江西省九江市马口中学高三数学理月考试卷含解析

江西省九江市马口中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 为等差数列，为其前项和，已知则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
2. 已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[﹣1，0]．不等式x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x＞0恒成立，则实数θ的取值范围是（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
参考答案：
A
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】可设不等式左边为f（x）并化简，求出f（x）的最小值，令其大于0，得到θ的取值范围即可．
【解答】解：设f（x）=x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x=（1+sinθ+cosθ）x2+（2sinθ+1）x+sinθ，
∵θ∈[0，π），
∴1+cosθ+sinθ≠0，且其对称轴为x=﹣
∵f（x）在[﹣1，0]的最小值为f（0）或f（1）或f（﹣）
∴，
即∴
∴＜θ＜．
故选：A
3. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则a的取值范围是（）
A. (0,+∞)
B.
C.(－∞,0)
D. (0,1)
参考答案：
B
【分析】
由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，作图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e）
，即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为y x，即所求a的取值范围为0，得解．【详解】设g（x）＝﹣f（﹣x），则y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于原点对称，
方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，
由图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限有两个交点即可，
设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），
由f′（x），
则y＝lnx的切线为y﹣lnx0（x﹣x0），
又此直线过点（0，0），
所以lnx0＝1，
所以x0＝e，
即f′（e），
即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为y x，
即所求a的取值范围为0，
故选：B．
【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．
4. 直线，则是∥的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
C
略
5. 若函数的图像关于点成中心对称，且，则函数为
（）
A．奇函数且在递增B．偶函数且在递增
C．奇函数且在递减D．偶函数且在递减
参考答案：
C
略
6. 已知抛物线E：（），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B两点（点A在第一象限），若，则p的值是
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
A
，即，不妨设，，
则，即有，又因为，故：
7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输出的值为0，则判断框内为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
8. 若复数是纯虚数，其中m是实数，（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： D 略
1.设全集，集合
，
，则
( )
A.
B. C.
D.
参考答案：
B
10. 执行右面的程序框图，那么输出S 的值为 A ．9 B ．10 C ．45 D ．55
参考答案：
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x ，y 满足
（k 为常数），若z=x+2y 最大值为8，则
k=
．
参考答案：
【考点】简单线性规划．
【分析】由目标函数z=x+3y 的最大值为8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数
k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由
，解得A （，），
将z=x+2y 转化为：y=﹣x+， 显然直线过A （，）时，z 最大， z 的最大值是： +k=8，解得：k=，
故答案为：
．
12. 已知双曲线
的右焦点为F ，以F 为圆心，焦距为半径的圆交y 轴正半轴于
点M ，线段FM 交双曲线于点P ，且
，则双曲线的离心率为________.
参考答案：
【分析】
设左焦点为，根据，求得，利用余弦定理求得，结合双曲线的定义以及离心率公式，求得双曲线的离心率.
【详解】设左焦点为，双曲线的焦距为，所以，由于，所以.在三角形中，，所以.在三角形中，由余弦定理得
.由双曲线的定义得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查余弦定理解三角形，属于中档题.
13. 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是_______.
参考答案：
略
14. 已知函数.’给出下列结论：
①函数在- = 1处连续；②f(1) =5; ③；④.
其中正确结论的序号是________.
参考答案：
④
略
15. 正数a，b，c满足，则的取值范围是______.
参考答案：
【分析】构造空间向量，，利用得到结论.
【详解】令z=，则，
又，记，，则，
又，
∴，即.
【点睛】本题考查了三维向量坐标的运算，考查了的应用，考查了分析问题、转化问题的能力，属于发散思维的综合性问题.
16. 执行如图所示的程序框图，若输入的T=1，a=2，则输出的T的值为．
参考答案：
3
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的T，a的值，当a=8时不满足条件a≤6，退出循环，输出T的值，由换底公式计算即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
T=1，a=2
T=，a=4
满足条件a≤6，T=?，a=6
满足条件a≤6，T=??，a=8
不满足条件a≤6，退出循环，输出T的值，
由于T=??==3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了换底公式的应用，属于基础题．
17. 已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为
参考答案：
或
圆的圆心坐标（1，2），半径为
过点的直线被圆截得的弦长为，
∴圆心到所求直线的距离为：，
（i）当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足圆心到直线的距离为1．
（ii）设所求的直线的向量为，
所求直线为：，即，
∴，
所求直线方程为：，
故答案为：或．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)
已知函数.
(1)当时，求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；
(2)如果函数，在公共定义域D上，满足，那么就称为
的“活动函数”．已知函数，
.若在区间(1,+∞)上，函数是的“活动函数”，求实数a的取值范围. 参考答案：
解：（I）当时，函数，定义域为
导函数在上恒成立，所以函数在上单调增… 2分
∴在区间上单调增
∵，
∴在区间上的最大值为和最小值为； (4)
分
（2）由题意，
且，在区间上恒成立…6分
令，则，
∴函数在上单调减
∵，∴，
∴；
…10分
令，则，
又由，且，
易得，即在上为增函数，
则，只要使即可，即，解可得，，…14分
综合可得，
．
…16分
19. 已知定义在R上的函数f（x），满足，且f（3）=f （1）﹣1．
（1）求实数k的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（﹣x）（﹣2≤x≤2），求g（x）的值域．
参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）由已知中函数f（x），满足，且f（3）=f （1）﹣1，构造方程，解得实数k的值；
（2）函数，分类讨论各段上函数值的范围，可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得f（1）﹣1=1+2﹣1=2，
f（3）=f（﹣1+4）=f（﹣1）=2，
所以可得．（2）由得：
，
∴，
当0＜x＜2时，1＜x+1＜3，
所以
在（x+1）2=4即x=1处取得最小值，
所以g（x）在（0，1）处单调递减，
在[1，2）上单调递增，
，
当x→2时，，
所以g（x）在（0，2）上的值域为[5，6）．
当﹣2＜x＜0时，1＜1﹣x＜3，
∴；
当（1﹣x）2=4，即x=﹣1时取得最小值；
当x→﹣2时，；
当x→0时，，
∴g（x）在（﹣2，0）上的值域为[5，6）．
综上所述，g（x）的值域为．
20. 设.
（1）当时，解不等式
（2）若恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
21. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】对第（1）问，先将方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得圆C的直角坐标方程；
对第（2）问，先验证点M在直线l上，由已知点M写出l的参数方程，再将此参数方程代入圆的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何含义可探求
|MA|+|MB|的值．
【解答】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，
将极坐标与直角坐标互化公式代入上式，
整理得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0．
（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，
因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为，
代入圆C的方程中，得．
设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得＞0，t1t2=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=，
即|MA|+|MB|=．
【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或
凑配ρ2，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，
ρsinθ=y，（x≠0）等．
2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．
3．运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣．
22. 设函数f（x）=e x（ax2+x+1）．
（1）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=1处有极值，请证明：对任意θ∈[0，]时，都有|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出a的值，求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）f'（x）=e x（ax2+x+1）+e x（2ax+1）=，
当时，，f（x）在R上单调递增；
当时，f'（x）＞0，解得x＞﹣2或；f'（x）＜0，解得，
故函数f（x）在和（﹣2，+∞）上单调递增，在上单调递减．
当时，f'（x）＞0，解得或x＜﹣2；f'（x）＜0，解得，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）和上单调递增，在上单调递减．所以当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；
当时，f（x）的单调递增区间是和（﹣2，+∞），单调递减区间是；
当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和，单调递减区间是．
（2）证明：∵x=1时，f（x）有极值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=﹣1，
∴f（x）=e x（﹣x2+x+1），f'（x）=﹣e x（x﹣1）（x+2），
由f'（x）＞0，得﹣2＜x＜1，∴f（x）在[﹣2，1]上单调递增．
∵，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，
∴|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤f（1）﹣f（0）=e﹣1＜2．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道中档题．。