第十讲 位置与坐标-【暑假衔接】2021年新八年级数学暑假精品知识点(北师大版)(解析版)

第十讲位置的确定与平面直角坐标系
【学习目标】
1.认识到在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，并能准确地确定物体的位置.
2.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;
3.认识并能画出平面直角坐标系;
4.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。

5.在同一直角坐标系中,感受图形平移前后点的坐标变化
6.在同一直角坐标系中,感受图形的轴对称(原点对称)变换坐标变化.
7.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。

【基础知识】
1.平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。

2.点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

3.在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点（如图4所示），方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P 点。

4.如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；③以已知线段中点为原点；④以两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。

5.图形“倒转与对称”的变化规律:
A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。

B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。

【考点剖析】
考点一：用有序数对表示位置
例1．如图，写出表示下列各点的有序数对：
(A 3 ，)；(5,2)
B；
D，)；
(C，)；(
(E，)；(F，)；
(G ， )；(H ， )；
(I ， )．
【答案】3；7，3；10，3；10，5；7，7；5，7；3，6；4，8 【详解】
解：(3,3)A ；(5,2)B ；
(7,3)C ；(10,3)D ；
(10,5)E ；(7,7)F ； (5,7)G ；(3,6)H ； (4,8)I ．
故答案：3；7，3；10，3；10，5；7，7；5，7；3，6；4，8． 考点二：用有序数对表示路径
例2．根据指令(s ，A)(说明：s≥0，单位：厘米；0°≤A＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ，若机器人站在点M 处，面对的方向如图所示． (1)给机器人下了一个指令(2，60°)，机器人移动到了B 点，请你画出机器人从M 点到B 点的运动路径； (2)若机器人从M 点运动到了C 点，则给机器人下了一个什么指令？
【答案】(1)画图略 (2)指令(3，20°) 【解析】
试题解析：（1）如图：
（2）给机器人的指令是（3，20°）。

考点三：在平面直角坐标系中描点
例3．如图，用()1,1-表示A 点的位置，用()3,0表示B 点的位置． （1）画出直角坐标系． （2）点E 的坐标为______． （3）CDE △的面积为______．
【答案】（1）见解析；（2）()3,2；（3）3.5． 【详解】
（1）如图所示，即为所求
（2）点E 在第一象限，横坐标、纵坐标均为正数，
E ∴()3,2
故答案为：()3,2； （3）(13)11
31312 3.5222
CDE
S
+=
⨯-⨯⨯-⨯⨯= 故答案为：3.5．
考点四：根据点所在位置，求参数
例4．（1）点()1,2A a b +-在第二象限，则点(),1B a b -+在第___________象限． 【答案】一 【详解】
解：由A （a +1，b -2）在第二象限，得
a +1＜0，
b -2＞0．
解得-a ＞1，b +1＞3， 点B （-a ，b +1）在第一象限， 故答案为：一．
（2）在平面直角坐标系中，已知点()1,23M m m -+在x 轴上，则m =______． 【答案】32
- 【详解】
解：由题意，得2m +3=0，解得m =32
-
，
故答案为：32
-
． 考点五：坐标系内的规律探究
例5．如图，四边形AOBC 是正方形，曲线123CPP P ⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧1CP ，弧12PP ，弧23P P ，弧34P P 的圆心依次按点A ，O ，B ，C 循环，点A 的坐标为()2,0，按此规律进行下去，则点2021P 的坐标为______．
【答案】()4044,0 【详解】
解：由题意可知：正方形的边长为2， ∵A （2，0），B （0，2），C （2，2），
P 1（4，0），P 2（0，﹣4），P 3（﹣6，2），P 4（2，10），P 5（12，0），P 6（0，-12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2， 2021÷4=505……1，故点2021P 在x 轴正半轴，
OP 的长度为2021×2+2=4044，
即：P 2021的坐标是（4044，0）， 故答案为：（4044，0）．
考点六： 平面直角坐标系综合问题
例6．在平面直角坐标系中，已知点(6,510)-+M a a ． （1）若点M 在y 轴上，求a 的值；
（2）若点M 到x 轴的距离为5，求点M 的坐标；
（3）若点M 在过点(2,4)A -且与y 轴平行的直线上，求点M 的坐标．
【答案】（1）6a =；（2）点M 的坐标为(7,5)-或(9,5)--；（3）点M 的坐标为(2,50) 【详解】
（1）∵M 点在y 轴上， ∴a -6=0 ∴a =6；
（2）∵M 点到x 轴的距离为5 ∴|5a +10|=5 ∴5a +10=±5 解得：a =-3或a =-1
故M 点坐标为(-9，-5)或(-7，5)；
（3）∵M 点在过点A (2，-4)且与y 轴平行的直线上 ∴a -6=2 ∴a =8
∴M 点坐标为(2，50)． 考点七： 轴对称与坐标变化
例7．如图，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．
（1）画出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；
（2）在x 轴上求作一点P ，使PAB △的周长最小，并直接写出点P 的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；P ()2,0 【详解】
（1）如图所示，111A B C △即为所求．
（2）如图所示，点P 即为所求，其坐标为()2,0．
【真题演练】
1．如图，象棋盘上“将”位于点(2,1)-，“象”位于点(4,)1-，则“炮”位于点( )
A ．(1,2)
B ．(2,1)-
C ．(1,2)-
D ．(2,1)
【答案】C 【详解】
如图所示：“炮”位于点(1,2)-， 故选：C ．
2．如图是雷达探测到的6个目标，若目标C 用（40，120°）表示，目标D 用（50，210°）表示，则（30，240°）表示的目标是（ ）
A ．目标A
B ．目标B
C ．目标F
D ．目标E
【答案】D 【详解】
解：∵目标C 用（40，120°）表示，目标D 用（50，210°）表示， ∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数， ∴表示为（30，240°）的目标是：E ． 故选：D ．
3．已知点P 的坐标为(3,4)--，则点P 到y 的距离为（ ） A ．3- B ．3
C ．4
D ．4-
【答案】B 【详解】
解：∵点P 的坐标为（-3，-4）， ∴点P 到y 轴的距离为3． 故选：B ．
4．点(﹣4，2)所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【详解】
解：点（-4，2）所在的象限是第二象限． 故选：B ．
5．在平面直角坐标系中，已知点(),A a b 在第二象限，则点(),B a b -在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C 【详解】
解:∵点(),P a b 在第二象限， ∴0a <，0b >， ∴0b -<，
∴点(),B a b -在第三象限． 故选C ．
6．已知点(),3A a 和点()4,B b 关于x 轴对称，则2021()a b +等于（ ） A ．1 B ．1-
C ．2021
D ．2021-
【答案】A 【详解】
∵点(),3A a 和点()4,B b 关于x 轴对称， ∴a ＝4，b ＝−3，
∴2021()a b +=2021(413)-=， 故选：A ．
7．在平面直角坐标系中，点()3,7Q -关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()3,7- B ．()3,7
C ．()3,7--
D ．()3,7-
【答案】B 【详解】
解：点Q （-3，7）关于y 轴对称的点的坐标是（3，7）． 故选：B ．
8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt ABO 沿x 轴向右滚动到11AB C △的位置，再到的位置…依次进行下去，发现()3,0A ，()112,3A ，()215,0A …那么点2021A 的坐标为（ ）
A ．()12129,0
B ．()12129,3
C ．()12132,0
D ．()12132,3
【答案】D 【详解】
解：由题意得：∠AOB ＝90°，点A （3，0），B （0，4）， 根据旋转可知：OA ＋AB 1＋B 1C 2＝3＋5＋4＝12， ∴点B 2 （12，4），A 1 （12，3）； 继续旋转得，
B 4 （2×12，4），A 3 （24，3）； B 6 （3×12，4），A 5 （36，3）
… 发现规律：
B 2022 （1011×12，4），A 2021（12132，3）．
∴点2021A 的坐标为（12132，3）． 故选D ．
9．教室5排2号可用有序数对(5,2)表示，则2排5号用数对可表示为__． 【答案】()2,5 【详解】 解：
5排2号可用有序数对(5,2)表示，
2∴排5号用数对可表示为(2,5)．
10．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为()3,1，()1,2，()2,2，()7,2，()1,1，请你把这个英文单词写出来或者翻译中文为_________．
【答案】中国（CHINA ） 【详解】
由题意知()3,1表示C ，()1,2表示H ，()2,2表示I ，()7,2表示N ，()1,1表示A ，所以这个英文单词为CHINA 或中国，
故答案为：CHINA 或中国．
11．在平面直角坐标系中，点()1,1P a a -+在y 轴上，则a 的值是____． 【答案】1 【详解】
解：∵点()1,1P a a -+在y 轴上， ∴a -1=0， 解得：a =1， 故答案为：1．
12．2021年4月8日，中国扬州世界园艺博览会在扬州仪征市开幕，本届搏览会以“绿色城市，健康生活”为主题．如图，是扬州世界园艺博览会部分导游图，若滩涂印象的坐标为()2,1，丛林野趣的坐标为()3,2--，则中国馆的坐标为______．
【答案】()3,2- 【详解】
解：因为滩涂印象的坐标为()2,1，丛林野趣的坐标为()3,2--， 所以建立平面坐标坐标系如下：
则中国馆的坐标为()3,2-， 故答案为：()3,2-．
13．已知点P (2，a )与点Q (b ，3)关于y 轴对称，则-a b 的值为____． 【答案】5 【详解】
解：∵P (2，a )与点Q (b ，3)关于y 轴对称， ∴P、Q 两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴b=-2，a=3， ∴a -b=3-(-2)=5, 故答案为：5．
14．已知点A (3a ﹣6，a +1)，试分别根据下列条件，求出点A 的坐标， （1）点A 在x 轴上；
（2）点A 在过点P (3，﹣2)，且与y 轴平行的直线上． 【答案】（1）（-9，0）；（2）（3，4） 【详解】
解：（1）∵点A （3a -6，a +1）在x 轴上， ∴a +1=0， 解得a =-1， ∴3a -6=-3-6=-9，
∴点A 的坐标为（-9，0）；
（2）∵点A 在过点P （3，-2），且与y 轴平行的直线上， ∴3a -6=3，
∴a +1=3+1=4，
∴点A 的坐标为（3，4）．
15．在平面直角坐标系中，已知点(),23M m m +． （1）若点M 在x 轴上，求m 的值； （2）若点M 到x 轴的距离是3，求m 的值；
（3）若点M 在第二、四象限的角平分线上，求m 的值． 【答案】（1）3
2
-；（2）0或-3；（3）-1 【详解】
解：（1）∵M （m ，2m +3）在x 轴上， ∴2m +3=0， ∴m =32
-
； （2）∵点M 到x 轴的距离是3， ∴233m +=， 解得：m =0或-3；
（3）∵M （m ，2m +3）在第二、四象限的角平分线上， ∴m +（2m +3）=0， ∴m =-1．
【过关检测】
1．一组正整数1，2，3，4，5…，按下面的方法进行排列：若正整数2的位置记为()1,2，正整数10的位置记为()2,7，则正整数2020的位置可记为（ ）
A ．()252,5
B ．()253,5
C ．()252,4
D ．()253,4
【详解】
解：由表格可得：每行8个数，奇数行从左到右依次增加， ∵2020÷8=252…4，
∴正整数2020的位置可记为（253，4）， 故选：D ．
2．如图，点A 、B 、C 的坐标分别为（ ）
A ．（2，－1），（0，－2），（1，－4）
B ．（－1，2），（－2，0），（－4，1）
C ．（－1，2），（0，－2），（－4，－1）
D ．（1，2），（2，0），（4，1） 【答案】B 【详解】
如图，过点A,C 分别作坐标轴的垂线，可得坐标分别为：(1
2)-，，(20)-，，(41)-，， 故答案为：B ；
3．已知A 、B 两点的坐标分别是(2,3)-和(2,3)，下列结论错误的是（ ） A ．点A 在第二象限 B ．点B 在第一象限 C ．线段AB 平行于y 轴
D ．点A 、B 之间的距离为4
【详解】解：∵A 、B 两点的坐标分别是(2,3)-和(2,3)，
∴点A 在第二象限，点B 在第一象限，点A 、B 之间的距离为4，线段AB 平行于x 轴， 结论错误的是C 选项，符合题意； 故选：C ．
4．如图，三角形ABC 的面积等于（ ）
A ．12
B ．112
2
C ．13
D ．113
2
【答案】D 【详解】
过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：
由题意可得，3BO =，3OC =，
6AD =，3CD =，
∴6OD =，
∴ABC BOC ACD BODA S S S S ∆∆∆=--梯形，
111
()222BO AD OD BO OC CD AD =
+⋅-⋅⋅-⋅⋅ 111
(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 54918222=--
272
=
， 即272
ABC S ∆=
， 故选：D ．
5．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m ．其行走路线如图所示，第1次移动到1A ，第2次移动到2A ，第n 次移动到
n A ，则32021OA A △的面积是（ ）
A ．2504.5m
B ．2505m
C ．2505.5m
D ．21010m
【答案】C 【详解】
解：由题意知O A 4n ＝2n ， ∵2020÷4＝505， ∴A 2A 2019＝
2020
2
＋1＝1011，A 2A 2019∥x 轴， 则△OA 2A 2021的面积是1
2
×1×1011＝505.5（m 2）， 故选：C ．
6．点()3,5P -关于y 轴的对称点是（ ） A ．()3,5- B ．()3,5
C ．()3,5--
D ．()3,5-
【答案】C 【详解】
解：点()3,5P -关于y 轴的对称点是()3,5--， 故选：C ．
7．在教室里，小明的座位在第2列、第5行，小亮的座位在第4列、第1行，如果把小明的座位记为（2，5），那么小亮的座位可以记为_____． 【答案】（4，1）
【详解】
∵小明的座位在第2列、第5行，把小明的座位记为（2，5）， ∴小亮的座位在第4列、第1行，小亮的座位可以记为（4，1）． 故答案为：（4，1）．
8．如图，在平面直角坐标系中，AB 平行于x 轴，点A 的坐标为(4,3)，点B 在点A 的左侧，AB a ，若
点B 在第二象限，则a 的取值范围是__________．
【答案】4a > 【详解】 解：
AB 平行于x 轴，(4,3)A ，
B ∴的纵坐标为3，
AB a =，B 点在第二象限，
B ∴点到y 轴的距离为4a -，
40a ∴->
4a ∴>
故答案为：4a >．
9．()2
260a b +-=，则(),a b 在第_____象限．
【答案】二 【详解】
解：由题意得，a +2=0，b -6=0， 解得a =-2，b =6，
所以，点（-2，6）在第二象限； 故答案为：二
10．如图，（一周记为360°，一周多10°记为370°）
点A 1用极坐标表示为_____________； 点A 2用极坐标表示为_____________； 点A 3用极坐标表示为_____________； 点A n 用极坐标表示为____________ ．
【答案】（2，0°） （4，120°） （8，240°） （()2,1201n
n ︒
-）．
【详解】
∵一周记为360︒，一周多10︒记为370︒， ∴1A 横坐标为2，纵坐标为0︒， ∴点1A 用极坐标表示为(2,0)︒； ∵2A 横坐标为4，纵坐标为120︒， 点2A 用极坐标表示为(4,120)︒； ∵3A 横坐标为8，纵坐标为240︒， 点3A 用极坐标表示为(8,240)︒； 根据上述规律，
∴点n A 用极坐标表示为()()
2,1201n n ︒
-．
11．若点A 与点B （1，1）关于点C （－1，－1）对称，则点A 的坐标是____． 【答案】(3,3)-- 【详解】
设点A 的坐标为(,)x y ，
由题意得：1
12
112
x y +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得33x y =-⎧⎨=-⎩，
则点A 的坐标为(3,3)--， 故答案为：(3,3)--．
12．点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为_________．关于y 轴对称的点的坐标为_________． 【答案】（﹣2，﹣3） （2，3）． 【详解】
解：点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）； 点P （﹣2，3）关于y 轴对称的点的坐标为（2，3）． 故答案为：()()2,3,2,3.--
13．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A 的坐标可表示为()1,2,5，点B 的坐标可表示为()4,3,1，按此方法，若点C 的坐标为()3,,1m m -，则m ＝__________．
【答案】3 【详解】
解：根据题意，点C 的坐标应该是()3,3,2，
∴3m =． 故答案是：3．
14．如图，在平面直角坐标系中，第一次将OAB 变换成11OA B ，第二次将11OA B 变换成22OA B △，第三次将22OA B △变换成33OA B ，⋯，将OAB 进行n 次变换，得到n n OA B △，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测5A 的坐标是______，n A 的坐标是______．
【答案】()32,3 ()
2,3n
【详解】 解：
1234(1,3),(2,3),(4,3),(8,3),(16,3)
A A A A A ，
n A ∴的横坐标为2n ，n A 纵坐标都为3，
(2,3)n n A ∴
55(2,3)A ∴，即()5323A ，
故答案为：()32,3；()
2,3n
．
15．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A （0，0），B （9，0），C （7，4），D （2，8），求四边形ABCD 的面积．
【答案】四边形ABCD 的面积为42． 【详解】
解：过D ，C 分别作DE ，CF 垂直于AB ，E 、F 分别为垂足，则有：
∴S ＝S △OED +S 四边形EFCD +S △CFB ＝12×AE ×DE +12×（CF +DE ）×EF +12
×FC ×FB ． ＝12×2×8+12×（8+4）×5+12×2×4 ＝42．
故四边形ABCD 的面积为42．
16．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点均在格点上，请完成下列各题（用直尺画图）
（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆，并直接写出111A B C ∆各顶点坐标．
（2）在y 轴上画出点Q ，使QBC ∆的周长最小．
【答案】（1）作图见解析；()3,2A ；()4,3B -；()1,1C -；（2）作图见解析．
【详解】
解：（1）如图所示：A 1（3，2），B 1（4，-3），C 1（1，-1）；
（2）如图所示：Q 即为所求．
17．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,0-，线段BC 的位置如图所示，其中B 点的坐标为()1,3，点C 的坐标为()3,2．
（1）已知线段//CD y 轴，且C ，D 两点到x 轴的距离相等，则点的D 坐标为_________；
（2）在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积；
（3）求AB 与y 轴交点E 的坐标．
【答案】（1）()3,2-；（2）19.5；（3）E 点坐标为120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
【详解】
解：（1）∵点C 坐标为()3,2且//CD y 轴，
∴D 点横坐标为3，
又∵C 、D 两点到x 轴的距离相等，C 、D 不重合，
∴D 点纵坐标为2-
∴D 点的坐标为()3,2-
（2）作出点D ，连接AD ，CD ，以四边形ABCD 的顶点作矩形EFDG 如图所示：
∴1115772532119.5222
AFD EAB BCG EFDG ABCD S S S S S =---=⨯-⨯⨯
-⨯⨯-⨯⨯=△△△矩形四边形 （3）过点B 作BG y ⊥轴，于点G ，连接AG
113313222
AGB S GB =⨯=⨯⨯=△， 1153412222
AGB AGE GEB S S S GE GE GE =+=⨯⨯+⨯⨯==△△△ ∴35
GE = 312355
OE OG GE =-=-= ∴E 点坐标为120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭。