证明：，和都收敛，，所以绝对收敛，从而收敛，，由有限个 收敛级数可以逐项相加的性质可知收敛.
0708高数A
3. 幂级数的收敛域为_____
__ .
；
5. 函数关于的幂级数展开式为____
.
， 或，